CCINP Maths PSI 2015

SESSION 2015 PSIMA02

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

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Notations

K désigne l'ensemble des réels et K+ désigne l'intervalle [O, +oo[.

-- Si ] est un intervalle réel non réduit à un point, on note C1 (I ) l'espace 
vectoriel des fonc-
tions de classe C1 définies sur I à valeurs dans K.

-- Soit K l'ensemble R ou (C. Pour tout entier naturel non nul, Mn (K) désigne 
le K-espace
vectoriel des matrices à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K.

-- Un vecteur de K" est noté :

-- Une matrice A de Mn (K) est notée :

A : ((aj,k))1gj,kgn

où aj,k est le coefficient de A situé en ligne j et colonne k.
-- On dit qu'une application :
M : I --> Mn (K)
t %> M (15) = ((%--,x: (t)))1gj,kgn

est de classe C1 sur I , si our tout cou le j, k la fonction 75 v--> & - k t 
est de classe C1 sur
P P J,

] et dans ce cas, on note M' (t) la matrice ((%),EUR (t)))l Mn ((C) une 
fonction continue.

Dans ce problème, on s'intéresse au système différentiel :

où X : I --> (C" est une application de classe C1.

A l'exception de la question I.2 utilisée tout au long du sujet, les trois 
parties sont indépendantes.

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Partie I

Quelques exemples d'étude d'un système différentiel

I.1 Qu'affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant a la structure de 
l'ensemble

des solutions de (E) '?

I.2 Vecteurs propres communs
On suppose qu'il existe un vecteur non nul V EUR CC" et une fonction continue À 
: I --> (C tels
que pour tout t E ] on ait :
A (t) V = A (t) V.
Montrer que la fonction :
X : I --> C"
t |--> 04 (t) V
est solution de (E) si, et seulement si, la fonction 04 est solution d'une 
équation différentielle
linéaire du premier ordre que l'on précisera et pour laquelle on donnera une 
expression des

solutions.

1.3 Un premier exemple
On suppose pour cette question que n = 2. Soient & et 19 deux complexes tels 
que a-- 1 --b # 0.

On suppose que, pour toutt EUR I = R, on a :

A(î ::).

Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (E).

1.4 Un deuxième exemple
On suppose également pour cette question que n = 2. Soient ,a une constante 
complexe et
a, b des fonctions continues de I dans (C, la fonction 19 ne s'annulant jamais 
sur I . On suppose

que pour tout réel t E [, on a :

...: a ub(t)
b a(t)+(M--1)b(t) '

1.4.1 Traiter le cas particulier où ,a = 1.

1.4.2 Montrer qu'il existe deux vecteurs non nuls V1 et V2 dans (C2 et deux 
fonctions conti-

nues À1 et À2 de I dans (C tels que pour toutt EUR ] on ait :

A(t)V1=À1(t)VletA(t)l/Q=Àg(t)V2

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1.4.3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur ,a pour que 
l'on ait :
Vt EUR ], À1(t) 7£À2(t).

On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante.

1.4.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (E).

Partie II

Développement en série entière des solutions pour A constante

II.1 Norme matricielle induite

On se donne une norme vectorielle X v--> HX H sur (C" et on lui associe la 
fonction N définie
sur Mn ((C) par :

AX
VAEMn(C), N(A)= sup H--H.
XEURCH\{O} HX...

II.1.1 Montrer que l'application N définit une norme sur Mn ((C) .

II.1.2 Montrer que, pour toutes matrices A et B dans Mn (C) , on a :

N(AB) g N(A)N(B).
II.2 Développement en série entière des solutions

II.2.1 On suppose pour cette question, que I = R et que la fonction A est 
constante.
Montrer que si X est solution de (E) , elle est alors de classe COO sur I et 
que pour tout

entier naturel k, on a :
X (t) = A""X (t)

(avec la convention que X (0) = X et A0 = n).

II.2.2 On note X 0 = X (0). Montrer que pour tout entier naturel p et tout réel 
t E I , on a :

X(t) = < p tkA"") X0+ /tOEAPHX(U)dU. ! k=0 p. II.2.3 Montrer que : . p #" k X(t)= 11m --A XO p-->+oo k=0 k!

et en déduire que les coordonnées de X sont développables en série entière sur 
R.

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II.3 Un exemple
On suppose pour cette question, que n = 4, que I = R et que la fonction 75 v--> 
A (t) est

constante et égale à :

1 0 --1 1
0 1 1 0
A: eM4( e_ 2 est convergente 
sur R+.

III.1.2 Montrer que les fonctions F et G définies sur R+ par :

a: _t2 2 1 6--oe2(t2+1)
VOEER+,F(æ)----l--oo æ-->--l--oo

al à

111.15 En déduire que :
2

+00
/ e_t2dt : &.
0

111.2 Les fonctions u et "U

III.2.1 Montrer que les fonctions :

...) --/Û+oewdæew(t) --/Û+oe$dæ

sont bien définies et de classe C1 sur R.

III.2.2 Montrer que la fonction w = u + iv est solution d'une équation 
différentielle, puis

u(t)
X :
 (...))

est solution d'un système différentiel du premier ordre

en déduire que :

X' (t) = A (t) X (75) (El)
où la fonction matricielle A : R --> M2 ((C) est à déterminer.

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III.2.3 Déterminer, pour tout réel 75, les valeurs propres complexes et les 
sous--espaces propres
de A (t).

III.2.4 Déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions sur (C du 
système (E1) et en

déduire la solution générale de (El).

III.2.S Calculer u (0) , "U (0) et en déduire l'expression réelle de u et de "U.

Fin de l'énoncé

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