CCINP Maths PSI 2018

SESSION 2018

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PSIMA02

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI!
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MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril : 14 h - 18 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.
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PROBLÈME 1
Ce problème comporte 3 parties indépendantes.
Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, N désigne l'ensemble des entiers 
naturels non nuls.
- R désigne l'ensemble des nombres réels.
- R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, 
pour tout entier n  N,
on note Rn [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de 
degré inférieur ou égal
à n.
- Si n1 et n2 sont deux entiers naturels, on note n1 , n2  l'ensemble des 
entiers naturels compris
(au sens large) entre n1 et n2 .
Objectifs
On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle x2 y + axy + by = 
0. La partie I est une
partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette 
équation lorsque a et b sont des
constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de 
l'équation lorsque a
et b sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette 
équation lorsque a = 1 et b
est la fonction carrée.

Partie I - Endomorphismes
Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul et a et b des 
constantes réelles.
Q1. On note  l'endomorphisme de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = XP.
Calculer, pour tout k  0, n, (X k ).
Q2. Montrer que pour tout P  R[X], X 2 P =   ( - Id) (P), où Id désigne 
l'endomorphisme
identité sur R[X].
Q3. Montrer que si P  Rn [X], (P)  Rn [X].
On notera n l'endomorphisme de Rn [X] induit par .
Q4. Déterminer la matrice de n dans la base canonique (1, X, · · · , X n ) de 
Rn [X].
Q5. On définit l'application  par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP .
Montrer que  = 2 + (a - 1) et en déduire que  définit un endomorphisme de R[X].
Q6. Montrer que  induit un endomorphisme n de Rn [X].
Q7. Montrer que n est diagonalisable.
On considère l'endomorphisme  de R[X] défini par :
P  R[X], (P) = X 2 P + aXP + bP.
2/8

Q8. Montrer que  induit un endomorphisme de Rn [X], endomorphisme que l'on 
notera n .
Exprimer n en fonction de n .
Q9. Exprimer la matrice de n dans la base canonique de Rn [X].
On considère l'équation :
s2 + (a - 1)s + b = 0.

(1)

Q10. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet deux racines 
entières m1 , m2  0, n.
Q11. Expliciter le noyau de n lorsque l'équation (1) admet une unique racine 
entière m  0, n.
Q12. Déterminer le noyau de . En déduire qu'il est de dimension finie et 
déterminer sa dimension.

Partie II - Une équation différentielle
On considère dans cette partie l'équation différentielle
x2 y + axy + by = 0,

(2)

où a et b sont des constantes réelles.
Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des 
solutions de
l'équation (2) sur I =]0, +[ ? Et sur J =] - , 0[ ?
Q14. Montrer que si y est une solution de (2) sur I, alors g = y  exp est une 
solution sur R de
l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :
u + (a - 1)u + bu = 0.

(3)

Q15. Réciproquement, soit t  g(t) une solution de (3) sur R. Montrer que la 
fonction g  ln est
solution de (2) sur I.
Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où a 
= 3 et b = 1 et dans
le cas où a = 1 et b = 4. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à 
valeurs réelles de
l'équation (2) sur l'intervalle I.
On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que a = 1 et b = - 4.
Q17. Montrer que si y est solution de (2) sur J, alors h = y  (- exp) est 
solution de (3) sur R.
Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe C 2 
sur R.

Partie III - Une équation de Bessel
On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle :
x2 y + xy + x2 y = 0.
Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.

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(4)

Série entière dont la somme est solution de (4)

ck xk , avec c0 = 1, de rayon de convergence R > 0 et dont
On suppose qu'il existe une série entière
k0

la fonction somme J0 est solution de (4) sur ] - R, R[.
Q20. Montrer que, pour tout k  N, on a :

= 0
c

 2k+1
(-1)k .

c
=
 2k
4k (k!)2
Q21. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière obtenue :

ck xk .

k0

Q22. Soit r > 0 et soit f une autre solution de (4) sur ]0, r[. Montrer que si 
(J0 , f ) est liée dans
l'espace vectoriel des fonctions de classe C 2 sur ]0, r[, alors f est bornée 
au voisinage de 0.
Inverse d'une série entière non nulle en 0

k xk une série entière de rayon de convergence R > 0 telle que 0 = 1. 
L'objectif de ce
Soit
k0

k xk de rayon de convergence
paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière
k0

R > 0 telle que pour tout x appartenant aux domaines de convergence des deux 
séries :

  +
 +

k
k
 k x   k x  = 1.
k=0

k=0

Q23. Montrer que si

k xk est solution, alors la suite (k )kN satisfait aux relations suivantes :

k0

0
= 1

n

.

k n-k = 0

 n  N

(5)

k=0

Soit r un réel tel que 0 < r < R . Q24. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout k  N :
|k | 

M
.
rk

Q25. Montrer que (5) admet une unique solution (k )kN et que, pour tout k  N :
|k | 

M(M + 1)k-1
.
rk

On pourra raisonner par récurrence.
Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence R de la série entière

k0

4/8

k xk ?

Ensemble des solutions de (4)
Q27. Soit r > 0 et soit  une fonction de classe C 2 sur ]0, r[.
Montrer que la fonction y : x  (x)J0 (x) est solution de (4) sur ]0, r[ si et 
seulement si la
fonction x  xJ02 (x) (x) est de dérivée nulle sur ]0, r[.
Q28. Montrer que J02 est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de 
convergence. Que
vaut J02 (0) ?
Q29. En déduire l'existence d'une fonction  somme d'une série entière de rayon 
de convergence
R > 0 telle que
x  (x) + J0 (x) ln(x)
soit solution de (4) sur un intervalle ]0, R [.
Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur ]0, R [.

5/8

PROBLÈME 2

Notations et définitions
- N désigne l'ensemble des entiers naturels, R désigne celui des nombres réels.
- Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, on note E(X) son 
espérance.
Soit (, A, P) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète sur 
(, A, P), à valeurs
dans [-1, 1]. On considère dans ce problème une suite (Xi )iN de variables 
aléatoires discrètes sur
(, A, P), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Pour tout n  N , on 
note :
Sn =

X1 + · · · + Xn
.
n

Objectif
Montrer que si la variable aléatoire X est centrée (E(X) = 0), alors la suite 
(S n )n1 converge presquesûrement vers la constante 0. Il s'agit d'un cas 
particulier de la loi forte des grands nombres.
Q31. On ne suppose pas X centrée dans cette question. Montrer que X admet une 
espérance.
On suppose désormais que X est centrée.
Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire 
finie Y sur (, A, P).
Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque Y est une variable aléatoire 
discrète non nécessairement finie.
Q33. En déduire que pour tout  > 0 :
P (|X|  ) 

E (|X|)
.

Q34. Montrer que pour tout t > 0, pour tout  > 0 et pour tout n  N , on a :
  n

E etX
tnS n
tn
P (S n  ) = P e

.
e
etn

6/8

Majoration de E e t X
Q35. Soit a > 1. On considère la fonction ga définie par :
x  R, ga (x) =

1 - x -1 1 + x
a +
a - ax .
2
2

Montrer que la fonction ga est dérivable sur R et que la fonction ga est 
décroissante sur R.
En déduire, en remarquant que ga (-1) = ga (1) = 0, que pour tout x  [-1, 1], 
ga (x)  0.
Q36. En déduire que pour tout t > 0 et pour tout x  [-1, 1] on a :
etx 

1 - x -t 1 + x t
e +
e.
2
2

Q37. En déduire que pour tout t > 0 :
 
E etX  ch(t).
Q38. Montrer que pour tout entier k  N et tout t  R, on a :
 k
t2k
1 t2
.

(2k)! k! 2
En déduire que pour tout t > 0, on a :
 
t2
E etX  e 2 .
Majoration de P (|S n|  )
Dans ce paragraphe, on considère un entier n  N et un réel  > 0.
Q39. Montrer que la fonction
t2

t  R  e-nt+n 2
atteint un minimum en un point que l'on précisera.
2

Q40. En déduire que P (S n  )  e-n 2 , puis que :
2

P (|S n |  )  2e-n 2 .

7/8

Conclusion
Q41. Montrer que pour tout réel  > 0, la série de terme général P (|S n | > ) 
converge.
Q42. On fixe un réel  > 0. On note, pour tout n  N :

Bn =
{   ; |S m ()| > } .
mn

Montrer que pour tout n  N , Bn est un événement et que :

Bn  = 0.
P 
nN

Q43. Posons, pour tout k  N :

1

k =    ; n  N , m  n, |S m ()| 
.
k
Montrer que pour tout k  N , k est un événement.

Écrire l'ensemble A =    ; lim S n () = 0 à l'aide des événements k , k  N .
n+
En déduire que A est un événement.

Q44. Déduire des questions précédentes que :
P(A) = 1.

8/8

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 18 1062 ­ D'après documents fournis

FIN