CCINP Maths 1 PSI 2004

 

SESSION 2004 ' . PSIM105

CONCOURS COMMUNS POIYÏECNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N. B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

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Notation et but du problème
On désigne par :
* EO : le R - espace vectoriel des fonctions f définies sur R+ à valeurs 
réelles, de

classe EUR1 sur R et qui vérifient f (O)=O;

+ ,

° E1 : l'ensemble des fonctions f appartenant à E0 et telles que la fonction

2
t *
t|--> {jf--)] soit intégrable sur R+ ;

° E2 : l'ensemble des fonctions f appartenant à E() et telles que la fonction

t +-----> ( f '(t))2 soit intégrable sur R+ .

On note :
' 1/2 1/2

Nl(f)= [(I--@] dt pour feEl; N2(f)= J(f'(t))2dt pour feE2.

Ri ' R+

Le but de ce problème est de comparer les ensembles E1 et E2 d'une part, les 
fonctions N1

et N2 d'autre part.

Les parties I et Il sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le 
problème de
comparaison de façon plus générale...

PARTIE 1 - Exemple 1

Dans cette partie, on suppose que f est la fonction définie sur R+ par f (t) : 
Arctan t (où
Arctan désigne la fonction Arctangente).

I.1/ Montrer que f appartient à E,.

* . 1 . ,
I.2/ Montrer que, pour tout xEUR R+ , la fonct10n HJr : t l--> ( est 1ntegrable 
sur

t2 +l)(t2 +x2)
R+ , et qu'en particulier f appartient à EZ. »
1.3/ Calcul de N2 (f).

Pour xEURRî, on note w(x)= [HX (t)dt. '
R+

1.3.1/ Montrer que la fonction ça est continue sur R1.

1.3.2/ Soit x EUR Ri , x il ; décomposer en éléments simples la fraction 
rationnelle de la

variable T :
1

(T + 1) (T + x2)
1.3.3/ En déduire l'expression explicite de çp(x) pour x EUR Ri , x # 1 .

1.3.4/ Quelle est la valeur de N2 (f) ?

I.4/ Etudier le signe de u -- Arctan u , pour u EUR R+ .

Arctan (xt) - *

I.5/ Montrer que, pour tout x EUR R+ , la fonction GX : t l--> t (t2 +1) est 
intégrable sur Ri.

I.6l Calcul de N1( f )

Pour xeR+ , on pose EUR(x)='IGx(t)dt.
, R:

1.6.1/ Montrer que la fonction 9 est continue sur R+.

1.6.2/ Montrer que la fonction '9 est de classe EUR" sur R+.

1.6.3! Expliciter 9'(x) pour xeR+.

1.6.4/ Expliciter 6(x) pour xe_R+.

1.6.5/ Etablir une relation entre [Nl ( f )]2 et 6'(l) .

1.6.6/ En déduire la valeur de N1 (f) et celle de N' (f) .
' N 2 (f )

PARTIE II -- Exemple 2

Dans cette partie, on suppose que f est la fonction définie sur R+, par f (t) : 
ln (t + t2 +1)

(où ln désigne la fonction logarithme népérien).

II.1/ Calculer, f '(t) pour te R+. En déduire que f appartient à EZ. Quelle est 
la valeur de
N2 (f) ?

II.2/ Déterminer unéquivalent (simple !) de f (t) lorsque tI--> 0+ 
(respectivement lorsque
t --> +oo ).

II.3/ Montrer que f appartient à El.

II.4/ Calcul d'une intégrale. *

---lnt
1---t2

Il.4.l/ Montrer que la fonction t +--> est intégrable sur l'intervalle ]O,l[.

--lnt
2 dt.

On note désormais J = !
]0,1[ 1 "" t

II.4.2/ Montrer que, pour tout k eN , la fonction t 1----> --t"' Int est 
intégrable sur
l'intervalle ]0,1[ ;expliciter la valeur de :" J,, = ! (--t"' ln t)dt.
]°1[

II.4.3/ Justifier avec soin l'égalité: ]: ZJk =Z J (-- t2" ln t)dt.
k- =,0]01[

II. 4. 4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l'intégrale ], sachant que la 
série Z--
n.>.l "

72,2

converge et que Î-- : --.
,,_1 n 6

11.5/ Calcul de N,( f).

Pour simplifier, on note 1 : (N1 ( f))2 J' (ft -----)-f](t2dt.

e" --e'" 6" +6"
, chu :

2 2

On rappelle que shu : pour ( u 6 R) et la relation ch2u - sh2u =1.

11.5.1/ Montrer que 1=2[tf() dt.
t +1

11.5.2/ Justifier le changement de variable u= f (t)=ln (t+ t2+1) dans 
l'intégrale

obtenue dans la question II.5.1 ; que devient 1 quand on effectue ce changement 
'?
Même question pour le changement de variable v = e""

N
II.5.3/ En déduire la valeur de N1 (f) , puis celle de '(f) .

N2 (f)

PARTIE III

Le but de cette partie est de comparer, d'une part, les ensembles E1 et E2 , 
et, d'autre part,
les fonctions N1 et N2.

III.1/ Soit f une fonction quelconque appartenant à EO (donc de classe EUR] sur 
R et telle

f __(__î)

que f (O)-O). On associeà f deux fonctions g et h définies sur R+ par 
g(t)=------ J;

et h(t)=--f--£î--)- pourtout t>0.0npose a=f'(0).

III.1.1/ Quelle est la limite de h(t) (respectivement de g(t)) lorsque t --> 0+ 
?
III.1.Z/ Exprimer f '(t) --\/; g'(t) en fonction de h(t) lorsque t 6 R: .

III.1.3/ Quelle est la limite de JÏg'(t) (respectivement de g(t).g'(t)) lorsque

t--> 0+ ? (on exprimera les résultats en fonction de a = f '(0) ).

III.1.4/ Etablir, pour x > 0 , la relation. °

(fi) ( ( f'(t))2dt : ()(gx) + _( («Î g '(t)) dt + -- 4_( (h(t))2dt.

]... 10x1 410x1

(après avoir justifié l'intégrabilité sur ]o,x] de chacune des fonctions qui 
interviennent).

III.2/ Comparaison de E1 et E2.
III.2.II Déduire de la relation (5%) l'inclusion: E2 CE].

III.2.2/ Les ensembles E1 et E2 sont-ils égaux ? (On pourra considérer la 
fonction
t l--> sin t ).

III.3/ Comparaison de N1 et N2 .
III.3.1/ Montrer que E2 est un sous-espace vectoriel du R - espace vectoriel EO.

On admettra sans justification que N1 et N 2 sont des normes sur l'espace 
vectoriel EZ.

\

III.3.2/ Justifier l'inégalité : Nl ( f) g 2N2 (f) ,pour f E E2 .

III.3.3I Pour n EUR-- N* , on définit sur R+ la fonction fn par f,, (î ) = e"' 
sin (nt) .
Vérifier que fn & E2 pour tout n e N'" et calculer N2 ( fn) .

111.3.4/ Les normes N1 et N2 sont--elles équivalentes sur E2 '?

III.4/ Soit f appartenant à E2 ;en utilisant la relation (fi) ,montrer que g(t) 
admet une

limite lorsque t ---> +oo ; quelle est cette limite ?

Fin de l'énoncé.