CCINP Maths PSI 2024

SESSION 2024 PSI1M

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes et d'un exercice indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

1/8
PROBLÈME 1

File d'attente

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé 
(Q, A, P).

On s'intéresse à une file d'attente à un guichet. À l'instant O, la file 
contient un client. On
suppose qu'à chaque instant k e N° il peut arriver au plus un nouveau client 
dans la file.

Pour tout & e N°, on note X, la variable aléatoire qui vaut 1 si un nouveau 
client arrive à
l'instant k et 0 sinon.

On suppose que (X,)..v est une suite de variables aléatoires indépendantes et 
identique-
ment distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre p EUR]0, 1[.

On repère chaque client par un indice qui donne son ordre d'arrivée dans la 
file : par définition,
le client initialement présent a pour indice n = 0, le premier nouvellement 
arrivé a pour indice
n = |, etc.

On rappelle que la fonction génératrice d'une variable aléatoire X à valeurs 
dans N est la
fonction notée G, définie par :

GxO = > PX= jp.
j=0

Partie 1 - Temps d'arrivée du #-ième client

Q1. Onnote 7 la variable aléatoire égale au temps écoulé entre le temps 0 et le 
temps où
arrive le client d'indice 1.
Justifier que pour tout & e N°, PCT, = k) = (1 -- p}!p.

Q2. On note À l'événement « aucun nouveau client n'arrive dans la file ».
Exprimer À en fonction des événements {7, = k}, ke N°. En déduire P(A). 
interpréter.

Q3. Déterminer le rayon de convergence R de la fonction génératrice de 7, puis 
calculer
sa somme.

Q4. En déduire l'espérance et la variance de T.

Q5. Pour tout n e N°, on note 7, la variable aléatoire égale au temps écoulé 
entre l'arrivée
du client d'indice n -- 1 et le client d'indice r. On admet que les variables 
aléatoires T,
sont indépendantes et de même loi.

On note D, = T;, +...+7T, la variable aléatoire qui donne le temps d'arrivée du 
client
d'indice n.
Calculer l'espérance, la variance et la fonction génératrice G,, de D,.

Q6. Rappeler le développement en série entière de (1 + x) au voisinage de x = 0 
pour
a EUR KR.

En déduire le développement en série entière de G, en 0 et montrer que pour tout
(k,n) EUR (N'Y :
0 Sik  et :|

On s'intéresse au comportement de la suite (z,),:w définie par :
Z1 JO, IT et Vne N", Zn+1 -- Zn) *

Q7. Montrer que pour tout n e N°, z, el0, 1[ et z,., -- z, est du même signe 
que 2: -- z;.
Q8. En déduire que (z,),Ar converge vers une limite £ EUR [0, 1] vérifiant f(£) 
= £.

I0,1J-- R
x+ In(x) -- a(x-- 1)
Montrer que pour tout x>0,ona:0 1.
Étudier le signe de y et montrer que l'équation f(x) = x d'inconnue x EUR [0, 
1] admet
exactement deux solutions « et 1 avec a e]0, 1[ qu'on ne cherchera pas à 
expliciter.
En distinguant les cas z, EUR]0, a] et z, ele, 1[, montrer que z, -- à.

n-- +00

Q9. Soit la fonction y :

11.2 - Groupes de clients

On suppose que les clients de la file d'attente sont servis suivant leur ordre 
d'arrivée par

un unique serveur et que la durée de service de chaque client est une variable 
aléatoire qui

suit la loi de Poisson de paramètre 1 > 0 : pour tout k EUR N, le service a une 
durée k avec la
k

À
probabilité Tr.

On rappelle qu'initialement, la file contient un unique client : le client 
d'indice 0.

On note S la variable aléatoire égale à la durée de service de ce client : 
comme à chaque
instant il arrive au plus un nouveau client, il peut arriver entre 0 et S 
nouveaux clients pen-
dant le temps de passage au guichet du client d'indice 0. Les variables S et 
(X,),ar sont
supposées indépendantes.

On appelle « clients du premier groupe » les clients qui sont arrivés pendant 
que le client
d'indice 0 était servi.

Par récurrence, pour tout & > 2, on définit les clients du k-ième groupe comme 
étant les
clients qui sont arrivés pendant que ceux du (k -- 1)-ième groupe étaient 
servis.

Pour tout & > 1, on note V, la variable aléatoire égale au nombre de clients du 
k-ième groupe.

Par construction, pour n EUR N, si le n-ième groupe est vide, alors l'événement 
{V,; = 0} est
réalisé pour tout k > n.

3/8
Q12. Quelle est la situation concrète décrite par l'événement Z -- L JE, = 0}?

neN*

Q13. Quelle est la loi du nombre N, de clients qui sont arrivés dans la file 
d'attente dans
l'intervalle de temps [1,1] ?

Q14. Pour tout (n,k) e N°, calculer P(V, = KS = n).
En déduire que V, suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

Q15. On note z, = P(V, = 0). Montrer que (z,),.\ converge et que P(Z) = lim 2z,.

Q16. Justifier que pour tout (j,n) e N°, P(V,:1 = 0[V, = j) = P(V, = 0)'. On 
distinguera le cas
j = 0.
Q17. Montrer que pour tout n EUR N°, z,:, = exp(Ap(z, -- 1)).

Q18. Déterminer, suivant les valeurs de 1p, la limite de la suite (z,),.v. 
Interpréter.

EXERCICE

Équivalent de Stirling

+00
Q19. Soit x e KR. Montrer que [ --le"'dt converge si, et seulement si, x > O0.
0

Pour tout x > 0, on note :

F(x) = [ le 'dr.
0

Q20. Montrer que pour tout x > 0, (x + 1) = xI (x). En déduire que pour tout n 
EUR N° :

T(n)=(n-1l)!.
ee F9 a Vr
Q21. On admet que l'intégrale e" dr converge et qu'elle vaut LE
0
Il 2n)!
Montrer que pour tout n EUR N : L'În+--|= Un) Vr.
2 22n!
k+i
Q22. Pour tout k e N° on note o; = Ink -- [ In 1 dr. Montrer que pour tout n 
EUR N° :
k-]

On remarquera que pour n = 1, par convention, la somme des », est nulle.

418
Q23.

Montrer que pour tout k e N° :

n= | QE +9 In ndr= | ini - 5 )ar
0 0

Q24. En déduire que D converge.

Q25.

Q26.

Q27.

Q28.

Q29.

kEeN*
Montrer qu'il existe c e R tel que, lorsque n -- +0 :

InT(n) = in SJun-nsc+otn

En déduire que lorsque n -- +0 :

1
T(n) - en" 2e".

t\" 7
Pour tout x > 0 et tout n e N°, on admet que 1 + 1°! ( -- . est intégrable sur 
]0, n] et
n

on note : :
rA n
n@= [ ptfr-2) dr.
0 n

Montrer que pour tout x > 0 et tout n EUR N° :
1
T,(x) = nm [ u*-1(1 -- u)'du.
0

Montrer que pour tout n EUR N° :

nn!
Vx>0, I,(x) =
u coe X(X + 1)...(x+n)
1 sit e]O, n[,
On définit la fonction 1,,, Sur R; en posant 1,5,41(#) = | 0,
0 sinon.

Te t\" ..  s
En remarquant que Tl',(x) = [ Lo nr(f) pl ( .: . dr, utiliser le théorème de 
conver-
0 n

gence dominée pour montrer que pour tout x > 0:

L,(x) > F(x).

En déduire que pour tout x > 0 :

n'n\!

F(x) = li
CE LG + D Gr mn
T(x+n)
--> Î.
T(n)n* n-+0
En déduire que e° = V2x où c est défini à la question Q25.

Montrer que pour tout x > O,

On pourra faire appel aux résultats des questions Q19 et Q20.

9/8
PROBLÈME 2

Blocs de Jordan

Soit p un entier naturel supérieur où égal à 2. On note M, (R) l'ensemble des 
matrices carrées
de taille p à coefficients réels. Pour tout 1 e KR, on définit la matrice J, 
EUR M, (R) par :

(A O0 .... ... 0

Ji=lo 1 '... '. :|. (1)
. +, +,
O0 ... 0 1 à

Les matrices J,, dites « matrices de Jordan », sont particulièrement 
importantes dans la me-
sure où on peut montrer que si le polynôme caractéristique d'une matrice est 
scindé, alors
elle est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont formés 
de matrices
de Jordan.

On se propose de montrer dans un premier temps une propriété d'irréductibilité 
des blocs
de Jordan. Dans un second temps, on étudie le caractère borné des solutions du 
système
différentiel linéaire associé à une matrice de Jordan.

Une matrice M EUR M, (R) est dite nilpotente s'il existe k EUR N, tel que M° = 
0. Dans ce cas, le
plus petit entier naturel k, tel que M" = 0 est appelé indice de nilpotence de 
M.

On note 8 = (e:,...,e,) la base canonique de R'.

On dit qu'un sous-espace vectoriel V de R? est stable par un endomorphisme f de 
R? si pour
tout x EUR V, f(x) EUR V.

(X1)
On note E = M,1(R) et pour tout À = (ai jen EUR M, (R) et tout X =| : le E, on 
définit :
\ Xp)
P P 5 D ,
NA) = | », 7 et IX = D sf] | (2)
i=1 j=1 i=1

On admet que W et || - || définissent des normes respectivement sur M,(R) et E.

Partie | - Irréductibilité de /;

Soit 1 EUR R. On note uw, EUR .Z(R?) l'endomorphisme canoniquement associé à Ji.

Q30. Calculer us(e;) pour tout j e [[1, p] et en déduire Ji.
Calculer de même JO et J'. En déduire que J, est nilpotente d'indice p.

6/8
Q31. Montrer que Sp(u,) = {1} et déterminer le sous-espace propre associé.

Q32. Soit V un sous-espace vectoriel de R?. Montrer que V est stable par v, si, 
et seulement
si, V est stable par wo.

Soit V un sous-espace vectoriel de R' stable par ",, de dimension k EUR [1, p]. 
On note v
lendomorphisme induit par ", Sur V et (ë,,...,ë,) une base de V, que l'on 
complète en une
base 8 = (&,,...,ë,) de R'.

Q33. Quelle est la forme de la matrice de ", dans la base 87

Q34. En déduire que le polynôme caractéristique de v divise le polynôme 
caractéristique de
ua Et QUE e, EUR V.

Q35. Déduire de la question précédente qu'il n'existe pas de décomposition R? = 
V&W où
V et W sont des sous-espaces vectoriels de R?' stables par , non réduits à {0}.

Partie Il - Stabilité du système linéaire associé

On s'intéresse dans cette partie aux solutions du système différentiel :

(S) X"=J1X.
Une solution de (S ) est une fonction :
[R -- E
ETU)
X : 4 1 XO =
Xp (#),

de classe C' telle que pourtoutr eR, X'(f) = J1X(r).

Pour tout re R, on définit la matrice carrée de taille p notée exp(rJ}) par :

Pl &

A
exp(tJ a) = e" D T0.
k=0

Q36. Montrer que si X, est un vecteur propre pour J, associé à la valeur propre 
1, alors
X :1+ e"X, est une solution particulière de (S).
R -- M, (R)

Q37. On définit la fonction v :
tH exp (1J)

Montrer que % est dérivable et que pour toutr ER, &'(f) = Jiexp(tJà) = 
exp(tJ1)Jà.
+0 +

t
Q38. Justifier que pour tout  e R, exp(tJ3) = e" D T0:
k=0

Montrer que pour tout re KR, exp(rJ,) est inversible, d'inverse exp(-1J;).

Q39. Montrer que X : 1 + X(r) est solution de (S) si, et seulement si, Y : 1 
exp(---1J1)X(r)
est constante.
En déduire que les solutions de (S) sont exactement les fonctions X : 1 - 
exp(tJ1)Xo
où Xo EUR ËÉ.

718
Q40. Montrer que si À > 0, (S) admet une solution non bornée sur R..

Q41. Montrer que pour tout A e M, (R) et tout X e E, on a |JAXI| < W(A)|IX||. En déduire que si 1 < 0, toutes les solutions de (S) sont bornées sur R.. Q42. Que dire concernant l'existence de solutions de (S) non bornées sur R, si À = 0? FIN 8/8 NATIONALE - 241104 - D'après documents fournis IMPRIMERIE