CCINP Maths PSI 2021

SESSION 2021 @ PSI1M

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

1/8
EXERCICE
Étude d'extremums

On considère la fonction f définie sur R° par : V(x, y) EUR R°, f(x, y) = x° + 
y" -- 3xy.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'existence d'extremums pour f.

Q1. Déterminer les points critiques de f.

Q2. Expliciter des points (x, y) EUR R° arbitrairement proches de (0, 0), tels 
que f(x, y) < 0. Expliciter de même des points (x, y) EUR R° arbitrairement proches de (0, 0), tels que f(x, y) > 0.
La fonction f admet-elle en (0,0) un maximum local, un minimum local ou aucun 
des deux ?

On considère la fonction g définie sur R° par : V(u,v) EUR R°, g(u,v) = f(1 
+u,1+v)- f({,1).

Q3. Calculer, pour tout (u, v) EUR R°, g(u, v) puis, pour tout (r, 8) e R* x R, 
g(r cos 6, r sin 6).
P puIs, P

1
Q4. Prouver que pour tout (r,0) EUR R° X R, on a : g(rcos 06, rsin 0) > 3r° 5 
.: 2)

Que peut-on en conclure ?

Q5. La fonction f possède-t'elle un ou des extremums globaux ?

2/8
PROBLÈME 1
Étude d'une famille de séries entières

Dans tout le problème, a désigne un nombre réel. On note D, l'ensemble des 
réels x pour lesquels la
n

7 °° X
série entière > à est convergente et on pose, pour tout x EUR D, :
n

n>l
+00 y»
X
RE --
n
n=]l

Objectifs

Ce problème est composé de trois parties indépendantes.
Dans la Partie I, on étudie quelques propriétés élémentaires des fonctions f,.
L'objectif de la Partie IT est de construire un logarithme complexe.

Enfin, la Partie III permet d'obtenir un équivalent de f,(x) lorsque x tend 
vers 1, dans le cas & EUR]0, If.

Partie I - Quelques propriétés des fonctions f,

Q6. Déterminer le rayon de convergence À commun aux séries entières définissant 
les fonctions f,.

Q7. Déterminer, suivant les valeurs du réel &, le domaine de définition D, de 
la fonction f,. On
distinguera les cas & EUR] -- æ,0], « EUR]0, 1] ef æ EUR]1, +ol.

QS. On suppose dans cette question a > 0. Déterminer, pour tout x EUR D),, le 
signe de f,(x).

Q9. Expliciter fo, f_1 et f1.

Q10. Soit « > 1. Prouver que f, est continue sur D,.

Q11. Soit a < 1. Prouver que lim fa(X) = +. On pourra comparer fa à fi. On suppose dans les deux prochaines questions qu'il existe un réel À > 0 et une 
variable aléatoire X,,
définie sur un espace probabilisé (Q, A, P) et à valeurs dans N°", tels que la 
fonction génératrice G,

de X, soit :
Gay = ÀAfo:

Ï
Q12. Montrer que « > 1 et À =
fa(Q)
Q13. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable 
aléatoire X, admette une

espérance.
Déterminer cette espérance en fonction de f,(1) et f,_1(1) seulement.

3/8
Partie IT - Un logarithme complexe

Q14. Donner sans démonstration le développement en série entière au voisinage 
de 0 de la fonction
qu'àxel-1,1[ associe In(1 + x).

n

(--2)" |

Pour tout nombre complexe z, tel que la série >
n

+00
est convergente, on note : S (z) = -- >
n>] n=1l

Q15. Donner le rayon de convergence R de la série entière définissant S. Pour 
tout x réel élément
de ] -- R, RT, déterminer la valeur de exp{sS (x)).

Soit z, EUR EUR tel que [zol < À. On considère la série entière de la variable réelle t suivante : De. n>l

En cas de convergence, on note g(f) sa somme.

On a donc, pour f EUR KR tel que la série est convergente, g(f) = S (fz0).

Q16. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g.
Q17. Prouver que g est définie et de classe C°" sur [0, 1]. Déterminer, pour 
tout ft EUR [0, 1], g'(#).

Q18. On pose h = exp og. Prouver que pour tout f EUR [0,1]:

ZO
L + f2o

h'(t) = h(r).

Q19. Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et en déduire 
que :

exp(S (zo)) = 20 + 1.

4/8
Partie IIT - Un équivalent de f,(x) quand x tend vers 1,
dans le cas où a EUR]0. 1]

Dans toute cette partie, on suppose que & EURÏ0, If. L'objectif est de donner 
un équivalent de f,(x)
quand x tend vers 1.

+00
Pour tout x EUR]0, 1[, on considère l'intégrale : (x) = [ -- df.
0

Q20.

Q21.

Q22.

Q23.

Q24.

x!

{[®

Justifier que, pour tout x EUR]0, 11, l'intégrale /(x) est convergente.

+00

On rappelle que la fonction l d'Euler est définie sur R° par : Vs EUR R°,1 (5) 
= [ 1 le"'dt.

0
Pour tout x EUR]0, 1[, déterminer une expression de (x) faisant intervenir 
In(x), a et ['(1 -- a).

{

x. .  .
Prouver que, pour tout x EUR]0, 1[, la fonction f a définie pour tout f EUR R° 
est décroissante
sur R'.

En déduire, pour tout x EUR]0, 1[, l'encadrement :

+00 _ f +O0  f
[ --_ dt < f,( < [ -- dr. 1 o En déduire un équivalent de f,(x) quand x tend vers 1. 5/8 PROBLÈME 2 Pour tout C EUR MC), det(I, + CC) e R* Dans ce problème, n désigne un entier non nul fixé. On note M,(C) (respectivement M,(R)) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coeffi- cients dans C (respectivement R), GL,(C) l'ensemble des matrices inversibles de taille n à coefficients dans C et M,,(C) l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille n à coefficients dans C. Pour toute matrice M EUR M,(C), on note y» = det(X7, -- M) son polynôme caractéristique et Sp(M) l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On pourra utiliser librement les produits matriciels par blocs. Objectifs On s'intéresse dans la Partie I à trois cas particuliers. On montre d'abord que det(Z, + CC) > 1 dans le cas particulier des matrices 
diagonales complexes
C, où C désigne la matrice conjuguée de C, c'est-à-dire la matrice obtenue en 
considérant le conjugué
de chaque coefficient de C.

On montre ensuite que det(Z, + C°) > 1 dans le cas particulier des matrices 
symétriques réelles C.
On considère enfin le cas des matrices réelles C pour lesquelles on démontre 
que det(Z, + C°) EUR R*.

La Partie IT est consacrée au cas général. E
On montre que pour toute matrice C de M,(C), det (4, + CC ) e R:.

Partie I - Trois cas particuliers

Q25. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M,(C) 
diagonale. Démontrer que
det (1, + CC) e KR et que :

det(1, + CC) > 1,

avec égalité s1 et seulement si C = Ou, co).
Q26. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M,(R) 
symétrique. Démontrer que :
det (4, + C?) > ],
avec égalité s1 et seulement si C = Ou, m).

Q27. Démontrer par récurrence sur n que : VA EUR M,(C), det (A) -- det(A).

Q28. On suppose dans cette question que C est une matrice de M,(R). Déduire de 
la question pré-
cédente que, dans ce cas, on a :

det (4, + C?) = | det(C -- il, ).

En déduire que det (4, + C?) e R' et que det (4, + C?) = 0 si et seulement si i 
EUR Sp(C).

6/8
Partie II - Le cas général

On considère dans cette partie une matrice EUR de M,(C) et on démontre que 
det(Z, + CC) ER'.
Seule la Q27 de la partie I sera utile pour la suite.

I -C\fl, 0\
Q29. En considérant le produit matriciel ee I I CI | démontrer que :

_ 1, -C
det(Z, + CC) = det Fe 1)

l ï

On notera désormais : Co = | =
C 1,

Q30. Soient (r, s,t,u) EUR C* et (e1, e>) la base canonique de C°. On note w 
l'endomorphisme de C'

r S
dont la matrice dans la base (e,,e;) est + ul Exprimer la matrice de & dans la 
base (e, e:).

Q31. Soit (R,S,T,U) EUR (M,(C)). En s'inspirant de la question précédente, 
montrer que la matrice
S | U T A R S
7 s) est semblable dans M;,(C) à la matrice s #) Montrer de même que h ) est

| R -S
semblable à la matrice = o)

Q32. En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice C, est à 
coefficients réels.

X
Pour la suite, nous écrirons les vecteurs de M;, (EUR) sous la forme ;) où 
(X,Y)E (M,1(C)).

On considère l'application Q : M;,,(EURC) -- M, (EUR) définie par :

X X y
Jewmstoa(()-(x}
Q33. Démontrer les propriétés suivantes de l'application Q :

a) Pour tout F;] EUR M, 1(C), CoQ (;) = Q (ci F1}

b) QoQ=- 1dM;, :(C) :

c) Pour tout F EUR M;,1(C) et tout 1e C, Q U F;) = ÀQ (])

. [À
Q34. Soit Fr] EUR MO) \ {Ow,1O)-

Montrer que la famille (f , Q (1) est libre et que le plan Vect (f ,Q (1) est 
stable
par Q.

7/8
Q35. Soit E un sous-espace vectoriel de M; (EUR) stable par Q et soit F;] EUR 
MC) \ E.

E N Veci (f r (1) = (Ou, GO

Pour tout À EUR Sp(Co), on note &, EUR N° sa multiplicité comme racine du 
polynôme caractéristique. On

peut donc écrire : Yc, = IE (X -- À)". On note alors, pour tout À EUR Sp(Co) :
AESp(Co)

Montrer que :

Fh -- ker (A -- Co")

On admet, pour traiter la Q38, que pour tout 1 EUR Sp(Co), on a : dim F3 = @1.

Q36. Montrer que pour tout À EUR Sp(Co), on a : Q(F) = F7.
Q37. Montrer que si À EUR Sp(Co) N KR, alors F, est de dimension paire.

Q38. Conclure que : det(Co) EUR R°.

FIN

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IMPRIMERIE NATIONALE - 211167 - D'après documents fournis