CCINP Maths PSI 2016

SESSION 2016

PSIMA02

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI!
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MATHEMATIQUES
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisees
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1/7

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Notations et definitions
­ R designe l'ensemble des nombres reels et C l'ensemble des nombres complexes.
­ Si n, m sont deux entiers naturels non nuls, on designe par Mn,m (R) 
[respectivement Mn,m (C)]
l'espace vectoriel des matrices a n lignes et m colonnes a coefficients dans R 
[respectivement
dans C]. Comme Mn,m (R) est contenu dans Mn,m (C), une matrice a coefficients 
reels est
aussi a coefficients complexes.
­ Si n = m, on note Mn (R) [respectivement Mn (C)] pour Mn,n (R) 
[respectivement Mn,n (C)].
­ In designe la matrice identite de Mn (R) [respectivement Mn (C)].
­ Si (Mn )nN est une suite de matrices de Mn (R), on dit que cette suite 
converge vers une matrice L  Mn (R) si, pour tout couple (i, j)  1, n2 , la 
suite (Mn (i, j))nN des coefficients
d'indice (i, j) de Mn converge vers le coefficient, note L(i, j), d'indice (i, 
j) de L.

x1
 . 
. 
­ Un vecteur (x1 , · · · , xn ) de Rn [respectivement de Cn ] est identifie a 
l'element 
 .  de
xn
Mn,1 (R) [respectivement Mn,1 (C)].
­ Pour tout vecteur x = (x1 , · · · , xn )  Cn , on note x = max {|xi | ; 1  i  
n} .
­ Pour toute matrice A  Mn (C) , on designe par Sp (A) l'ensemble de toutes les 
valeurs
propres complexes de A et on note :
 (A) = max || .
Sp(A)

On rappelle que  (A) est le rayon spectral de A.
­ Si X est une variable aleatoire definie sur un espace probabilise (,
A, P)
P(X

X() = {x1 , · · · , xn }  R, on identifie la loi PX de X au vecteur colonne 

P(X

telle que

= x1 )

..
.
.

= xn )

Objectifs
L'objet de ce probleme est d'etudier la suite des puissances d'une matrice 
stochastique. La premiere
partie est consacree a cette etude dans le cas ou n = 2. Dans la seconde 
partie, on etudie le spectre
des matrices stochastiques. Dans la troisieme partie, on etudie l'existence 
d'une probabilite invariante
par une matrice stochastique et la derniere partie est consacree a l'etude des 
puissances d'une telle
matrice.

2/7

Partie I
Cas n = 2
On suppose dans cette partie que n = 2 et, pour   [0, 1] et   [0, 1] avec (, ) 
= (0, 0), on
note :
A(, ) =

1-

1-

.

Il pourra etre utile de noter  = 1 - ( + ).
I.1 Puissances de A(, )
Q1. Montrer que 1 est valeur propre de A(, ) et determiner le sous-espace 
propre associe.
Q2. Montrer que A(, ) est diagonalisable dans M2 (R) et la diagonaliser.
Q3. Calculer, pour tout entier p  N, la matrice A(, )p .
Q4. Montrer que, pour (, ) = (1, 1), la suite (A(, )p )pN converge vers une 
matrice
L(, ) que l'on precisera. Que se passe-t-il pour (, ) = (1, 1) ?
I.2 Application
Soient  et  deux reels de ]0, 1[. Un message binaire de longueur , c'est-a-dire 
une suite finie
(a1 , a2 , · · · , a ) ou pour tout i  {1, · · · , }, ai  {0, 1}, est transmis 
dans un reseau forme de
relais. On suppose que, a chaque relais, un element x  {0, 1} est transmis avec 
une probabilite
d'erreur egale a  pour un passage de 0 a 1 et  pour un passage de 1 a 0. On 
note X0 la variable
aleatoire definissant le message initial de longueur  et, pour n  N , au n-ieme 
relais, le resultat
du transfert est note Xn . On suppose que les relais sont independants les uns 
des autres et que les
erreurs sur les bits constituant le message sont independantes.
Q5. Cas  = 1
Montrer que pour tout entier n  0 :

1-

P (Xn = 0)
P (Xn+1 = 0)
=
.

1-
P (Xn = 1)
P (Xn+1 = 1)
Calculer, pour n > 0, P(Xn = 0|X0 = 0) et P(Xn = 1|X0 = 1).

, montrer que la probabilite pour que Xn soit conforme a X0 est
,
Si r = min
+ +
superieure ou egale a :
r + (1 - r)(1 -  - )n .
3/7

Q6.

Cas  > 1

On pose Xn = Xn1 , · · · , Xn ou, pour k  {1, · · · , }, Xnk est le resultat de 
la transmission
du k-ieme bit au n-ieme relais. Soit Qn la probabilite pour que le message Xn 
soit conforme au
message initial. Montrer que Qn verifie :

Qn  (r + (1 - r) (1 -  - )n ) .
Q7. On suppose dans cette question que  = . Que peut-on dire dans ce cas de 
l'inegalite
precedente ?
Pour tout   ]0, 1[, determiner un entier nc tel que la probabilite d'obtenir un 
message errone
au n-ieme relais soit superieure ou egale a  (on dit que nc est la taille 
critique du reseau).

Partie II
Spectre des matrices stochastiques
Dans cette partie, les matrices considerees sont carrees et d'ordre n  2. On 
dit qu'une matrice
A = (ai,j )1i,jn  Mn (R) est stochastique [respectivement strictement 
stochastique] si et seulement si elle est a coefficients positifs 
[respectivement strictement positifs] et :
i  {1, · · · , n} ,

n

aij = 1.

j=1

II.1 Coefficients
Q8. Soit A = (ai,j )1i,jn  Mn (R) une matrice stochastique [respectivement 
strictement
stochastique]. Montrer que pour tous i, j compris entre 1 et n on a :
0  aij  1 [respectivement 0 < aij < 1]. Q9. Montrer qu'une matrice A a coefficients reels positifs est stochastique si et seulement si 1 est valeur propre de A et le vecteur e de coordonnees (1, · · · , 1) est un vecteur propre associe. Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement stochastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique]. II.2 Valeurs propres Soit A  Mn (R) une matrice stochastique. Q11. Montrer que x  Cn , p  N, Ap x  x . 4/7 Q12. Montrer que  (A) = 1. II.3 Diagonale strictement dominante Une matrice A  Mn (C) est dite a diagonale strictement dominante si et seulement si i  {1, · · · , n} , |aii | >

n

|aij | .

j=1
j=i

Q13. Soit A une matrice quelconque dans Mn (C) et soit   C une valeur propre de 
A.
Montrer qu'il existe un indice i  {1, 2, · · · , n} tel que :
| - aii | 

n

|aij | .

j=1
j=i

Q14. Montrer qu'une matrice A  Mn (C) a diagonale strictement dominante est 
inversible.
II.4 Valeur propre de module maximal
Soit A = (ai,j )1i,jn  Mn (R) une matrice strictement stochastique.
Q15. On designe par A1 = (ai,j )1i,jn-1  Mn-1 (R) la matrice extraite de A en 
supprimant sa derniere ligne et sa derniere colonne. Montrer que la matrice A1 
- In-1 est a diagonale
strictement dominante. Que peut-on en deduire quant au rang de A - I ?
Q16. Montrer que ker (A - In ) est de dimension 1.
Q17. Soit   Sp (A) \ {1} . Montrer que || < 1. Partie III Probabilite invariante On considere quatre points dans le plan numerotes de 1 a 4. Une particule se deplace chaque seconde sur l'ensemble de ces points de la facon suivante : si elle se trouve au point i, elle reste au 1 ou passe en un point j = i de facon equiprobable. point i avec une probabilite egale a 10 III.1 Une suite de variables aleatoires On note X0 une variable aleatoire de loi position du point en l'instant n = 0, Xn P0 donnant la P(Xn = 1) .. la loi de Xn . la position du point a l'instant n et Pn = . P(Xn = 4) 5/7 Q18. Montrer qu'il existe une matrice Q, que l'on determinera, telle que : P1 = QP0 . Calculer Pn en fonction de Q et de P0 . p1 p2 Q19. Montrer qu'il existe un unique vecteur  = p , que l'on determinera, tel que : 3 p4 4 i  {1, · · · , 4}, pi  0 pi = 1 et  = Q. i=1 III.2 Rapidite de convergence Q20. Montrer sans calcul que Q est diagonalisable sur R. Q21. Determiner les valeurs propres et les sous-espaces propres de Q. Q22. En deduire que (Qp )pN converge vers une matrice R que l'on precisera en fonction de et qu'il existe r  ]0, 1[ tel que : Qp - R = O (rp ) . En deduire que (Pn )nN admet une limite independante de la loi de X0 et interpreter le resultat obtenu. Partie IV Puissances d'une matrice stochastique Soit A = (ai,j )1i,jn  Mn (R) une matrice strictement stochastique. On note : m = min aij . 1i,jn (p) Pour tout entier naturel non nul p, on note ai,j le coefficient d'indice (i, j) de Ap : (p) p . A = ai,j 1i,jn Enfin, pour tout entier j compris entre 1 et n, on note : (p) (p) (p) mj = min ak,j , Mj 1kn 6/7 (p) = max ak,j . 1kn Q23. Encadrement Montrer que, pour tout entier naturel non nul p et tout entier j compris entre 1 et n, on a : (p) (p+1) 0 < mj  mj Q24. (p+1) Mj (p) Mj . Minoration Montrer que, pour tout entier naturel non nul p et tout entier j compris entre 1 et n, on a : (p+1) (p) (p) (p) (p) (p+1) (p) (p) et Mj - Mj - mj  m Mj - mj m Mj - mj . mj Q25. Majoration Montrer que, pour tout entier naturel non nul p et tout entier j compris entre 1 et n, on a : (p+1) (p+1) (p) (p) - mj (1 - 2m) Mj - mj . Mj Q26. Convergence de ces suites (p) En deduire que, pour tout entier j compris entre 1 et n, les suites mj et pN (p) Mj pN sont adjacentes. Q27. Conclusion En deduire que la suite (Ap )pN converge vers une matrice L stochastique dont toutes les lignes sont identiques. FIN 7/7