SESSION 2003 ' A PSIMIOS
CONCOURS (OMMUNS _P0lYTECHNIOUES
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Les calculatrices sont autorisées.
****'
N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a
été amené à prendre.
q****
Dans tout ce problème, on désigne par ,il une application continue 27! -
périodique de R dans R et
on considère l'équation différentielle :
(En) Y"+ y = fl(ï)
On désigne par (a" la solution sur R de (E") qui vérifie en outre les relations
ça" (0): $;: (0): 0.
Pour xe R , on note :
_ Gfl(x)= Eu(t) cost dt et Hfl(x)=_f0xu(t) sint dt
Dans la partie 1, on étudie quelques propriétés de la fonction $,, . Dans la
partie II et la partie 111,
on étudie un exemple explicite. V
' PARTIE I
On désigne par F y la fonction définie sur R par F # (x)= (sin x) GF (x)-- (cos
x) H # (x).
Pour simplifier les notations, on écrira F, G, H , $ pour désigner les fonctions
F", G... H", %.
I.1 Justifier la dérivabilité de G, H "et donc F. Préciser F (O) et 'F'--(O).
I.2 -Montrer que F est de classe EUR?" sur R et exprimer F "(x)+ F (x) en
fonction de ,u(x).
1.3 Justifier l'affirmation F = $.
1.4 Etude du caractère 271 -' périodique de (p .
1.4.1 Calculer la dérivéede G(x + 27z)---- G(x) et H(x + 27z)-- H(x).
1.4.2 Exprimer G(x + 271 ) -- G(x) en fonction de G(27Z)
et ' H (x + 271 ) -- H (x) en fonction de H (271 ).
1.4.3 Exprimer w(x +_27z )--w(x) en fonction de sin x, cos x, G(27z) H (ZE).
1.4.4 A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur G(27z) et H (Zn)
fonction (fl est--elle 27z-- périodique '?
1.4.5 La fonction (p est--elle 272 - périodique lorsque. ,u(t)=sint '? (resp.
lorsque
,u(t)=cost ?)
1.4.6 La fonction (p est--elle bomée lorsque ,u(t)= sint ? (resp. lorsque
,u(t)= cost ?)
1.4.7 Montrer que la fonction (p est 272 - périodique lorsque ,u(t)= |sin tl.
1.4.8 Les fonctions (0 , (p', et ça" sont--elles bomées lorsque ,u(t)=lsin tl ?
Dans toute la suite du problème, on suppose que ,u(t)= |sin tl .
PARTIE II
Calcul de !
R+
e"çp(t) dt
II. 1 Justifierl' intégrabilité sur R de la fonction 1 +---> e |sintl.
II. 2 Pour ne N, on note v,, : --I(n+l)fle "'lsin tl dt.
11.2.1 Calculer vo.
Il.2.2 Montrer qu'il existe un nombre réel ,a (que l'on explicitera) tel que
pour tout ne N , on ait v,, : p"vo.
11.2.3 En déduire la convergence de la série Evn et expliciter sa somme 2vn .
n20 n=0
[1.2.4 En déduire la valeur de l'intégrale _[R+ e"|sin tl dt.
11.3 -
11.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de 1.4.8)
que les
fonctions 1 |----> e"(p(t), t |--> e"ça'(t) et t l--> e"çü"(t) ,sont
intégrables sur , R+ .
Il.3.2 Etablir une relation entre !
R+ e"',u(t) dt et [... e"'æ(t) dt.
e"'(0(t) dt ,.
R+
En déduire [
PARTIE III _ \
Développement de Fourier des fonctions ,u et {0 .
Si f est une application continue 2fl- périodique de R dans R, on désigne par a
(f) et b ( f )
les coefficients de Fourier réels de f:
a ,,(f)=---- ;J?f(r) cos(nt) dt et b ,,(f)= --71Î0J2"f(t) sin(nt) dt pour ne N.
Lorsqu'elle converge, on désigne par SF , (t) la somme de la série de Fourier :
SF,(t)= "ogf)+ É...) cos(nt)+b,(f) s...(m).
III.]
III.1.1 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction . ,u
(rappel : ,u(t)= |sin tl ).
III. 1.2 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction @
(rappel: «) "(t)+w(t) =lsîntl. w(0)= (fl'=(O) 0)
III.2 Série de Fourier de la fonction ,a .
III.2.1 Calculer les coefficients an(,u) pour ne N . Quelle est la valeur des
coefficients
bn(,u) pour ne N' ?
' 1
III.2.2 Etablir la conver ence de la série et ex liciter sa somme
g % (4p21 -- )1 p Ê2 4 p -1
III.2.3 Etablir la convergence de la série Z------l---2-- et calculer sa somme
Î------l------2
- p>1(4p2 --1) p= -1(4p2 --1)
1113 Série de Fourier de la fonction (0 .
III.3.1 Etudier la parité des fonctions G, H puis celle de la fonction (p .
Quelle est la
valeur des coefficients bn ((p) pour ne N' ? '
III.3.2 Etablir une relati0n entre an ((p") et a,, ((p) pour ne N .
III.3.3_ En déduire la valeur de au ($) pour n # 1 .
111.3.4 Calculer a1 (@).
III. 4 On considère la série z . Just1f1er la convergence de cette sene et
p>l 4p2 "'1 16p4 "'].
expliciter sa somme Î------l-------- en calculant l'intégrale du II par un
autre procédé
.. _1(4p2 --1)(16p --1)
qu'on justifiera soigneusement.
III.5 On considère dans cette question l'application à de classe EUR2 de R dans
R vérifiant;
W(Ù+$(Ù=w(t) pour tout te R
et a(o)= o'(o)= o.
111.5.1 La fonction «) est-elle 271 - périodique ?
III.5.2 La fonction @ est-elle. bornée sur R ?
III.S.3 La fonction t +--> e"'$(t) est--elle intégrable sur R+ ?
Fin de l'énoncé.
