CCINP Maths 1 PSI 2006

SESSION 2006 PSIM 104

A ,

CONCOURS COMMUNS POlYÏECHNIOUEÏ

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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NB. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision 
et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreurd'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
_ poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

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Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On note :
° . N : l'ensemble des entiers naturels,
° R : . l'ensemble des nombres réels,
* C : l'ensemble des nombres complexes.

Pour 2 appartenant à, C , on note |z| son module. -

Pour tout entier naturel n, on note :
° n! la factorielle de n avec la convention O! = 1 ,

* [[O,n]] l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 .<. k 5 n ', n . {k) le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments, , pour k EUR lI0,n]] . On rappelle : .1a valeur de {Z) , ': W pour ke[[0,n]], ° la formule du binôme : si 21 et 22 sont des nombres complexes et n un entier naturel, alors : (21 +22 )" : Î(Z] z{'zÿ"k. k=0 " 1 1 - 1 =1+--+ ....... +-- Enfin si n est un entier naturel non nul on note on la somme --k-- 2 k=1 " et on pose 00 = 0. Objectifs : Dans les parties 1 et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l'étude de diverses fonctions et en particulier une fonction @ à laquelle on applique ledit procédé de sommation. Étude d'un procédé de sommation \ Dans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes : Toute application de N dans C étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuelle a (n) = a . n , . . . . * , . * 1 " n A toute suite complexe a , on assome la suite a defime par : pour tout n e N , an : '27 (kick . _ , k=0 . L'objet des parties 1 et II est de comparer les propriétés de la série 2512 aux propriétés de la série . . n20 Za... n20 PARTIE 1 Deux exemples I.1/ Cas d'une suite constante. v _ Soit a & C°" ; on suppose que la suite a est définie par : pour tout ne N , an .: a . 1.1.1/Expliciter Z[ZJ pour 11 EN . * k=0 \ ' I.1.2/Expliciter' a: pour n e N . 1.1.3/ La Série 2 an (resp. z a; ) est Ë-elle convergente ? n20 n20 I.2/ Cas d'une suite géométrique. _ _ Soit 2 e C ; on suppose que la suite a est définie par : pour tout n e N , an = z" . I.2.1/ Exprimer a; en fonction de z et n. _ I.2.2/Oh suppose que |z| q la somme S(] (71,51) =Z(/Jâ{î-- .
. k=0

Quelle est la limite de Sq (n,a) lorsque l'entier n tend vers +oc ?

II.2/

II.1.5/ La convergence de la suite ( an)

II.].3/ On suppose que an tend vers 0 lorsque n tend vers +oo ;

Montrer que a; tend vers 0 lorsque n tend vers +00.

II.1.4/ On suppose que au tend vers ! (limite finie) lorsque n tend vers +00. 
Quelle est la

limite de a: lorsque n tend vers +oo '?

neN' est-elle équivalente àla convergence de la suite

a*) ?
( '1 nèN

' . . I o *
Comparaison des convergences des serres Zan et Zan .

n20 n20

Pour neN5onnote Sn =\Zak , 11=2a2 , Un=2"î;.
k=o . k=0

II.2.1/ Pour n e|[O,3]] , exprimer Un comme combinaison linéaire des sommes Sk,

, n
c'est à dire sous la forme Un : ZÂn kSk.
- k=0

II.2.2/ On se propose de déterminer l'expression explicite de Un comme 
combinaison

linéaire des sommes Sk pour k e[[0,n]] :

(EUR) Un : ËÂn,kSk pour n eN.
. k=0 .

II.2.2.1/ A quelle expression des coefficients )... (en fonction de n et k) 
peut--on

_ s'attendre compte tenu des résultats obtenus à_ la question II.2.1 ?
II.2.2.2/ Etablir la formule (£) par récurrence sur l'entier n (on pourra 
remarquer.
que pour tout k e[[O,n1] : ak' : Sk -- Sk_1 avec la convention S_1 = O).

II.2.3/ On suppose que la série 2 an est convergente.

nZO '

' +00
, . * - . *
Montrer que la serre , E an est convergente et exprimer la somme 2 an en
nZO n=0 .

+00
fonction de la somme 2 an .

n=0
II.2.4/ La convergence de la série }: an est-elle équivalente àla convergence 
de la série

nZO
"*
za"?

n20

PARTIE 111

Une étude de fonctions

On rappelle que: an : 2% pour h & N°" et 00 = O.
_ ' _ k=l
Pour x réel, lorsque cela a du sens, on pose :

n +oo n +oo

(nÎ--1)Ü g(x)=ZÛnx ; $(X)=£qu".

n=0 "! ' n=0 '

f(x>=Î

< n=0' 111.1/ Étude de f. Ill.lll/ Vérifier que f est définie et" continue sur R . III.1.2/ Expliciter xf (x) pour tout x réel. III.l.3/ Expliciter e"" f (x) pour tout x_ réel. 111.2/ Étude de g. III.2.1/ Montrer que g est définie et de classe EUR! sur R. III.2.2/ On désigne par g' la dérivée de la fonction g ; eXprimer g'--g en ' fonction de f . _ ' III.2.3/ Montrer que pour tout x réel : 'g(x) =e" fe"f(t)dt. III.3/ La fonction F . On considère la fonction F définie sur R par: F(x)= fe"'f(t)dt. III.3.1/ Montrer que la fonction F est développable en série entière sur R et expliciter son développement. ' . . * ,, < --1>"'
111.3.2/ P N , t : ___--'
our ne onnOe %; ëk(kl)(n--k)!

Exprimer 7h en fonction de n et an.

_ , . (---1)k+1
111.4/ La ser1e Z .
, , ... . k

Pour n e N* on note ln( n) le logarithnfle repérien de n.

' III.4.1/ Soit wk =ln(fil)------l-- pour k & N°"
, k k+1 _

III.4.1.1/ Montrer que la série Z wk est convergente.
' kZl

Ill.4.l.2/ ' En déduire que la suite de terme général Un -- ln(n) admet une 
limite

finie (que l'on ne demande pas de calculer) lorsque n tend vers +oo .

k+1
* . n _1 . ' .
III.4.Z/ Pour n E N , on pose z'n : z( k) ; exprimer T," en foncüon
k=l

de (72, et a".

k+l
, - _]
III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série z( k) est
' _ 4 " k21
(_1)k+l . '
k

+00
convergente et déterminer sa somme z
k=l

III.5/ Étude de la fonction ça' .

' On rappelle que pour x réel ça( x) = Îopc" .

n=0

III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence R de la série entière 2 aux". .

nZl

III.5.Z/ Préciser l'ensemble de définition A de la fonction ' ça , et étudier 
ses

variations sur [O, R[ .

111.5.3/ Valeur de WG).

En utilisant les résultats de la partie II et de laquestion III.4.3 expliciter 
la

valeur de ça (%) .

III.5.4/ Expliciter (/)(x) pour x appartenantà A et retrouver la valeur de 
çp(--l-).

2

Fin de l'énoncé