CCINP Maths 1 PSI 2008

 

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Les calculatrices sont autorisées.

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

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Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On note :
* IR : l'ensemble des nombres réels,
* ln : la fonction logarithme népérien.

(_ _l)n+l

converge (resp. la série Zln(1+e"'")

n20

Pour tout nombre réel x tel que la série z
n21

n'"
... (_1)"+1 +oo _ , _

converge), on note 9(x) : 2 x (resp f(x )1=Z n(1 + e "" )) la somme de cette 
senc.
= " n=o

Objectifs :

On se propose d'étudier quelques propriétés des fonctions 9 et f .
Dans la partie I, on calcule trois valeurs exactes et une valeur approchée de 
9(n) pour quatre entiers

naturels n. La partie II est consacrée à une étude de la fonction f en liaison 
avec 6(2). Dans la

partie III, on étudie de façon plus précise la continuité et le caractère C1 de 
la fonction 9.

PARTIE 1

Quelques valeurs de la fonction 6

I.1/ Calcul de 9(1).

I.1.1/ Préciser, selon la valeur du nombre réel x , la limite de L lorsque 
l'entier n tend

,qx
vers +00 .

I.1.2/ Montrer que l'ensemble de définition de la fonction 9 est E =]O ;+oo[.

I.1.3/ Pour tout entier naturel n , on pose Jn = If(tant)"df .

I.1.3.1/ Préciser une primitive de la fonction tl--> tant et calculer J1 .
I.1.3.2/ Montrer que la suite Jn est convergente et préciser sa limite.

I.1.3.3/ Calculer Jn+J

n+2

pour tout entier naturel n .

I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par 
récurrence),

k+1
. , " ' --1 ,,,
pour tout entier naturel n non nul, la relation : z( ) : J + (--1) 1 J .
2k 1 2n+1
k=l

I.1.3.5/ En déduire la valeur de H(l) .

1.2/ Une valeur approchée de 6(3) .

(__1)k+l

k39'

n
Pour tout entier naturel n non nul, on pose Sn = 2
k=l

1.2.1/ Décrire, en français, un algorithme de calcul de Sn pour n entier 
naturel non nul
donné.

I--.2.2/ En utilisant l'algorithme précédent et la calculatrice, donner la 
valeur décimale
approchée par défaut O' de S3oà la précision 10'4.

1.2.3/ Montrer que a est aussi la valeur décimale approchée par défaut de 9(3) 
à la précision
10'4.

I.3/ Calcul de 9(2) et 6(4).

On considère la fonction g définie sur R, à valeurs réelles, 272' -périodique 
et vérifiant :

g(x)=x2 pour tout xe]--7r ; 7r].

"x2 cos(nx)dx .

Pour tout entier naturel n , on pose an : j 0

1.3.1/ Calculer an pour tout entier naturel n .

1.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réels an (g) et bn (g) de la 
fonction g .

On rappelle que pour tout entier naturel 14 :

an(g)=lJ " gdx et bn=ägi

--72'

g(x)sin(nx)dx .

_1 "
1.3.3/ Justifier la convergence, pour tout x réel, de la série z( ) cos(nx) et 
expliciter

_ ' n
+°° <--1)" sa somme Z "2 cos(nx) pour tout xe]--7r ; 7r]. 1.3.4/ En déduire la valeur de 9(2) . 1.3.5/ Justifier la convergence de la série Z---- et calculer la valeur de sa somme Î--1--4 n>1n n=1n

1.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en 1.3.3/ , établir la convergence de la 
série

Z (_13) sin(nx) et expliciter sa somme Î (_13) sin(nx) pour \xe]--7r ; 7r].
n...>.l n n=l n

( 1)

1.3.7/ Justifier, pour tout x réel, la convergence de la série î------------ 
cos(nx) et calculer sa

n>l
SOOEIÏIC î(_nl

cos( )pou_r xe]--7r-; 7r] en fonction de x et 9(4).

1.3.8/ En déduire la valeur de 9(4) . v

PARTIE II

Etude d'une fonction

Pour tout entier naturel n et tout nombre réel x , on note un (x) : ln (l + 
e""' ) .

Pour tout nombre réel x tel que la série Zu(x x)converge on note f (x) =Zun (x) 
la somme de

n>0

cette série. On se propose d'étudier quelques propriétés de la fonction f en 
utilisant en particulier

a(z)= Îfiî "

n=l

II.1/ Montrer que la fonction f est définie sur ]0 ;+oo[.

On note désormais EUR l'image par f de l'intervalle ]O ;+oo[.
II.2/ Montrer que la fonction f est continue sur ]0 ;+oo[.

II.3/ Montrer que la fonction f est strictement monotone sur ]0 ;+oo[.

II.4/ Justifier l'affirmation: EUR est un intervalle de R.

II.5/ Montrer que la fonction f admet une limite finie il (que l'on précisera) 
en +oo.

II.6/ Pour tout nombre réel x strictement positif, on désigne par 1//x la 
fonction définie sur lR + par
wx (t) : ln(l+e'°') .

II.6.1/ Justifier la convergence de l'intégrale ) O+oe1//x (t) dt,

Il.6.2/ Etablir, pour tout nombre réel x >O, la double inégalité :

J; oewx(t) dt