CCINP Maths 1 PSI 2007

 

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SESSION 2007 PSIMIO2

CONCOURS COMMUN!» POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQÜE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

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Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On note :
' N : l'ensemble des entiers naturels,
* R : l'ensemble des nombres réels,
* e : le nombre réel dont le logarithme népérien est égal à l.

Pour x appartenant à R , on note |xl la valeur absolue de x.

Pour tout entier naturel n, on note n! la factorielle de n avec la convention 
0! m 1 .

Si j et n sont deux entiers naturels fixes tels que 0.<. j Sn , on note : * [[j,n]] l'ensemble des entiers naturels k vérifiant j.<...k.<.n, * le nombre de parties ayant ] elements d'un ensemble de n elements. j . . , , n n! On rappelle que pour tout entier naturel ] element de [[O,n]] on a : m j j%n--jfl° Si f est une fonction k fois dérivable sur un intervalle I (avec kZl) on note f ' (resp. f (k)) sa fonction dérivée (resp. sa fonction dérivée k -ième). Si u est une application de N dans R , donc une suite réelle, on utilise la notation usuelle : u(n)mun pour tout n appartenant à N . Scit x un nombre reel, on rappelle que S'il ex1ste un nombre entier p qui verifie [ p ------ xl < ------ alors 2 p est l'entier le plus proche de x . Objectifs : L'objet du problème est d'une part d'établir, pour tout entier naturel non nul, un lien entre l'entier naturel fin le plus proche de e--1n! et le nombre 7" d'éléments sans point fixe du groupe symétrique f et d'autre part, d'étudier l'écart @ == e'1nl-- fin. n Dans la partie 1 on étudie fin et on le caractérise grâce à une récurrence, dans la partie II on étudie % et on établit un lien avec ,Bn . La partie III est consacrée à une estimation de 5" puis à une étude des deux séries 25" et z 5" . nZO n=1 " PARTIE I Les suites a et ,8 On définit la suite a par ao ==1 et la relation de récurrence : n+l pour tout n de N : an+l=(n+l)an +(---1) n +00 n , , . x x x . . On rappelle que pour tout x reel, la serre Z-------;-- est convergente, et que "T m e ; en particulier nZO "' n=0 "' +°° ("l)n --1 pour x==-----l : m e % "! k k " -------1) +°° <----1>
' m ' ( =
Pour n eN, on note. ,Bn ii./ë k! et ,on [@an k! .

I.1/ Étude de la suite a .

1.1.1/ Expliciter ak pour k dans [I0,4]].

1.1.2/ Montrer que an est un entier naturel pour tout n de N .

I.2/ Étude de la suite ,5' .

I.2.1/ Expliciter ,Bk pour k dans [IO,4]].
I.2.2/ Montrer que fin est un entier relatif pour tout n de N .

I.2.3/ Expliciter fln+1--(n+l)fln en fonction de n , pour tout n de N .

I.2.4/ Comparer les deux suites & et ,5' .

1.3/ Étude de p, .
I.3.1/ Préciser le signe de ,on en fonction de l'entier naturel n .

1

g...

n+l

1.3.2/ Etablir, pour tout entier naturel n , l'inégalité suivante : n! ,un

L'inégalité est--elle stricte ?

1.3.3/ Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n 21, fin est 
l'entier naturel le

plus proche de e--1n!.

I.4/ Étude d'une fonction.

On désigne par f la fonction définie et de classe C1 (au moins) sur 
l'intervalle ]------l ; l[ à valeurs

réelles, vérifiant les deux conditions :

f(0)ml et pour tout x de]----l ; l[: (l--x)f'(x)«x f(x)zO.

1.4.1/ Justifier l'existence et l'unicité de la fonction f . Expliciter f (x) 
pour tout x de

]--1 ; l[.
1.4.2/ Justifierl'affirmation : « f est de classe C°° sur ]----1 ; l[ ».

1.4.3/ Expliciter (l...--x) f (x) , puis exprimer pour tout entier naturel n :
(l--x)f(fl+l)(x)--(n+l)f(")(x) en fonction de n et de x.

1.4.4/ En déduire une relation, valable pour tout entier naturel n , entre fin 
et f (,,) (O) .

PARTIE II

La suite 7

Dans cette partie, on désigne par n un entier naturel.
Pour n...>...l on note:

' fn l'ensemble des permutations de [[l,n]],

° ;/n le nombre d'éléments de f sans point fixe (? appartenant à f est sans 
point fixe

n n

si pour tout k de [11,11], on a T(k)$k).

Pour n =O on adopte la convention : 70 ==l .

II.1/ Calculer 71 et 72.

11.2/ Classer les éléments de f3 selon leur nombre de points fixes et calculer 
7/3 .

II.3/ On suppose dans cette question que n = 4 .

II.3.I/ Quel est le nombre d'éléments r appartenant à f4 ayant deux points 
fixes '?

II.3.2/ Quel est le nombre d'éléments r appartenant à f4 ayant un point fixe ?

II.3.3/ Calculer y4 .

II.4/ Relation entre les yk .
II.4.1/ Rappeler sans justification le nombre d'éléments de f " .

II.4.2/ Si 05k.<...n , combien d'éléments de fn ont exactement k points fixes '? II.4.3/ Etablir pour tout entier naturel n la relation : Z£Zï 7k : n !. k=0 +oo II.5/ On considère la série entière Z"--; x" et l'on pose g(x) : Z--"--; x" lorsque la série converge. nZO " ' n=0 " ' II.5.1/ Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à l. II.5.2/ Pour tout x de ]--l ; l[, on pose h(x) =g(x)e". Justifier l'existence du développement en série entière de la fonction h sur ]----l ; l[ et expliciter ce développement. II.5.3/ Expliciter g(x) pour tout nombre réel x de ]----l ; l[. En déduire la valeur du rayon de convergence de la série 2%-- x" . nZO " ' II.5.4/ Comparer les deux suites ,5' et 7. II.5.5/ La fonction g est-elle définie en l ? II.5.6/ La fonction g est-elle définie en -------l '? II.5.7/ Calculer ;/8 . PARTIE 111 Sur 5" === e'ln!«-- ,Bn Pour tout entier naturel n on note : ' 5" = e"1n!--,Ûn. ' Jn m [;x"exdx. . v m(----1)"+1J . n n III.1/ La série Zvn . 1120 III.1.1/ Quelle est la limite de J " lorsque n tend vers +oo ? III.1.Z/ Établir la convergence de la série z vn . nZO III.Z/ Estimation intégrale de 5" . III.2.1/ Justifier, pour tout nombre réel x et pour tout entier naturel n , l'égalité : 8 ...z% ("x t) e'dt (1). n. III.2.2/ Déduire de (l) l'expression de 5" en fonction de vn. III.3/ Sur la série Zân . nZO Justifier la convergence de la série z 5" ; la convergence est-elle absolue ? nZO n21 " l III.4.2/ On pose A :: ------JO ex ln(l -- x) dx. III.4.2.I/ Justifier la convergence de l'intégrale impropre A . III.4.3/ Justifier la convergence de la série z et expliciter la somme 1120 " !(ïl + 1) Î (----1)" n=Oïl!(ïl+1)n=l " III.4.4/ Expliciter un nombre rationnel £-- vérifiant '] +00 ZJËL... n=l " Fin de l'énoncé.