SESSION 2012
PSIM102
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
____________________
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
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Tournez la page S.V.P.
R
C
n
C
Mn (K)
K
Mn,1 (K)
A
I
I
R
A:I F
A (t) =
"
i
A-1
j
K
t
A(t)
A
"
"
K
ai,j
Mn (K)
A
F
K
n
K
n
K
A = (ai,j )
I
R
A(t) = ai,j (t)
I
t
I
ai,j (t)
M (t)
M N (t) = M (t)N (t) + M (t)N (t)
N (t)
I
R
n
A
I
n
I
A
B
B
K
(E) : X (t) = A(t)X(t) + B(t)
I
n
X(t)
K
(E0 ) : X (t) = A(t)X(t)
(E)
(E0 )
(E0 )
K
(E)
S0
S0
n
S0
(E)
(E)
t0
I
I
V
Mn,1 (K)
X
X(t0 ) = V
I
(E0 )
"
W (t) = X1 (t), . . . , Xn (t)
W (t)
n
(X1 , . . . , Xn )
Xj (t)
S0
(E0 )
(E)
(E0 )
(E) : X (t) = AX(t) + B(t)
(E0 ) : X (t) = AX(t)
Mn (K)
A
I=R
Mn,1 (K)
(E0 )
V
X(t) = et V
K
V
A
0 -1 1 -1
0 2 0 0
n=4 A=
0 1 1 0
1 -1 1 0
tet
et
B(t) =
0
-tet
K=C
(E0 )
A
(E0 )
I=R
K=R
x1 (t)
x (t)
2
X(t) =
x3 (t)
(E) : X (t) = AX(t) + B(t)
x4 (t)
xk (t)
x2 (t)
x3 (t)
(E)
x1 (t)
I =R
x4 (t)
Tournez la page S.V.P.
-1
-1
X(0) =
-1
(E)
X
0
(E) : X (t) = A(t)X(t) + B(t)
R tI
K=R
C
I
S0
(E0 )
t0 I
n
t 0
S0
Mn,1 (K)
X S0 , t0 (X) = X(t0 ) .
t 0
Mn,1 (K)
X1 , . . . , Xn
t0
X(t0 ) = V
S0
(E0 )
t
V Mn,1 (K)
X S0
-1
t t0 (V ) = X(t)
I
(E0 )
(X1 , . . . , Xn )
S0
Mn,1 (K)
(C1 , . . . , Cn )
t 0
t0 I
S0
Mn,1 (K)
W (t0 ) = X1 (t0 ), . . . , Xn (t0 ) .
t0
t
-1
R(t, t0 ) = W (t) W (t0 )
(X1 , . . . , Xn )
I
R(t, t0 )
R(t, t0 )
t, t0 , t1
t2
(E0 )
I
R (t, t0 )
R (t, t0 ) = A(t)R(t, t0 )
X(t) = R(t, t0 )V
(E0 )
R(t2 , t1 )R(t1 , t0 ) = R(t2 , t0 )
R(t, t0 )
t
V Mn,1 (K)
X(t0 ) = V
R(t, t0 )
-1
= R(t0 , t)
(E)
t
t0
(E)
I
X(t) = R(t, t0 )V (t) ,
V : I Mn,1 (K)
X(t) = R(t, t0 )V (t)
(E)
R(t, t0 )V (t) = B(t) .
V (t) =
Z
t
(E)
R(t0 , u)B(u) u
V (t)
t0
R(t0 , u)B(u)
Z t
R(t, u)B(u) u
Y (t) =
(E)
t0
K=R
(e0 ) : t(t - 1)y + 3y - 6y = 0 ,
y = y(t)
I
y(t) = am tm + · · · + a0
(e0 )
am 6= 0
(e0 )
(e0 )
P
R
Q(t) =
1
(1 - t)2
(e0 )
P (0) = 1
] - 1; 1[
(e0 )
y(t) =
+
X
ak t k
k=0
|t| < R R>0
k
ak+1
k
ak
R
Tournez la page S.V.P.
k0
ak 0
ak
ak 0
k k0
ak
P
Q
(E) : y + a(t)y + b(t)y = (t) ,
a, b,
I
z
z(t) = y (t)
A(t)
X(t) =
f (t), g(t)
(E0 ) : y + a(t)y + b(t)y = 0
!
!
f (t)
g(t)
f (t)
g (t)
(E0 ) : X (t) = A(t)X(t)
!
f (t) g(t)
W (t) =
f (t) g (t)
I
f (t) f0
!
(E)
B(t)
(E) : X (t) = A(t)X(t) + B(t)
"
t t0
g(t0 ) f
y(t)
z(t)
I
f (t) f0
f (t0 ) g
g(t) g0
f (t0 ) g
g (t) g0
g (t0 )
"
-1
W (t0 )
f0 , g0 , f0 , g0
R(t, t0 )
f, f0 , g, g0 , f , f0 , g , g0
f
(e) : t(t - 1)y + 3y - 6y = 20t4
I =]0; 1[
(e)
(E)
A(t) B(t)
(E) : X (t) = A(t)X(t) + B(t)
Q
W (u)
t
Q(t)P (u) - P (t)Q(u)
f (t) = P (t)
u
]0; 1[
(e)
g(t) = Q(t)
P
t
t0
]0; 1[
1
y(t) =
(1 - t)2
Z
t
(4t5 - 5t4 - 4u5 + 5u4 ) u
t0
(e)
t0 = 0
(e)
[0; 1[
(e)
y(0) = y (0) = 0 ?
[0; 1[
