CCINP Maths 2 PSI 2005

SESSION 2005 PSIM207

A

CONCOURS (DMHUNS POlYÏECHNIOUES

\ EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI; '

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont-autorisées.

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
' poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre. '

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Le sujet comporte 6 pages.
Notations et objectifs

R désigne l'ensemble des nombres réels, CC désigne l'ensemble des nombres 
complexes. Pour '
À & C , on n0te ... le module de /1. ' ' '

cM»2 (©) désigne l'espace des matrices à deux lignes et à deux colonnes, à 
coefficients compleXcs.

M =(m,_j) étant une matrice à coefficients complexes, on note Ml: (Zi--,,) la 
matrice dont les

coefficients sont les conjugués des coefficients de M . La matrice transposée 
de M est notée
t
M .

Pour Me<:Mo' 2 1--10 2"01° Le problème porte sur l'étude de sous-ensembles de matrices de ch»2 (C) et conduit à définir, par (C) , on note det(M) le déterminant de M et tr(M ) la trace de M . On note ...des matrices de icM92 ((C) , des rotations d'un espace euclidien de dimension 3. Dans la première partie, on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel complexe °
I'll.l.3. En déduire que U appartient à 30611 si et seulement si U : (Z _ ] avec
» a

|al2 +|br =1.

a--Ë
bâ

III.2.1. Déterminer le polynôme caractéristique 1(À) : det(U --ÀI,) de U. En 
déduire

1112. Soit U =( ) , avec |a|2 +|b|2 =] une matrice de Îf°U.

qu'il existe un réel 9 tel que les valeurs propres de U sont ei" et e"9.

Etant donné une matrice U & ÎYGU , on admet que" U est semblable à une matrice 
diagonale D,,

avec une matrice de passage Pe ÏGU , c'est à dire qu'il existe 0 e R et PeÎf°U 
tels que
U : PD,,P'1 . La démonstration de ce résultat fera l'objet de la question IV.7 .

III.2.2. Vérifier que la matrice T définie àla question 1.3 appartient à Îf°U . 
Déterminer un

réel 9 et une matrice P appartenant à Ï6U , tels que T : PDÛP".

PARTIE IV

Rappel : E étant un espace euclidien orienté de dimension 3, rapporté à la base 
orthonorrnale
1 -- 0 O

directe (31,329 a, ) , 9 étant un réel, on note R,, = 0 cos9 --sin9 la matrice, 
relativement à
0 sin 9 cost?

cette base, de la rotation de E d'axe dirigé par le vecteur EUR, et dont une 
mesure de l'angle est le
réel 9. '

Onnote 6Û={AGJ"12(C) ; A:'Â et tr(A)=0}.

IV.1. Soit A: a C e°Û.
b d ,

a r +is

IV.1.1. Montrer que A eSt'de la forme A =( ) avec a, r, s réels. En déduire

r--ù --a

que GÜ est un espace ÿectoriel réel dont une base est formée par les matrices
1 0 0 1 0 i
E1 : , E2 : , E3 : .
0 --1 \ 1 0 ---i 0
1

IV.1.2. Montrer que l'application définie sur GÜX°Ü par : (A,B) +-->< A,B >=,--2--tr(AB)

définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel réel GÜ. En notant "A" = ,/< A,A > la

norme de A , exprimer "A"2 en fonction de det(A).

IV.1.3. Pour j et k appartenant à l'ensemble {l,2,3} , calculer les produits 
scalaires

< E j , E k >. Que peut--on en déduire '?

Dans la suite, on considère GU comme un espace euclidien, pour le produit 
scalaire défini

ci--dessus.

IV.2. Soit P e 50 GU . On note lP l'application définie sur 6Üpar : pour tout A 
& GÜ , lp (A) : PAP"1 .

IV.2.1. Montrer que l,, est un automorphisme orthogonal de l'espace euclidien 
CÜ (c'est-à-

dire un endomorphisme de OU qui conserve la norme).

IV.2.2. Soient P et Q dans ÔÛGU. Montrer que le produit PQ appartient à ÎYGU et

montrer que la composée [P 0 [Q vérifie le4 o [Q : [PQ.

Dans la suite, pour U & îf°U , on étudie les automorphisrhes [U de GU.

IV.3. Caractérisation de lDe'

IV.3.1. Pour j=1,2,3, exprimer lDa (Ej) dans labase (E1,EZ,E3).
IV.3.2. En déduire que ng est une_rotation de l'espace euclidien GU , dont on 
donnera un

vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle.

IV.4. Soit U eÎYGU. En utilisant le résultat admis dans III.2., déterminer une 
base orthonoimale
de l'espace euclidien %, relativement à laquelle la matrice de [U est une 
matrice de rotation.

Préciser un vecteur qui dirige l'axe et une mesure del'angle de cette rotation.

a--Ï5

IV.5. Soit U =(
b a

]eÎGU Ennotant a=p+iq, (p,q)eR2, onécrit U=p],+iH avec

HECN\92(C).

IV.5.1. Montrer que H appartient à GÜ.
IV.5.2. Déterminer lU (H).

IV.5.3. En notant b = r +is, (r,s) EUR RZ, déterminerparSes composantes 
relativement à la

base (E1 , E2 , E3 ) , un vecteur de l'axe de la rotation lU .

IV.6. On considère la rotation [T de CU, définie par la matrice de T -- de la 
question I.3 ; donner

un vecteur qui dirige l'axe et une mesure de l'angle de cette rotation.

IV.7 . Soit U e 30 Cu . Démonstration du résultat admis dans III.2.

IV.7.1 On suppose que U a une valeur propre double ; quelles sont les matrices U
possibles ?

IV.7.2 Dans le cas où U a deux valeurs propres distinctes, montrer que les sous 
espaces
pr0pres correspondants sont orthogonaux dans C2 . En déduire le résultat admis 
dans 1112.

Fin de l'énoncé.