Mines Informatique MP-PC-PSI 2022

A2022 -- INFO

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
ÉPREUVE D'INFORMATIQUE COMMUNE

Durée de l'épreuve : 2 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Cette épreuve est commune aux candidats des filières MP, PC et PSI.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
INFORMATIQUE COMMUNE

L'énoncé de cette épreuve comporte 12 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Modélisation numérique d'un matériau magnétique

Certains matériaux particuliers peuvent acquérir des états magnétiques 
qualifiés de paramagné-
tique et ferromagnétique. Le matériau est dit paramagnétique lorsqu'il ne 
possède pas d'aimantation
spontanée, mais acquiert une aimantation sous l'effet d'un champ magnétique 
extérieur. Il est dit fer-
romagnétique lorsqu'il possède une aimantation même en l'absence de champ 
magnétique extérieur.
Dans ces matériaux, la température T' joue un rôle crucial : si T est 
supérieure à une température
particulière Tc, nommée température de Curie, le matériau adopte un état 
paramagnétique. Dans le
cas contraire (T° < TG), il adopte un état ferromagnétique. C'est par exemple le cas du fer, pour lequel la transition entre les deux états se produit à Tc = 1043 kelvin. Dans un matériau magnétique, les divers éléments magnétiques (électrons, atomes) possédant un moment magnétique créent une aimantation moyenne à l'intérieur du matériau. Nous admettrons les principaux résultats de la théorie du paramagnétisme. Ce sujet est constitué de 4 parties. Dans la première, on cherche à obtenir l'aimantation moyenne du matériau en fonction de la température à partir d'une formule théorique connue. Dans la seconde, on recherche dans une base de données les propriétés de matériaux magnétiques. Dans la troisième, on cherche à développer une modélisation microscopique d'un matériau magnétique à deux dimensions pour retrouver ce comportement (modèle d'Ising). Dans la quatrième, on s'intéresse aux domaines magnétiques du matériau (nommés domaines de Weiss). Une courte documentation de quelques fonctions utiles est disponible à la fin du sujet. Les candidats sont fortement incités à expliciter brièvement leurs programmes à l'aide de quelques commentaires bien placés. L'utilisation du module numpy n'est pas autorisée. EP ST Partie I : Transition paramagnétique/ferromagnétique sans champ magnétique extérieur La théorie des matériaux indique que, dans un matériau ferromagnétique, l'aimantation volumique moyenne du matériau est donnée par : uB M = Nutanh | -- 1 ptauh (PT) ( où NN est le nombre d'atomes par unité de volume, B est la valeur du champ magnétique à l'intérieur du matériau, y le moment magnétique des atomes ou des ions, £g la constante de Boltzmann, T la , exp(æ)--exp(--x) température et tanh : x + explæ)-Fexp(--2) la fonction tangente hyperbolique. On considère une situation sans champ magnétique extérieur. Le champ magnétique local à l'in- térieur du matériau ferromagnétique est donc celui crée par la matériau lui-même. On admet que ce champ magnétique est proportionnel à l'aimantation moyenne dans le matériau (B = AM), et on obtient alors : M = Nutanh (ra). En introduisant l'aimantation réduite m -- Nx et la température réduite t -- 1 devient : kBT  _ T 1»; . NX -- To l'équation | m = tanh(m/t) | (2) Cette équation d'inconnue m ne possède pas de solution analytique : si on veut connaître une approxi- mation de l'aimantation moyenne dans le matériau, il est donc nécessaire de la résoudre numériquement par une méthode de recherche de zéro. 1. Écrire les instructions nécessaires pour importer exclusivement les fonctions exponentielle (exp) et tangente hyperbolique (tanh) du module math, ainsi que les fonctions randrange et random du module random. Ces fonctions seront ainsi utilisables dans tous les programmes que vous écrirez ultérieurement. 2. À partir de l'équation 2, indiquer une équation f(x, t) = O0, d'inconnue x que l'on doit résoudre et écrire en Python la définition de la fonction f correspondante (paramètres x et t, valeur renvoyée f(x, t)). 3. Écrire une fonction dicho(f, t, a, b, eps) qui calcule une valeur approchée à eps près du zéro d'une fonction f(m, t) de variable x et de paramètre t fixé sur un intervalle [a,b]. On supposera pour simplifier que la fonction dont on recherche le zéro est continue et s'annule une fois et une seule sur l'intervalle {a, b|. 4. Établir l'expression de la complexité temporelle asymptotique de la fonction dicho en fonction de a, b et eps. Une étude mathématique simple permet de prouver que l'équation m = tanh(m/t) n'a de solution m > 0 que pour 0 < t < 1, ce qui revient à dire que le matériau ne possède une aimantation non nulle que pour une température inférieure à la température de Curie. On admet ainsi que si t > 1 alors
m = 0. De plus, pour t < 1, on admet que la solution m = 0 ne doit pas être prise en compte car elle correspond à une solution instable. 5. En utilisant la fonction di cho, écrire une fonction construction liste m(t1, t2) quiconstruit et retourne une liste de 500 solutions de l'équation (1), pour t variant linéairement de #1 à t2 (bornes incluses). On cherchera les valeurs de m à 107% près avec un intervalle de recherche initial m EUR [0.001,1|. En traçant l'aimantation m en fonction de la température {, on obtient le graphe de la figure 1 permettant de visualiser les domaines ferromagnétique (4 < 1) et paramagnétique (& > 1).

' ' 1 } } ' F Ï

08+-

06}:

m

04!

02+-

nd ss:

1 L L L À 1 L 1
0.0 02 0.4 06 08 1.0 12 14

FIGURE 1 -- aimantation réduite m en fonction de la température réduite {
Partie II : Recherche dans une base de données de matériaux magnétiques

Il existe des bases de données contenant les propriétés de nombreux matériaux, 
dont des propriétés
magnétiques. Dans cette partie, on donne un modèle simplifié d'une telle base, 
et on souhaite effectuer
quelques requêtes sur celle-ci.

La base de données possède la structure suivante :

-- La table materiaux contient un champ id materiau, clé primaire de la table 
de valeur entière,
un champ nom de type chaîne de caractères pour le nom du matériau et un champ 
t_curie de
valeur entière pour la température de Curie du matériau en kelvin.

id materiau nom t_curie
4534 cobalt 1 388
1254 dioxyde de chrome 386
8113 nickel 627
8284 VIG 960

-- La table fournisseurs, contenant un champ id_fournisseur, clé primaire de 
type entier qui
précise le code de chaque fournisseur, et un champ nom_fournisseur de type 
chaîne de caractères
pour le nom du fournisseur.

id fournisseur nom _ fournisseur
145 Worldwide Materials
13 Materials Company

-- La table prix qui contient un champ id_prix, clef primaire de type entier, 
un champ id_mat
dont les valeurs sont incluses dans l'ensemble des valeurs de la clé id 
materiau de la table
materiaux, un champ id_four dont les valeurs sont incluses dans l'ensemble des 
valeurs de
la clé id_fournisseur de la table fournisseurs, et un champ prix _ kg de type 
flottant qui
précise le prix au kg que ce fournisseur propose pour ce matériau, en euros. Un 
fournisseur qui
ne propose pas un matériau donné n'a pas d'entrée correspondante dans cette 
table.

id_prix | id mat | id_ four | prix _kg
1 4567 145 90.40
2 8671 13 1357.30
3 1763 145 92.19

Les requêtes demandées dans cette partie sont à écrire en langage SQL.

6. Écrire une requête permettant d'obtenir le nom de tous les matériaux qui ont 
une température
de Curie strictement inférieure à 500 kelvins.

Un client potentiel souhaite acheter 4,5 kilogrammes de nickel (d'identifiant 
8713, que l'on pourra
utiliser directement dans les requêtes) et sélectionner le fournisseur le moins 
cher.
7. Écrire une requête permettant d'obtenir les noms de tous les fournisseurs 
proposant du nickel et
le prix proposé par chacun pour 4,5 kilogrammes de nickel.

8. Modifier ou compléter la requête précédente afin d'obtenir le nom du 
fournisseur de nickel le
moins cher ainsi que le prix à payer chez ce fournisseur pour ces 4,5 
kilogrammes de nickel.
En cas d'égalité du prix optimal entre plusieurs fournisseurs, on obtiendra les 
noms de tous les
fournisseurs possibles.

9. Écrire une requête permettant d'obtenir le nom de tous les matériaux et le 
prix moyen pour un
kilogramme de chacun de ces matériaux (la moyenne étant calculée pour tous les 
fournisseurs
proposant ce matériau), en se limitant aux prix moyens strictement inférieurs à 
50 euros par
kilogramme.

Partie III : Modèle microscopique d'un matériau magnétique

Pour étudier l'effet du champ magnétique sur un matériau magnétique, on adopte 
une modélisation
microscopique. On modélise les atomes par des sites portant chacun une grandeur 
physique, nommée
spin, dont il n'est pas nécessaire de connaître les propriétés.

L'échantillon modélisé est une zone carrée à deux dimensions possédant h spins 
régulièrement
répartis dans chaque direction, donc formant une grille carrée de n = h? spins. 
Chaque spin ne
possède que deux états down ou up, ce que l'on modélise par une variable 5; EUR 
{--1,+1}.

hi

BD
-- -- | --ù à  --ù | --ù | --ù | -- | --
-- --> | > à --ù | -- | -- | -- | --
-- | -- 9 à à --ù | --> | --ù | -- | --
--> | -- | à > --ù | --ù | --ù | -- | --
-- -- | --à à --ù  --ù | --ù | -- | --
--> -- | --ù à --ù  -- | --9ù | -- | --
-- --> à > à --ù  --ù | -- | --ù | --
-- | -- | à --ù | --ù | --ù | -- | -- | --
-- | --à 2 à 9 --9 | --ù | -- | -- | --
-- --à | --ù --ù --ù  --ù | --ù | --ù | --

Y

FIGURE 2 --- Modèle des spins dans un matériau ferromagnétique

Pour implémenter cette configuration de spins décrivant l'état microscopique du 
matériau, on
choisit de travailler sur une liste s, contenant n entiers, chacun valant --1 
ou 1. On notera le choix
d'implémentation adoptée, qui impose de travailler sur une simple liste de n 
éléments pour mo-
déliser une grille de taille n = h x h, dans l'ordre suivant : première ligne 
puis deuxième ligne , etc.
Un domaine d'aimantation uniforme (cf. figure 2) sera donc représenté par une 
liste contenant n
fois 1 ([1,1,1,....1]).

Le début du programme, outre les imports de module Python déjà réalisés à la 
question 1, est
défini par :

1\h = 100
h*+*x2

2|n

ce qui définit deux variables globales utilisables dans tout le programme.

10. Écrire une fonction initialisation() renvoyant une liste d'initialisation 
des domaines conte-
nant n spins de valeur 1 comme sur la figure 2.
L'antiferromagnétisme est une propriété de certains milieux magnétiques. 
Contrairement aux ma-
tériaux ferromagnétiques, dans les matériaux antiferromagnétiques, 
l'interaction d'échange entre les
atomes voisins conduit à un alignement antiparallèle des moments magnétiques 
atomiques (cf. figure 3).
L'aimantation totale du matériau est alors nulle (on se limite au cas où À est 
pair).

hi

BD
-- | -- |e-- -- | -- | -- | -- | -- | -- | --

-- | -- | --> | -- | -- | -- | -- | -- | --

-- | -- |e-- | --> | -- | -- | -- | -- | -- | --

---- | -- |e-- | -- | -- | -- | -- | ---- | -- | --

-- | -- |e-- | -- | ---- | --|-- | -- | --

-- | -- |e-- | -- | -- | -- | -- | -- | -- | --

-- | -- |e-- | -- | -- | --> | -- | -- | -- | --
-- | -- |e-- | --> | -- | -- | -- | -- | -- | --
-- | -- |e-- | -- | -- | -- | -- | -- | --
-- | -- |e-- | -- | ---- | -- | -- | -- | --

Y

FIGURE 3 --- Modèle des spins d'un matériau antiferromagnétique

11. Écrire une fonction initialisation_anti() renvoyant une liste s 
d'initialisation des domaines
contenant À spins en largeur et h en hauteur en alternant les 1 et --1 comme 
sur la figure 3.

12. Pour afficher l'état global du matériau, il est nécessaire de convertir la 
liste s utilisée en un
tableau de taille À x h représenté par une liste de listes. Écrire une fonction 
repliement(s) qui
prend en argument la liste de spins s et qui renvoie une liste de À listes de 
taille À représentant
le domaine.

Attention : dans la suite, l'utilisation de la fonction repliement n'est pas 
autorisée : on travaille
exclusivement sur une liste unidimensionnelle s.

Dans la modélisation adoptée (sans champ magnétique extérieur), l'énergie d'une 
configuration,
définie par l'ensemble des valeurs de tous les spins, est donnée par :
LES SDS Sis j (3)

1 JEV:

avec V; l'ensemble des voisins du spin 1.

On suppose que seuls les quatre spins situés juste au dessus, en dessous, à 
gauche et à droite de 5;
sont capables d'interagir avec luï.

J est nommée intégrale d'échange et modélise l'interaction entre deux spins 
voisins. Pour sim-
plifier, on considérera dans les programmes que J -- 1.

Malgré le caractère fini de l'échantillon, on peut utiliser une modélisation 
très utile pour faire
comme s'il était infini en utilisant les conditions aux limites périodiques. 
Lorsque l'on considère un
spin dans la colonne située la plus à droite (resp. gauche), il ne possède pas 
de plus proche voisin à
droite (resp. gauche) : on convient de lui en affecter un, qui sera situé sur 
la même ligne complètement
à gauche (resp. droite) de l'échantillon . De même, le plus proche voisin 
manquant d'un spin situé sur
la première (resp. dernière) ligne sera situé sur la dernière (resp. première) 
ligne de l'échantillon (voir
la figure 4).

dd --à | >| à | -- | --

-- | -- > à --ù  --ù  --ù  -- |
-- -- | --> | -- | --ù | -->ù | ---- | -- | --

-- | --à | à à --ù  --ù  --ù | --ù | --

--+ | -- --à --> | --> | -->  --> | -- | -- | --
----+ --> 3 LR -- > > > | ----> | --
--+ --> | 3 --ù à > > | ----ù | --
--+ | -- à --9+ | --> | -- | -->ù | > | ---- | --
| --+ | à -->à à > > > --

FIGURE 4 -- Voisinage d'un spin (les voisins des spins sur les cases noires 
sont indiqués en gris)

13. Définir une fonction liste _voisins(i) qui renvoie la liste des indices des 
plus proches voisins
du spin 3; d'indice i dans la liste s (dans l'ordre gauche, droite, dessous, 
dessus). On pourra
utilement utiliser les opérations % et // de Python, qui renvoient le reste et 
le quotient de la
division euclidienne.

14. Définir la fonction energie(s) qui calcule l'énergie d'une configuration s 
donnée (cf. équation
3).

Pour trouver une configuration stable pour les spins, il faut faire évoluer la 
liste vers une situation
d'équilibre conformément aux principes de la physique statistique. On adopte 
une méthode probabiliste
connue sous le nom de méthode de Monte-Carlo, dont le principe de 
fonctionnement est le suivant. À
chaque étape :
15.

16.

17.

18.

19.

on choisit un spin au hasard dans l'échantillon,
on calcule la variation d'énergie AE qui résulterait d'un changement 
d'orientation de ce spin,
si ÀAE < 0, ce spin change de signe, si AE > 0, ce spin change de signe avec la probabilité donnée par la loi de 
Boltzmann :

Er) |

pop (r

Dans la suite, AE et kBT seront désignées par les variables delta_e et T 
correspondantes dans
le programme.

Définir une fonction test_boltzmann(delta_e, T) qui renvoie True si le spin 
change de signe,
et False sinon.

Juste après avoir sélectionné au hasard l'indice i d'un spin de la liste s à 
basculer éventuellement,
pour évaluer l'écart d'énergie delta_e entre les deux configurations 
avant/après, on propose deux
solutions sous forme des fonctions calcul delta_ei et calcul delta _e2 :

def calcul delta _ei(s, i):
s2 = sf:]
s2[i] = -s[i]
delta_e = energie(s2)-energie(s)
return delta e

def calcul delta e2(s, i):
delta _e = ©
for j in liste _ voisins(i):
delta_e = delta _e + 2*s[il*s[;jl]
return delta e

où s[i]l est le spin choisi pour être éventuellement retourné. Indiquer la 
solution qui vous paraît
la plus efficace pour minimiser le temps de calcul en justifiant votre réponse.

En utilisant la fonction test _boltzmann, définir une fonction monte carlo(s, 
T, n_ tests)
qui applique la méthode de Monte-Carlo et qui modifie la liste s où l'on a 
choisi successivement
n_test spins au hasard, que l'on modifie éventuellement suivant les règles 
indiquées dans les
explications.

Écrire la fonction aimantation_ moyenne(n_tests, T) qui:
«_initialise une liste des spins (avec la fonction initialisation par exemple),

e la fait évoluer en effectuant n_tests tests de Boltzmann et les inversions 
éventuelles qui
en découlent,

« calcule et renvoie l'aimantation moyenne de la configuration à la température 
T (définie ici
comme la somme des valeurs des spins divisée par le nombre total de spins).

Évaluer la complexité asymptotique de la fonction aimantation moyenne(n_tests, 
T) en fonc-
tion de n, nombre de spins dans le système, et de n_tests.
20. Cette complexité asymptotique serait-elle modifiée si on avait voulu 
prendre en compte toutes
les interactions entre deux spins quelconques dans le système, et plus 
seulement entre les plus
proches voisins ? Justifier.

On réalise plusieurs simulations en faisant varier la température T autour de 
la température de Curie
(ici Tc--=2,269 compte-tenu du choix des valeurs de J et kg). On représente 
alors les spins orientés
vers le haut par une case foncée et les spins orientés vers le bas par une case 
claire. On obtient les
résultats de la figure 5.

FIGURE 5 -- Évolution du domaine en fonction de la température T

21. Indiquer l'influence de l'augmentation de la température sur le 
comportement du matériau fer-
romagnétique.
10

Partie IV : Exploration des domaines de Weiss

Une observation microscopique des matériaux magnétiques nous apprend que les 
zones magnétiques
du matériau sont organisées en domaines, nommés domaines de Weiss. Dans un 
domaine de Weiss
donné, tous les spins ont la même valeur.

1

$

20

40

" +

{

+ a

0 20 40 60 80

80

FIGURE 6 -- Représentation des domaines de Weiss

On souhaite dans la suite décrire les différents domaines de Weiss afin, par 
exemple, de les colorier
d'une manière différente. Pour cela, on va construire une liste, nommée weiss, 
possédant exactement
la même taille que s (soit n) contenant initialement des --1 (cette valeur 
signifiant que le spin corres-
pondant n'a encore été affecté à aucun domaine de Weiss).

On souhaite alors écrire une fonction récursive explorer _voisinage(s, i, 
weiss, num) qui, à
partir d'une configuration donnée s, d'un indice de départ i (repérant le spin 
dans s), ainsi qu'un
entier num qui précise le numéro du domaine auquel appartient s;, construit 
récursivement la liste
weiss par effet de bord. Cette fonction doit réaliser les opérations suivantes :

+ Pour chaque spin voisin du spin s;, elle doit vérifier si les spins sont 
identiques, et s'il n'a pas
déjà été affecté à un domaine de Weiss précédemment.

e Dès qu'un tel spin est ajouté, on inscrit son numéro de domaine dans la liste 
weiss, et on explore
récursivement son voisinage.

22. Ecrire le code de la fonction récursive explorer _voisinage(s, i, weiss, 
num) conforme à la
description ci-dessus.
11

Avec la fonction précédente, la pile de récursion peut devenir de taille très 
importante dans le
cas d'un domaine de grande taille. Afin de mieux contrôler ce parcours, on 
choisit de l'effectuer avec
une structure de pile explicite. Cette pile sera représentée par une liste 
nommée pile sur laquelle on
peut ajouter un élément (avec append) ou récupérer l'élément du dessus (via 
pile.pop() qui renvoie
l'élément sur le dessus de la pile et le retire de la pile). Il s'agit donc, 
tant qu'il reste des spins à
explorer, de :

° récupérer l'indice d'un spin à explorer dans la pile et le marquer dans la 
liste weiss,

. regarder dans son voisinage si des spins possèdent la même valeur et n'ont 
pas encore été affectés
à un domaine, puis ajouter leurs indices dans la pile si c'est le cas.

23. Ecrire le code de la fonction itérative explorer _ voisinage pile(s, i, 
weiss, num, pile)
conforme à la description ci-dessus.

Enfin, la fonction précédente va permettre de construire la liste weiss 
contenant les numéros des
domaines auxquels appartiennent tous les spins (le numéro du domaine auquel 
appartient le spin
d'indice 0 sera pris à 0, le domaine suivant à 1, etc.).

24. Ecrire le code de la fonction weiss=construire domaines weiss(s) qui 
construit et renvoie la
liste weiss contenant le numéro des domaines de Weiss de chaque spin du domaine.

L'intérêt de la construction précédente est de disposer d'un marqueur différent 
pour chaque domaine
de Weiss, permettant par exemple de les visualiser dans deux dimensions avec 
des couleurs différentes,
comme dans l'image de la figure 7 :

40! ,

v 3

0 20 40 60 80

FIGURE 7 -- Domaines de Weiss après marquage en nuances de gris

Fin de l'épreuve
12

Annexe : Documentation sommaire

Les fonctions présentées ci-dessous pourront être utilisées sous réserve de 
l'import du module
Python auquel elles appartiennent.

-- Module math : les fonctions exp et tanh permettent de calculer 
l'exponentielle et la tangente
hyperbolique d'un entier ou d'un flottant.

-- Module randon :
-- randrange(n) permet de renvoyer un entier aléatoirement choisi parmi 
0,1,2...,n --1

-- random() permet de renvoyer un flottant aléatoire entre O0 et 1 suivant une 
densité de
probabilité uniforme.

On admet que ces deux fonctions sont de complexité constante.