CCINP Maths PSI 2022

SESSION 2022 Ç D PSI1M

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. -_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont interdites. Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties indépendantes. 1/8 PROBLÈME 1 Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace Présentation Le théorème de Moivre-Laplace permet d'approcher les calculs de probabilité pour une va- riable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n EUR N° et p EUR [0; 1] par des calculs d'intégrales de fonctions gaussiennes. Une première démonstration a été donnée en 1733 | 1 par Abraham de Moivre pour le cas où p = 7 La partie | permet d'obtenir un résultat de convergence. La partie Il aboutit à un calcul exact d'une intégrale de fonction gaussienne dite " intégrale de Gauss ". La partie Ill permet d'établir une majoration utile à la partie IV qui s'intéresse à la convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction gaussienne. Ce résultat de convergence constitue une étape clé dans une démonstration possible du théorème de Moivre-Laplace. Partie I - Convergence d'une suite Soit n e N°. Pour tout k EUR [0,27], on pose : V2n g | en Son | je Pour tout m EUR N, on pose : 1 m= | a-6)ar. 0 Q1. Montrer que la suite (Z,),.n\ est décroissante. Q2. Montrer que pour tout m EUR N : m + 2 D -- me m + 3 ln Q3. En déduire que pour tout n EUR N° : __ Vn _2Qn+l@n Lh et Ann - T Ln1 = ---- V2n Q4. Montrer que pour tout n EUR N° : 1< LDn-1 c Ly-2 La LDn En déduire que : < 2r(Ann) < 1. -- < l+;; 218 QS. En déduire la convergence de la suite (a,,),., lorsque n tend vers l'infini, puis que : Partie Il - Calcul d'une intégrale de Gauss Pour tout n e N°, on pose : ip py = | h-") df . 0 n Pour tout n e N° et pour tout r e R'", on pose : P\ . so ||] Si0 0, tels que :

1 1 --
Vx EUR o ; 7 -- = 6 7%80 et  |e(x)| < Mx°. Indication : pour obtenir la majoration, on pourra écrire g(x) sous forme d'intégrale. Soit n e N°. Montrer que pour tout k EUR [n + 1; 2n]] : An Hi (1 E i) ann [Er (1 + i) Kk" K 3/8 3 ... Q12. En déduire que pour toutkeNtelquen+1 no, il
existe k, EUR N, tel que x EUR J,,,. Vérifier qu'alors :

XV2n
2 ; Kknn

k,---n --

n-- +00

Q17. Soit n e N°. Vérifier que pour tout k EUR [0; 2n], h,(t43) = a,. Montrer 
ensuite, en utilisant
les résultats des Q5, Q12, Q16, que la suite de fonctions (h,),Ar converge 
simplement
sur R et préciser sa limite.

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La convergence simple de cette suite de fonctions (h,),Ar est une étape 
importante permet-
tant de démontrer un cas particulier du théorème de Moivre-Laplace :

Théorème

Pour tous réels aeR, be R, tels que a < b: D 1 him P(a < 7, < b) = [ e 7 df. 1? +00 a V27 9/8 PROBLÈME 2 Factorisation OR Présentation Ce problème s'intéresse dans la partie | à des propriétés des matrices de rang 1. Certaines de ces matrices sont ensuite utilisées dans la partie Il pour construire des matrices ortho- gonales permettant dans la partie INT de prouver l'existence d'une factorisation OR pour une matrice carrée quelconque. Notations Pour tous n,p EUR N°, on note M,,(R) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans KR. L'ensemble des matrices réelles carrées de taille n est noté M,(R). Soit À EUR M,(R) : on note également A l'endomorphisme de M, (R) qui à X associe AX. Pour tout À EUR M,,(R), A' désigne la matrice transposée de A. Une matrice À EUR M,(R) est dite nilpotente s'il existe un entier k EUR N°, tel que A = 0. L'ensemble M, (R) est muni de son produit scalaire canonique ({:,-) et de la norme associée 1-11. En identifiant 1Z,(R) et R, on a pour tous X, Y EUR M, 1(R) : (X,Y)=X7Y et IX] = (X,X). On suppose dans tout ce problème que n EUR N est un entier naturel vérifiant n > 2.
Partie I - Matrices de rang 1

1.1 - Une expression des matrices de rang 1

Q18. Soit À EUR M,(R) une matrice de rang 1. Montrer qu'il existe X, Y EUR 
M,.(R)\{0} tels que
A = XY!.
Q19. Réciproquement, soient X, Y e M, 1(R)\{0}. Montrer que la matrice XY'' est 
de rang 1.

1.2 - Quelques propriétés

Soit À EUR M,(R) une matrice de rang 1.
Q20. Montrer que A° = tr(A)A.

Q21. En déduire, par récurrence sur k, une expression de 4" en fonction de A 
pour tout
ke N:.

Q22. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de À pour que A 
soit nilpo-
tente.

Q23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de À pour que À 
soit diago-
nalisable.

6/8
Partie Il - Matrices de Householder

11.1 - Un exemple

On définit :

\

1 -2 2
A==|-2 1 2|eM;(R).
2 2 1

OU)

Q24. Calculer A°. En déduire un polynôme annulateur de A.
Q25. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Q26. Montrer que les sous-espaces propres de À sont orthogonaux.

Q27. Déterminer une matrice P EUR O;(R) et une matrice diagonale D EUR MAR), 
telles que
P'AP = D.
Q28. interpréter géométriquement l'endomorphisme À de M; (R).

11.2 - Matrices de Householder

Soit V EUR M,1(R)\{0}. On définit Py, Qy EUR M,(R) par :

l T
[VIF

et Qy=1,-2 VV". (1)

Pv=

VIF

Q29. Montrer que Im Py = Vect(V) et que Ker Py = Vect(V).

Q30. Montrer que P, est la projection orthogonale sur la droite Vect(V).
Préciser le rang et la trace de la matrice Py.

Q31. Montrer que Q, est symétrique et orthogonale.

Q32. Montrer que Q, est la symétrie orthogonale par rapport à Vect(V)-.

Partie Ill - Factorisation OR

111.1 - Un résulat préliminaire

Soient U, V EUR M,.(R), tels que [[U{ = [VI]. On note D = Vect(U -- V).

Q33. Montrer que D- est l'ensemble des X EUR M,.(R), tels que |IX -- U|| = |IX 
-- V||.
Q34. Donner la décomposition de U sur la somme directe M, ,(R) = D @ D.

Q35. On suppose U et V non colinéaires. Calculer Q_,U où Qu, est définie en (1).

Q36. En déduire que pour tous U,VE M,:1(R), il existe une matrice orthogonale 
©, telle que
OU est colinéaire à V.

118
111.2 - Factorisation OR

Q37. Soit À EUR M,(R). Montrer qu'il existe une matrice orthogonale ©Q,, telle 
que Q,A soit de

la forme :

0
OA -- oùaekRetC.Ee M,-_1(R).

0
Q38. En raisonnant par récurrence sur n, montrer que pour tout À EUR M,(R), il 
existe une
matrice Q orthogonale, telle que QA soit triangulaire supérieure.

FIN

8/8

NATIONALE - 221175 - D'après documents fournis

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