CCINP Maths PSI 2023

SESSION 2023 PSI1M

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

1/8
EXERCICE

Fonction de Bessel

Soit une fonction f : R -- KR définie par :

VxekR, f(x) = [ ' cos(x sin(f)) df.
0

Pour tout n EUR N, on note :

Q1.
Q2.

QS.

Q4.

QS.

Q6.

Q7.

Q8.

W,, = [ sin"""(?) df.
0

Montrer que f est bien définie sur R.

Montrer que f est de classe C* sur R et donner des expressions sous forme 
d'inté-
grales de f"(x) et f""'(x) pour tout x EUR KR.

Soit une fonction h: R° -- R définie par :

VAN ER', (xt) = cos(r)sin(xsin(r)).

Oh ue Oh
Justifier l'existence de Sr" puis déterminer a t) pour tout (x, fr) e R°.
En déduire que f est solution de l'équation différentielle :

xy" + y + xy = 0. (E)

On suppose quil existe une solution de (E) développable en série entière notée
> a, x de rayon de convergence R > 0.

n>0

Montrer que a, = 0 et que pour toutne N, n >2:

En utilisant un théorème d'interversion série intégrale, montrer que f est 
développable
en série entière au voisinage de 0 et exprimer les coefficients du 
développement de f
en fonction des termes de la suite (W, ),aw.

Déduire des questions précédentes que f est l'unique solution développable en 
série
entière de (E) vérifiant f(0) = x.
En déduire, pour tout n e N, une expression de W, en fonction de n.

218
PROBLÈME 1

Marche aléatoire sur Z

On considère une particule se déplaçant sur une droite graduée par les entiers 
relatifs. Sa
position à l'instant initial : = 0 est k = 0. À chaque instant r e N°", elle se 
déplace aléatoirement
de sa position k e Z à la position k +1 ouk---1.

Soit p EUR 10;1[. On définit sur un espace probabilisé (Q, >, P) une suite de 
variables aléatoires
indépendantes (X,).. et identiquement distribuées dont la loi est définie par :

VIEN', PX=1)=p et P(X=-1)=1-p.

Enfin, pour tout n e N°, on pose S, = > X:.

t=]
Pour tout r e N°, la variable aléatoire X,; modélise le déplacement de la 
particule à l'instant r.
Si X, = 1, la particule se déplace vers la droite. Si X;, = --1, la particule 
se déplace vers la
gauche. Ainsi, pour tout n EUR N°, S, modélise la position de la particule 
après n déplacements.

On rappelle la formule de Stirling :

nl! -- 2rn (:
e

n--+00

Partie I - Un développement en série entière

Q9. Soit « EUR KR tel que « # N. Donner sans démonstration un développement en 
série
entière de la fonction réelle x - (1 + x)° au voisinage de 0 en précisant son 
rayon de
convergence.

Q10. En déduire que pour tout x e | -- 1;1] :

1 + 1 f2n\,
: = X .
1=x D2n n

n

8

!

Il
©

Partie Il - Probabilité de retour à l'origine

On définit la suite (u,),aw: par :
VneN, u, = P(S, = 0).

X, +1

Q11. Pour tout r e N°, déterminer la loi de la variable aléatoire
X, +1

. En déduire que pour

suit une loi binomiale dont on précisera les

n
tout n e N°", la variable aléatoire >
| t=]
paramètres.

3/8
Q12. En déduire que pour tout n EUR N° :

h (pi --p)} sinest pair
2

0 sinon.

Un

Q13. Déterminer la limite de la suite (w,),ew: lorsque n tend vers + selon les 
valeurs de p
et interpréter le résultat.

Partie IIT - Nombre de passages par l'origine

Pour tout j EUR N, on note O;; la variable aléatoire égale à 1 si la particule 
est à l'origine à
n

l'instant : = 2j, 0 sinon. Pour tout n e N, on pose T,, -- > O;;. On note E(T,) 
l'espérance de
j=0
la variable aléatoire T,,.

Dans cette partie, on souhaite déterminer lim E(T,).

n--+00

Q14. Soit n e N. Que modélise la variable aléatoire T,, ?

Q15. Soit j e N. Déterminer la loi de la variable aléatoire O;;. En déduire que 
:

n

2 j |
E(T,) = '] GA - p))'.

ÿ=0

|
Q16. On suppose dans cette question que p + 3 En utilisant le résultat de la 
Q10, calculer
lim E(T,) et interpréter le résultat.

n-- +00

1
Q17. On suppose dans cette question que p = 3 Montrer par récurrence que :

VneN, E(T,)=

Qn + 1 F7)

22 \n

et en déduire lim E(T,).

n--+00

418
PROBLÈME 2

Puissances de matrices et limites de suites de matrices

Soit (n, p) EUR N°X N°. On s'intéresse ici à la convergence de suites 
matricielles (M), où pour
tout & e N, M, e M,,(C) avec p = 1 (matrices colonnes) ou p = n (matrices 
carrées). Pour

tout & e N, on note alors M, = (m°®) : ou plus simplement M, = (me).
J /(,j)el1:21xX{1;p] i,

On suppose que l'espace vectoriel M,,(C) est muni d'une norme notée ||.| 
indifféremment

des valeurs de n et p. En particulier, si V EUR M,,(C), V est une matrice 
colonne assimilée à
un vecteur de C" et on note ||[V]|| sa norme.

On rappelle que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. la suite (M), converge vers la matrice À = (ai,;) E MC);
2. la suite des normes (||M,; -- A|},A converge vers 0;

3. pour tout (4, j) EUR [1; #1] x [[1; p], la suite de nombres complexes (m
ai; EUR EUR (convergence des coefficients de la matrice).

W).., converge vers
J /kEN

On s'intéresse en particulier à la suite des puissances itérées (M). d'une 
matrice donnée
M EUR M,(C) .

Partie 1 - Diagonalisation et puissances d'une matrice particulière

Soit n e N tel que n > 3. Pour tout (a, b) e C°, on définit la matrice M(a, b) 
e M,(C) par :

(b a a :-:- a)

a bb da ::- a
M(a, b) =

4. a b a

a ::. a a b)

et on note P,, le polynôme caractéristique de la matrice M(a, b).

On note , la matrice identité de M,(C) et on remarque que pour tous réels a et 
b,

M(a, b) = bI, + aM(1, 0).

Q18. On suppose, dans cette question uniquement, que (a,b) e R°. Montrer que 
dans ce
cas M(a, b) est diagonalisable.

1
Q19. Montrer que V =|:1Ee W,.,(C) est un vecteur propre de M{(a, b) et 
déterminer la valeur

1
propre associée à V.

Q20. Montrer que P:0(X) = (X -- (n -- 1))(X + 1)7*.

X --
Q21. On suppose que a Æ 0. Montrer que P,,(X) = d'Pra| . En déduire l'ensemble

des valeurs propres de M{(a, b) ainsi que leurs multiplicités.

9/8
Q22. On définit le polynôme ©Q,, EUR C[X] par Q,,(X) = (X -- (b -- a))(X --(b + 
(n -- 1)a)).
Montrer que Q,, est un polynôme annulateur de Ma, b) et en déduire que Ma, b) 
est
diagonalisable (on distinguera les cas a = 0 et a Æ 0).

Q23. Soit k e N. On suppose que a + 0. Déterminer le reste de la division 
euclidienne du
polynôme X* par le polynôme ©Q,, et en déduire une expression de M(a,b}° comme
combinaison linéaire de M{(a, b) et de 1,.

Q24. Supposons que |b-a| < 1 etlb+(n-1)a| < 1. Déterminer la limite de la suite de matrices (M(a. b)') keN Partie Il - Limite des puissances d'une matrice Soit n e N°. On considère l'espace vectoriel EUR" muni d'une norme notée ||... On note sa base canonique B = (e,,...,e,). Soit u un endomorphisme de C" vérifiant la propriété suivante : VAE Sp(u), [A > ai |.
j=1
JA
On dit alors que A est une matrice à diagonale strictement dominante. On admet 
que dans
ce cas À est inversible.

On définit ensuite M e M,(C) et F e M,(C) de la manière suivante : pour tout 
(i, j) e [1;n]",
- Sii>j,m;=a;;et fi; = 0;
- Sii Uj = > u; = 
0.
j=n+] j=]

Q32. Montrer que FV = AMV. En déduire que :

n

i-]
Vielll;n1]. AG; iv; -- À» ra 3]
j=i+1 j=1
Q33. Montrer quil existe à, EUR [1; 1] tel que |v;,| = max 1 et v; # 0. En 
déduire que :
jen

n io --1

Adi il < | D lait + A) | j=1 J=io+1 Q34. En déduire que [A] < 1, puis que Jim B' =0. -- +00 118 = B"(Xo -- X) X,--X Vke N. Q35. Montrer que : et conclure. FIN SIUINO} SjueWun20p sgide,q -- ObLL ET - AIFNOILFN AHAIXANIHdNWI 8/8