CCINP Maths 1 PSI 2000

SESSION 2000 PSI005

A

CONCOURS (OHIIHIS POlYTICHNIOIIES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n° 99-018 du 01.02.99.

But du problème

Dans la partiel, on étudie les solutions d'une équation différentielle

(E) y"--ay = f(x),
solutions vérifiant en outre des conditions aux limites.

Dans la partie II, on introduit une fonction K de deux variables, fonction qui 
est définie comme
somme d'une série.

Dans la partie III, à chaque fonction f continue impaire 27t-périodique sur R, 
on associe une
fonction h grâce à la relation

h(x) : _|ïK(x,t)flt)dt

et on étudie quelques propriétés de la fonction ainsi obtenue.

PARTIE 1

Lorsque p e N, on désigne par % p( [O,7t], R) le R--espace vectoriel des 
applications de classe ÏËP
de [O,n] dans R.

Lorsque ae R et fe %°( [O,rt], R) on considère l'équation différentielle:

(E) y"--ay = f(x).
On désigne par:

0 %E) l'ensemble des solutions réelles sur l'intervalle [O,7t] de l'équation 
différentielle (E) ;

0
o y (E') l'ensemble des fonctions F appartenant à %E) et vérifiant en outre :
F(O) : F(7t) : 0.

MI On suppose, dans cette question, que f est la fonction nulle.
I.1.1/ Déterminer l'ensemble y °(E) lorsque a = 0.

Tournez la page S.V.P.

J. 1000

I.l.2/ Déterminer l'ensemble ÿ °(E) (selon la valeur de (» EUR Rî)

I.1.2.1/ lorsque a = (02,
1.1.2.2/ lorsque 0: : --w2.

I.2.l On suppose, dans cette question, que a = 0.

1.2.1! Déterminer l'ensemble 3" 0(E)

I.2.1.1/ lorsque f(x) : cos x,
I.2.1.2/ lorsque f(x) : sin (nx) (où n désigne un entier naturel non nul fixé).

I.2.2/ On suppose que f(x) = | cos xl.
1.2.2. 1/ Déterminer l'ensemble %E).

0 z
I.2.2.2/ Montrer que y (E) contient un seul élément, (seule fonction F de 
classe %

sur [0,75] telle que pour tout x & [O,n] ; F "(x) = | cas x | et F(O) : F(7t) : 
O) ;
expliciter F(x) et indiquer l'allure de son graphe.

I.3/ On suppose toujours que a = 0 et on désigne par f une fonction quelconque 
appartenant à
fâ°( [0,n1, R).

Montrer que F EUR 5" (E) si et seulement si il existe (A,B) & R2 tel que pour 
tout
xe [0,77] on ait:

F(x)=Lïfif{t)dt] du+Ax+B.

En déduire que pour tout f EUR % 0( [0,7r], R) l'ensemble 5" 0(E) contient un 
seul élément que l'on
notera F1,

Dans toute la suite de cette partie, on désigne par (p l'application de % 0( 
[0,75], R) dans lui même
qui à f associe l'élément F [, unique solution sur l'intervalle [0,71] de 
l'équation différentielle :

(E) y " =f(x)

vérifiant en outre y(0) : y(7r) : O.

I.4/ Vérifier que (p est un endomorphisme de % 0( [0,7r], R).

1.5/ L'endomorphismc (p est-il injectif ? surjectif ?

I.6/ Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme (p.

I.7/ Pour tout x EUR [0,71] on désigne par T,, l'ensemble des couples (t, u) & 
R2 tels que 0 S t 5 u 5 x.

1.7.1/ Représenter l'ensemble Tx dans le plan euclidien pour un x fixé, (0 < x < 75). 1.7.2/ Justifier les égalités suivantes, pour x EUR [0,77] et f EUR %°( [0,7r], R) : JL--xf(t) du dt=_fïfifÜ) dt] du=Jä(x--t) f(t)dt. 1.7.3/ Soient fe %°( [0,75], R) et F] : (p(f). I.7.3.1/ Montrer qu'il existe [3 E R (B que l'on explicitera) tel que pour tout x 6 [O,7z] on ait l'égalité: Fl(x)=[;(x--t) f(t)dt+Bx 0 (n--t)f(t)dt. I.7.3.2/ En déduire qu'il existe ye R (1! que l'on explicitera) tel que pour tout x & [O,7t] on ait l'égalité: F1( x ) = y[ _IZt(1t-- x)f(t )dt + [Îx(n--t ) f(t )dt] . PARTIE II. Etude d'une fonction de deux variables sin( nx )sin( ny ) 2 , lorsque la série converge. +°o Pour (x, y) e R2 on note K(x, y) =}: n=l " II.1/ Montrer que la fonction K est définie sur R2. II.2/ Soit y un réel fixé, étudier la continuité de l'application x l----) K(x, y). II.3/ Développement en série de Fourier d'une fonction Ex . On considère un nombre réel x fixé, x E [O, 7r] et on désigne par Ex l'application de R dans R 2n--péfiodique et impaire, définie sur [O, H] par : Ex (t) : t(7t-x) lorsque 0 S t 5 x et Ex (t) : x(7t-t) lorsque x 5 t S H. 11.3.1/ Indiquer l'allure du graphe de t l--> Ex (t) sur l'intervalle [-7t, 7r] 
(pour un x fixé,
x & ]O,7t[ ) ; justifier la convergence de la série de Fourier réelle de Ex et 
préciser sa somme.

(Rappel : la série de Fourier réelle de Ex est : & + Eau c0s(nt)+ b,, sin(nt)
2 nZl

où a,, "l!" Ex(t)cos(nt)dt et b,, -- IJ." Ex(t)sin(nt)dt
1: '" _"

112

sont les coefficients de Fourier réels de E x)_

11.3.2/ Calculer les coefficients de Fourier réels de la fonction Ex.
11.3.3/ Exprimer K(x, t) en fonction de Ex (t) pourx E [O, n] et t E [O, n'].

II.4/ On considère les sous-ensembles suivants de R2 :
le carré C ensemble des couples (x,t) EUR [O,7r]x [O,7t],

le triangle U ensemble des couples (x,t) & C tels que 0 < t < x < 7r, le triangle Ü ensemble des couples (x,t) & C tels que 0 S t 5 x 5 7r. 11.4.1/ Déduire de [1.3.3 l'existence d'un minimum et d'un maximum pour la fonction K sur le carré C et préciser la valeur du minimum. 11.4.2/ La fonction K possède--t--elle un maximum relatif sur le triangle U ? Tournez la page S.V.P. 11.4.3/ Etudier les extremums de la fonction K sur l'ensemble (7 \ U (bords du triangle de Ü ). 11.4.4/ En déduire la valeur du maximum de K sur le carré C . 11.4.5/ Si 6 G R on note F5 l'ensemble des (x,t) & C tels que K(x,t) : ô , (F5 est la ligne de niveau 6 ). Représenter (sur un même croquis) l'ensemble C, F 0 et la ligne E; passant par le point (£ ,ï). 4 4 PARTIE III Dans cette partie on désigne par : . JM le R--espace vectoriel des applications continues, impaires 27z--périodiques de R dans R. 2 +00 . . . K la fonction introduite dans la partie 11 [K(x, y ): E_sm( "x)--W ny )]_ "=] n A toute fonction f appartenant à .Ï2n on associe la fonction h = Il] (f) définie sur R par h(x) = Il K(x,t) f(t)dt. III.1/ Vérifier que si fe Z,; et si h : w(f) alors la fonction h est impaire, 2n--périodique. Justifier l'égalité h(x)=2jâ' K(x,t) f(t)dt. III.2/ Déduire de 113.3 et de la partie 1 que si f & JM alors les fonctions h = w (i) et F, : (p(f) sont proportionnelles sur [O, 75] ; en déduire que h est de classe %2 sur ]0, n[ et qu'elle vérifie les relations : f pour tout x E ]O, n[ { h"(x) = -flflX) lmoe=mm=o IH.3/ En utilisant (en particulier) l'imparité de fet de h, montrer que h est de classe %2 sur R. Dans toute la suite de cette partie, pour chaque application g 27t--périodique, continue par morceaux de R dans R, on désigne par a,,(g) et b,,(g) les coefficients de Fourier réels de g : 1 n' 1 71: pourtout ne N: an(g)=;I fig(t)cos(nt)dt, bn(g)=-ÆI flg(t)sin(nl)dt. Soient désormais fe l,; et h : ut(f). III.4/ Etablir une relation entre b,,(h) et b,.(h ") pour n G N*. n>l nZl "

2
111.5/ Justifier la convergence de la série E(b,l (f ))2 [respectivement 2 (b" 
(4f » ] et exprimer

+00
2 (b,, ( f ))2 (respectivement... 2 (b" (f))2 ------------]en fonction d'une 
intégrale.
: n=l "4

III.6/ Etablir l'inégalité :
[; (h(x)) dx< 712 j ...(x) III.7/ Soit D = {(x, y) 6 R2/ -7t< x_ < 7: et -7z.<. y_ < 7:}. On considère l'intégrale double : J(f)= HDK( f(x) f(y ) dx dy- III.7.1/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale ÿ)JO f(x) h(x)dx. 2 71 III.7.2/ Exprimer J(f) en fonction de l'intégrale IO (h'(x)) dx III.7.3/ Montrer que : 0 5 J( f) 5 2flIä(f(x))2dx III.7.4/ Déterminer les fonctions fe $,, telles que : 2 = 2nfé'(fü)) dx Fin de l'énoncé