CCINP Maths 1 PSI 2014

SESSION 2014 PSIM102

.:==_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations, définitions et rappels

Pour toute fonction f : [a, 19] --> R de classe C1, on note :

L (f) = / b\/1 + (f' >2dt

une expression intégrale de la longueur de la courbe représentative de f .

Partie I

Quelques exemples de calculs de longueurs

I.1 Vérifier la formule donnant L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) = 
75.

I.2 Calculer L ( f ) pour f définie sur [D, 1] par f (t) : ch (t) .

1/5

1.3 Un exemple de calcul de longueur d'un arc de courbe

1
1.3.1 Calculer L ( f ) pour f définie sur {D, Ëi par f (t) = \/ 1 -- t2.

1.3.2 Retrouver le résultat de la question 1.3.1 sans calcul, par des 
considérations géométriques.

1.4 Soit f définie sur [D, 1] par f (t) = 752.

Calculer L ( f), en utilisant une intégration par parties ou en s'inspirant de 
la question 1.2.

Partie II

Un calcul approché de longueur

L'objectif de cette partie est d'effectuer un calcul approché de la longueur 
d'un arc d'hyperbole.

1 1
On considère, pour ce faire, la fonction f définie sur {? 1} par f (t) = ;.

11.1 Expression intégrale de L (f)
11.1.1 Donner une expression intégrale de L ( f ) .

11.1.2 Montrer que L ( f ) est aussi la longueur de l'arc d'hyperbole 
correspondant à la res-

triction de f a l'intervalle [1, 2] .
11.2 Expression de L (f) sous forme de série numérique

11.2.1 Soit 04 E R \ N . Rappeler le développement en série entière de la 
fonction

u v--> (1 + u)", en précisant son domaine de validité.

11.2.2 Montrer que, pour tout t E ]O, 1[, on a :

+00
V 1 + É4 : 1 + Z (_1)n--1 (Zn)! t4n--2

t2 ? (Zn -- 1) 22" (n!)2

(Zn)!

(Zn -- 1) 2% (n!)2
(a...)nEURN* est décroissante et donner un équivalent de on quand n tend vers 
l'infini.

11.2.3 On note, pour tout entier n 2 1, an : . Montrer que la suite

1124 En déduire une expression de L ( f ) comme somme d'une série numérique (on 
vérifiera

avec soin les hypothèses du théorème utilisé).

2/5

II.2.S Donner une valeur approchée de L ( f ) en utilisant les 5 premiers 
termes de la série

obtenue àla question précédente et donner une majoration de l'erreur commise.

Partie III

Longueur du graphe des fonctions puissances

On s'intéresse ici, pour tout entier n 2 1, aux fonctions puissances p,, 
définies sur [O, 1] par :
Vt EUR [0,1] , p,, (t) = t".

On désigne par ()...) la suite définie par :

nEURN*

1
Vn E N*, )... = L (p,,) = / \/l + n2t2n_2dt.
0
111.1 Conjecture sur la limite éventuelle de (Àn)nEURN*

III.1.1 Déterminer À1 et À2.

III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques 
fonctions
p,, avec n de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite 
(Àn)nEURN* ainsi que la

valeur de sa limite éventuelle.

III.2 Convergence et limite de la suite (Àn)nEURN*

III.2.1 Montrer que, pour tout entier n E N *, on a :

1
)... -- n/ tn_1dt : ,un
0

/1 dt
Un : _ _ -
0 ,/1 +_712t2n 2 +_7ltn 1

III.2.2 Montrer que )... < 2 pour tout n E N *. III.2.3 Déterminer la limite de la suite ( ,un)nEURN, (on citera avec précision le théorème uti- lisé). III.2.4 En déduire la convergence de la suite ()...) ainsi que la valeur de sa limite. nEURN*' III.3 Plus généralement, montrer que si f : [O, 1] --> R est une fonction de 
classe C1, croissante
et telle que f (0) = 0 et f (1) = l, on a alors L (f) < 2. 3/5 Partie IV Un résultat inattendu 1 . t IV.1 Etude de l'intégrale généralisée / smt( )dt 0 n (t) , - / / / - / 1 Si IV.1.1 Montrer que l 1ntegrale generahsee / --dt est convergente. 0 IV.1.2 Montrer que, pour tout a: Z 1, on a : /1OESint(t)dt = COS (1) -- M -- /ÏCOS (t)dt. a: t2 sin (t) +00 En déduire que l'intégrale généralisée / dt est convergente. 1 cos (Qt) +oo IV.1.3 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est convergente. 1 +00 sin2 (t) IV.1.4 Montrer que l'intégrale généralisée / dt est divergente. En déduire la di- 1 +OO ' t vergence de l'intégrale généralisée / ]SmtÀdt. 1 , . . , . 1 . 1 . IV.2 On des1gne par g la fonct1on defin1e sur ]0, 1] par Q (t) = % sm % et par f la fonct1on 1 définie sur le même intervalle par f (a:) = / g (t) dt. IV.2.1 Montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0. On notera encore f ce prolongement. IV.2.2 Montrer que f est continue sur ]0, 1] et indéfiniment dérivable sur ]0, 1] . IV.2.3 Montrer que : 1 nm/flfi...fi=+oe. oe-->O+
IV.3 Pour tout réel 3: EUR ]0, 1] , on désigne par A (a:) la longueur de la 
courbe représentative de la
restriction de la fonction f au segment ]a:, 1] .
Donner une expression intégrale de A (a:) , pour tout a: E ]O, 1] , puis 
montrer que

lim+ A (a:) : +oo. Donner une interprétation de ce résultat.
oe-->O

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Partie V

Continuité de la fonction longueur

On rappelle que l'application :

:fF+HÏWOED==SUP]f(Ü]

te[0,1]

définit une norme sur l'espace E = C0 (]O, 1] ,R) des fonctions continues de 
]O, 1] dans R.
On note El : C1 (]O, 1] ,R) l'espace des fonctions continûment dérivables de 
]O, 1] dans R et pour

toute fonction f E El, on note :

]VH=VOEW+]NQ-
V.1 Comparaison des normes ]]-]] et ]]-]]00

V.1.1 Montrer que l'application f v--> ]] f ]] définit une norme sur l'espace 
El.

V.1.2 Montrer que :
VfEUREb]floeîHfl-

V.1.3 Les normes ]] - ]] et ]] - ]]OO sont-elles équivalentes sur El '?

V.2 On désigne par ( fn)nEURN* la suite de fonctions définie sur ]0, 1] par :

sin (nat)

VnEURN*, Vte]0,1], fn(t)= \/ñ

V.2.1 Montrer que la suite ( fn)nEURN* converge uniformément vers la fonction 
nulle sur ]0, 1] .

V.2.2 On désigne, pour tout entier n E N*, par In : L ( fn) la longueur de la 
courbe

représentative de fn. Montrer que :

Vn E N", In 2 fig.
V.2.3 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, ]]]]oe) '?

V.2.4 L'application L : f v--> L ( f ) est-elle continue sur (El, HH) '?

Fin de l'énoncé

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