CCINP Maths 1 PSI 2010

SESSION 20 10 PSIM 102

A

CONCOURS COMMUN!» FOLYÎ!CNNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
****

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et 
a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'e'nonce', ille
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives

qu "il a été amené à prendre.
****

Le sujet comporte 8 pages.

Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend 
trois parties.

Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation.
Dans la deuxième partie, on étudie une fonction. définie sur un segment. La 
troisième partie conduit

à une formule barycentrique.

. On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N" l'ensemble N privé 
de 0 et
par Æ l'ensemble des nombres réels.

. Dans tout le problème, on désigne par n un entier naturel., n .>. 2.
- Etant donné deux entiers naturels m S n, on note [[m,n]] l'ensemble des 
entiers naturels [(

tels que m S [( S n.
- On note Æn [)fl l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré 
inférieur ou égal à n.

Pour simplifier l'écriture, lorsque P est un polynôme de RH [X] , on notera de 
la même façon

P la fonction polynôme associée.
- Étant donné un intervalle [ de R et un entier naturel p, on note C " (] ,Æ') 
le R ---- espace

vectoriel. des fonctions f définies sur I à valeur dans Æ' , p fois dérivables 
sur I et à dérivée
p--ième, notée f... , continue sur I . Le Æ -- espace vectoriel des fonctions 
continues de I

dans Æ est, quant à lui. noté C(1,Æ'). Lorsque ] est le segment [a, b], on 
considère sur

l'espace vectoriel C ([a, b] ,Æ') la norme N,, définie par:

f(x)! ; xe [a,b]}.

. On note [Ink le produit des termes uk pour l'entier [( décrivant l'ensemble 
indiqué.

pourtout fe C([a,b] ,Æ):Næ(f)m5up{

121

P

171!

l'entier ------------------ .
) p!(m-- p)!

o Pour 117 et p dans N avec p.<.m, on note ( SESSION 20 10 PSIM 102 A CONCOURS COMMUN!» FOLYÎ!CNNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu "il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 8 pages. Cette épreuve porte sur l'interpolation polynômiale d'une fonction et comprend trois parties. Dans la première partie, on définit des polynômes d'interpolation. Dans la deuxième partie, on étudie une fonction. définie sur un segment. La troisième partie conduit à une formule barycentrique. . On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N" l'ensemble N privé de 0 et par Æ l'ensemble des nombres réels. . Dans tout le problème, on désigne par n un entier naturel., n .>. 2.
- Etant donné deux entiers naturels m S n, on note [[m,n]] l'ensemble des 
entiers naturels [(

tels que m S [( S n.
- On note Æn [)fl l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré 
inférieur ou égal à n.

Pour simplifier l'écriture, lorsque P est un polynôme de RH [X] , on notera de 
la même façon

P la fonction polynôme associée.
- Étant donné un intervalle [ de R et un entier naturel p, on note C " (] ,Æ') 
le R ---- espace

vectoriel. des fonctions f définies sur I à valeur dans Æ' , p fois dérivables 
sur I et à dérivée
p--ième, notée f... , continue sur I . Le Æ -- espace vectoriel des fonctions 
continues de I

dans Æ est, quant à lui. noté C(1,Æ'). Lorsque ] est le segment [a, b], on 
considère sur

l'espace vectoriel C ([a, b] ,Æ') la norme N,, définie par:

f(x)! ; xe [a,b]}.

. On note [Ink le produit des termes uk pour l'entier [( décrivant l'ensemble 
indiqué.

pourtout fe C([a,b] ,Æ):Næ(f)m5up{

121

P

171!

l'entier ------------------ .
) p!(m-- p)!

o Pour 117 et p dans N avec p.<.m, on note ( PARTIE I Dans cette partie, on considère n + 1 nombres réels, deux à deux. distincts, notés XO , Xl ,..., X et 179 on définit la forme bilinéaire B sur C (111,11?) par : pourtout (fig) EUR C(Æ',Æ) X C(Æ',Æ'), B(IÏg)=--" Î f(x;)g(x,) . i=--=0 Pour k entier, ke [[O,n]], on définit les polynômes Lk de Æ,,[X] par : Lk(X) x H X-- Xi . i=0 Xk "" Xi i$k I.]. Définition d'une structure euclidienne sur [& [ X ] . 1.1.1. Justifier rapidement l'affirmation : B définit un produit scalaire sur R,,[X] mais pas sur C {R,}? ) . 1.1.2. Pour j et [{ entiers de {[O,n]], calculer L, (Xj). Montrer que la famille (Lk),pour ke [[O,n]], est une base orthonormale de l'espace euclidien 1? [X ] pour le Il produit scalaire B. 1.2. Définition de 3 ( f ) . A toute fonction )" appartenant à C (Æ,]Æ ) on associe le polynôme PH ( f ) défini par : aWîÆ<...æ i=0 1.2.1. Pour toutke {[O,nfl, exprimer B( f , Lk)en fonction de f (Xk). En déduire que P( f) vérifie P(.f)(xk)= f(xk) pourtoutke[[0,nfl. !? !] 1.2.2. Montrer quelî( f ) est l'unique polynôme Pe Rn[X] , vérifiant P(Xk) : f(Xk) pour tout [( EUR [[0, n]] . 1.2.3. Expliciterlä( f ) lorsque 1" & R,,[X ] . Préciser le polynôme î: Lk (X) et, pour x k==0 !? :réel, la valeur de la somme E Lk (X) . k-------0 Pour f EUR C (Æ',Æ' ) , on dira que E)( f) est le polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à n, de la fonction faux points x,,pour ie ((O, nl] . Lorsqu'auoune confusion n'est possible, on notera simplement B] au lieu de 3( f) . Dans la suite de cette partie, on considère un segment [a, b] contenant les points x,, pour 1' EUR ((O,n]]. 1.3. Une application linéaire. Soit A l'application linéaire de C ((a, b], R') dans [& [ X] définie par : pour tout fe C([a,b],Æ) : A( f) : P],( f). On considère l'espace vectoriel C ((a, b], Æ')muni de la norme Næ. En identifiant tout polynôme de fin [X ] avec la fonction polynôme associée, on munit également RH [ X ] de la même norme N°° . On définit la norme subordonnée à la norme N,,° de l'application linéaire A par : ||A||zsup{Noe(A(f)) ; N (f)£l}. On note (I) la fonction appartenant à C ((a, b] ,Æ')q)( , définie par : pourtout te[ [a,]b )=Ê|L,t() 1.3.1. Justifier l'inégalité : "A" 5 N,( ().: 1.3.2. Montrer qu'il existe un nombre réel 76 [a, b] tel que N,° ((D) : CD(Z'). 1.3.3. Soitre [a,b] tel que N ((D ):  ]. et te N .Calculer .
w(t)
En déduire que pour te [l,--â] , on a ço(t ------ l) ?. (p(t).

II.1.4. On suppose n pair et on note n= 2 p. Montrer que ça atteint son maximum 
en un
point de l'intervalle [0,1] en supposant d'abord que p = 1 puis p 2 2 .

On admettra que pour n impair, (p atteint son maximum en un point de [0,1] .

11.2. Abscisse du maximum de la fonction ça .

II.2.1. Soit teE N ,, expliciter ln(ça(t)), où ln désigne la fonction 
logarithme népérien ;, en

! (. !?
déduire çÛ ( ) en fonction. de ----41------.
(D(l') k=0 [""k
II.2.2. Pour te B,l [ , déterminer le signe de la somme Z _rl-IÇ' En déduire 
que ça'(t) est
k=2 "'

strictement négatif sur l'intervalle B--,l [.

. . , . , . " 1
11.23. Calculer la der1vee de la fonction defime sur ]0,1[ par : g(t) == 2 n.

k=0 ""

Déterminer le sens de variation de la fonction g. En. déduire que la fonction 
(p' s'annule en

au plus un point de ]O,l[.

II.Z.4. Montrer que le maximum de ça est atteint en un point et un seul de ] 
0,--12-= [ , noté tn.

'?

Quelle est la valeur de la somme Z [ 1 k
k:=0 "'

!]

II.3. Étude de l'abscisse tn du maximum de ça.

.* . . _ . . 1. l
II.3.1. On suppose [(E N ,3ust1fier l'mégahté [( t > --1-(-.
En déduire une minoration de %-- .
II.3.2. Prec1ser la nature de la serre Z--- .
kZ1 k
En déduire la limite de -Ë-- et par suite, celle de rfi lorsque n ----> +oo.
II.4. Une majoration de ça .
n+l '"
II.4.1. Montrer l'inégalité ! --CË< ---1--. 1 [ ... k . . . 1 II.4.Z. Montrer l'inégalité tn < -----------------. ln(n + 1) . 11! 11.4.3. En déduire, que pour tout t' & [O, 17], on a la majoration ça(t) < -----(-----------)-- . lnn+1 11.5. Une majoration de N,,( f ------- P) . !) Dans cette question, on reprend. les notations de la partie I. b ------ a n Soit la, b] un segment, on note 17 x et on considère les n + 1 points équidistants X, ---...---- a + ih de [a, b] , pour 1' EUR [10,11]. X --- a [? & [O, 11]. On note T n+ 1 11.5.1. Pour X e [a, b] , on note [ = le polynôme défini en I.5. [I par T (X) : 11 (X -- X,). Exprimer |T...(X)' en fonction de h et de ç0(t). n+l 1=0 II.5.2. Soit f EUR C"" ([a,b] ,Æ) et soit B} son polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal. à 11, aux points équidistants X,, pour 1' e [[0, nl] , défini en 1.2. Montrer l'inégalité : ]]n+l __ <...) (2) Næ(f R')S(n+l)ln(n+l) Næ(f ) PARTIE III On conserve les notations des parties I et II, avec en particulier des réels )ç,pour 1' EUR {ID, n]], distincts. On définit les n + 1 réels Wk =---fl-------l------, pour ke [0,17]. H(Xk '" Xi) III.]. Soit xun réel et soit kun entier de [[O, n]] . Exprimer T (X) en fonction de Lk(x) , X --- Xk et Wk. n+l III.Z. Soit f EUR: C (Æ,Æ ) et soit 1--3} son. polynôme d'interpolation, de degré inférieur ou égal à 17, aux oints x., our 1' EUR 0,17 .On su ose xdifférent de tous les X., our ie 0,17 . P ,, P PP , P Montrer l'égalité : " W 1" X (3) ... = r...Î(---1)"( 4" ] 1
,... 2n+2k X...2k
k=...g,, 2n+k X-k

7ÎX

la valeur en X d'un polynôme d'interpolation de la fonction eos(--] , en des 
points

est, pour X différent de tous les Xk ,

équidistants que l'on précisera. '

III.4.3. Soit X EUR [----- 217,211] et soit p la partie entière de X.

2n

Montrer l'inégalité : Il

k=--2n

X-k| .<. (2n+ p+l)!(2n-- p)! III.4.4. Montrer que pour X fixé dans [---2n, Zn] et non entier, on a : | f(X)----Hn(X)l .<.(2n+ p+1)z(2n--p)!Ê4ËL)! =9(n, p). Quelle est la limite de t9(n, p) lorsque n tend vers +oo ? Fin de l'énoncé .