CCINP Maths 1 PSI 2005

SESSION 2005 PSIMIO4

A

CONCOURS 'COIIUNS POlYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FlLOERE PSI

MATHEMATIQUES 1 __

Durée : 4 heures

Les calculatrices s0nt autorisées.

_;****

NB. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision 
et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

****\
Notation et Objectifs :
On note :
. " N , l'ensemble des nombres entiers naturels,
* IR : l'ensemble des nombres réels,
' C : l'enSeiane des nombres complexes,
' EUR" : le IR . --y espace vectoriel des fonctions continues de IR dans IR , , 
_» _
' @Ï : le sous--espace vectoriel de @" des fonctions f 1--périodique 
_(c'est-à--dire

, telles que f(x+1) =_f(x) , pour tout 26 EUR R)f

Dans tout ce problème, on désigne par 0 l'application de (60 dans @»,définie 
par ;

» ' x 1' ° "
pour tout f EUREUR°, 9( f )=F où F est la fonction de IR dans IR qui à x, 
associe [ + f (t)dt.

On admet que 0 est un endomorphisme de EUR" , '

L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés de la fonction F et 
de l'endomorphisme 9 .

I.l/

1.2/

1.3!

PARTIE 1
Quelques proprietes de F 50( f )

Exemples. , .
LL 1/ Expl1citer F ( ), si f est définie sur R par f (t)=l.

' 1.1.2! Expliciter F (x), si f est définie sur R par f (t)=t." (où k est fixé 
dans N ").

Variation de F : 9(f ) .

On désigne maintenant par f une fonction arbitraire de EUR" .

1.2.1/ Montrer que la fonction F est de classe @ sur R . Expliciter F '(x) en 
fonction
de f et de x.

1.2.2/ Montrer que si la fonCtion' f Y eSt croissante (respectivement 
décroissante) sur un
intervalle .],0 = (x,, +oe[ , alors la fonction F , est croissante 
(respectivement

décroissante) sur J "o .

1.2 .3I Montrer que la fonction F: 9( f ) est constante sur) IR si et seulement 
si f
appartient à EUR". *

1.2.4/ Expliciter F (x ), si f est définie sur R P" f() =|sin( '")|

On suppose de nouveau que f désigne une fonction arbitraire de EUR" .

1.2. 5/ On suppose que la fonction f adma une limite finie L en +00.

Montrer que la fonction F admet une limite L2' (que l'on explicitera) en +00; on
pourra étudier d'abord le cas où L,-- --- 0 .

Propriétés du graphe de F .
Soient f &" .. F = 9( f).

On considère la fonction w définie sur R par V(u)= F (u-- â)-- -- _ _( "% f 
(t)dt

1.3.1/ (Comparer w(---u) et w (u) , si la fonction f est impaire 
(respectivement paire).

1.3.2/ Quelle propriété géométrique de la représentation graphique de la 
fonction F peut--on
déduire des résultats obtenus en 1.3.1, si la fonction f est impaire 
(respectivement
paire) ? *

I.4/ Étude d'un exemple.

_. _ _ - +oo, "'--"kt2' : , ' '
' Soit f (t) 2 62 ,pour t réel.
k=1 k +1

1.4. 1/ Montrer que la fonction f est définie et continue Sur IR.

. 1.4.2/ La fonction f est-elle de classe @; sur "R ?"

1.4.3/ La fonction f admet--elle une limite en +oo ? Si oui, laquelle ?;..._

I.4.4/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction f (on ne 
cherchera

pas à préCiser f (O)).

1.4.5/ La fonction f est--elle intégrable sur ' lR '? ' v

I.4.6/ SOit F=a( f). 4 * _, . , . ._
I.4.6.1/ Indiquer l'allure de la représentation graphique de la fonction F .

1.4. 6. 2/ La fonction F est--elle integrable sur R ?
(on pourra comparer F (x ) et f (x ) pour x appartenant à ]R )

PARTIE II

L'endomorphisme EUR

11.1/ L'endomorphisme 6 est-il surjectif '?

II.2/ Sur le noyau de 0 .

On note désormais Ker0 le noyau de l'endomorphisme 93 ...

11.2.1/ Montrer que feKer0c>[ fè@Î et ];f(t)dt=0 ]
11.2.2/ Soit ( f,g)e('EUR3)2. On note l

II.3/ Sur le'spectre de 0 . , ,
' On note Sp (EUR) l'ensemble des Valeurs propres réelles de l'endomorphisme 0 .

' Si a est un nombre réel fixé, en note ha la fonction définie sur R par ha (t) 
= e'".
II.3.1/ Montrer que'chaque ' ha est un vecteur propre de l'endomorphisme 9 .

e --1 pour uen".

11.3.2/ Étudier les variations de la fonction u H
. . . . u

"11.3.3/ Expliciter l'ensemble [Sp(0)](le+ .

PARTIE 111

Une suite de fonctions propres de l'endomorphisme 9 '
' Soit A une valeur propre de l'endomorphisme 0 .
On note E A le sous--espace propre associé à la valeur propre it qui est fixée 
dans toute cette
partie. *
On suppose A > O.

III--.Il Soit k EUR N' . On note Ik l'intervalle ]2k75,(2k + 1) 7r[ .

On pose, pour tout t de l'intervalle Ik : g(t) == t(£$£î--)+ ln(%%£) , où ln 
désigne la fonction
. , sm
. logarithme népérien. *

Ill.l.llSoit p la fonction définie sur Ik , par : p(t) == tsin(2t)--t2 ---sin2 
t. _

Étudier la fonction p sur Ik et préciser son signe.
III.1.2/ Montrer que g définit une bijection de Ik sur un intervalle de R à 
préciser.

On se propose de montrer l'existence, dans E A , d'une suite (non» triviale) ( 
fk )keN. de fonctions

propres. '

un! soit * y = a +ib, où (a,b) EUR Rx_]0,+oe[ .
' V . « x+l
111.2.1/ Soit xelR. Calculer , [ e"dt.
, III.2.2/ À quelle condition nécessaire et Suffisante la fonction il de R dans 
R définie

par h(t) : e"' cos(bt) est--elle un vecteur propre de l'endomorphisme , 9 
associé
à la valeur propre il '? '

III.3/ En déduire une suite ( fk ) k eN. de fonctions propres de 
l'endomorphisme 0 .

Fin de l'énoncé