CCINP Maths 2 PSI 2006

SESSION 2006 PSIM206

A

coucouas connus routecuuuouæs

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a 
été amené à prendre.

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Le sujet comporte 6 pages.

Notations :

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers naturels et
par @ l'ensemble des nombres rationnels. On note N l'ensemble N privé de O.

Etant donné un entier naturel non nul n , on note _[[l,n]] l'ensemble des 
entiers naturels k tels que
15k£n. »

Pour n entier naturel non nul, on note % ( R) (respectivement JÏ/(7nl( R)) 
l'espace vectoriel

n

des matrices carrées à n lignes (respectivement l'espace vectoriel des matrices 
colonnes a n lignes)
à coefficients dans R. '

Etant donné une matrice/1 , la notation A = (a.... ) signifie que au est le 
coefficient de la ligne i . et

' de la colonne j de la matrice A. _ ,
On note In la matrice unité de z/l/Ln (R) c'est-à-dire, telle que In : (a...) 
avec :
POur tout i , al.,, =] et pour tout i # j , ai_j : 0.
On note ], la matrice carrée de % (IR) dont tous les coefficients sont égaux à 
1 et K" la matrice

colonne de c/flp

n,l

(R) dont tous les cOefficients sont égaux'à 1.

L'espace vectoriel R" est rapporté à la base canonique (e1 , e2 ,..., en ).

Objectifs :

Le problème porte sur l'étude de matrices vérifiant une propriété (.73 ) .

Dans la partie 1, on fait établir des résultats sur une matrice particulière 
vérifiant la propriété (? ) .

La partie II conduit, à travers l'étude des matrices vérifiant la propriété (f 
), à caractériser ces

matrices à l'aide de matrices semblables.

Dans la partie III, on construit, à l'aide de produits scalaires, une matrice 
vérifiant la propriété ( Ï3 ) .

Les trois parties sont indépendantes les unes des autres.

PARTIE 1

01010
10100 ]
SoitM_=01001eJÎ/LS(R).
10001
00110

1.1. Calculer la matrice M 2.

1.2. Exprimer la matrice M 2 +M en fonction des matrices J5 et 15 .
1.3. Exprimer 1a matrice J52 en fonction de la matrice J5 .

1.4. Déduire des questions précédentes un polynôme annùlateur de M .
1.5. Quelles sont les valeurs pr0pres possibles de la matrice M ?_

1.6. Montrer que M possède une valeur propre entière (et une seule) ; 
déterminer cette valeur
propre entière ainsi que le sous--espace propre associé.

PARTIE II

Dans cette partie n et 5 s0nt des nombres entiers tels que 2 S 5 S n ----l .

On dit qu'une matrice M =(m...) & C/l/(7 (IR) vérifie la propriété (f ) 
lorsqu'elle vérifie les quatre

n

conditions suivantes :
( 1) M est symétrique

' (2) Pour tout i & [[l,n]], m.... = 0

(3) Chaque ligne de M comporte 5 coefficients égaux à 1 et
n ----- 5 coefficients égaux à O.

(4) Pour tout (i,_j)efll,n]] x [[l,n]] avec i # j, le coefficient mi,]. =O, si 
et
' seulement Si, il existe un entier k & [[l,n]] tel que ml.,k : mj,k :] .

L'entier k est alors unique.

On pourra utiliser sans justification une conséquence de la propriété (? ) :

sr mi,]. : 1 , alors pour tout entrer k & [[l,n]] on a le produit mi,kmj_k =
"

Soit M = (m...) & J"; (R). On suppose que la matrice M vérifie la propriété (? )

11.1. Expression deM2. On note M 2 = (a...)

II.1.1. Pour i e [[l,n]] , calculer les coefficients a...; v

II.1.2. Pour (i, j) e[[l,h]] x [[l,n]] avec i# j, déterminerle coefficient 
al.,). selon la valeur
de m...... '

II.1.3. Montrer que M 2 : J" --M + dIn où d eSt un nombre entier que l'on 
déterminera.

Dans la suite, on ' note , f (respectivement @) l'endomorphisme de R" , de 
matrice
M (respectivement de matrice J,; ), relativement à la basecanonique 
(e1,e2,...,en) de R" . On note

id l'endomorphisme identité de IR" .
Soit 0 le vecteur de R" dontla matrice colonne des'coordonnées relativement à 
la base canonique

de R" est Kn ..

11.2. Relation entre "n et 5.
11.2.1. Déterminer Im(ça) , l'image de l'application linéaire ça.
1122. Soit u un vecteur du noyau de f -- 5 id.

En calculant ( f 0 f ) (u), montrer que u est colinéaire à fu.

11.2.3. Montrer que 5 est une valeur propre de f et déterminer le sous-espace 
propre
correspondant.

11.2.4. Déduire des questions précédentes l'égalité n = 5 2 + 1.

11.3. Valeurs propres de f .

' Dans la suite de cette question 11.3,  est une valeur propre de f avec  # 5 
et

n
u : Z x,e, un vecteur propre de f associé àla valeur propre /1 .
.=1 . .

II.3.1. _ . Justifier l'affirmation : il existe une base de R" formée de 
vecteurs propres de f . ,
11.3.2. Justifier l'égalitéin : 0. Que vaut (p (u) '?
_ i=l

11.3.3. Montrer que it est racine de l'équation (E) : x2 + x +1 -- 5 = 0 .

11.3.4. On note a et b les deux racines de l'équation (E). On suppose qu'une 
seule de ces

racines est valeur propre de f , par exemple a. En utilisant la trace de
l'endomorphisme f , exprimer a en fonction de 5 . En déduire une impossibilité. 
-

Les deux racines a et b de l'équation (E) sont donc des valeuOEpropres de f . 
Dans la suite,

on suppose a > b.

11.4. Relations portant sur r , s, a,_ _b et 5 .

On note r la dimension du noyau de f -- a id et s la dimension du noyau de f 
--b id.

11.4.1. Exprimer (a ----b)2 en foncti0n de 5 .

_ _ 1
II.4.2. Exprimer le produit matriciel (î Î] (; * J en fonction de 5 .

11.43. En déduire ( r -- s)(a --b) en fonction de 5 .

11.4.4. Pour quelle valeur de 5 a-t--ori r =_s '? Que Valent alors r' et s ?

Dans la suite,, on caractérise la matrice M par une matrice diagonale semblable 
à M..

11.5. Premier cas. On suppose que a --b 65 Q . '

11.5.1. Montrer que r = s. En déduire 5 et n.

"11.5.2. Déterminer a et b et donner une matfice'diagonäe semblable à M .

11.6. . Deuxième cas. On suppose que a --b & Q .

, . ' m * . .
11.6.1. On écr1t a --b =------ avec m et q dans N . Montrer que tout nombre 
premier qui

']
divise q divise m . En déduire que a --b G N .

11.6.2. - Montrer que a -- b est un entier impair supérieur ou égal à 3. En 
notant a ----. b = 2 p +1

avec p EUR N°", exprimer 5 en fonction de p . En déduire a et b en fonction de 
p.

11.6.3. On note c=a--b. Montrer que .c divise (cz+3)(cz--S). En déduire que
ce{3,5,15}.

_ 11.6.4. Pour les différentes valeurs dec , donner le tableau des valeurs de 
5, n,a,b, r et s .

PARTIE III

On considère l'espace vectoriel euclidien R5 rapporté à la base orthonormale 
ÎJ' : (e,, e2 , e,, e,, es) .

On note (u |w) le produit scalaire de deux vecteurs u et w de RS .

On considère tous les vecteurs u, obtenus en ajoutant deux vecteurs distincts 
de ÏÎ :

u, =ea.+efl avec OL$B.

, III.1. Justifier que l'on définit ainsi 10 vecteurs u, .

On indexe les vecteurs u, de façon arbitraire : u,, i & [[l,10]].

III.2. Soit w un endomorphisme de R5 qui réalise une bijection de la base Î)' 
sur elle-même.

Montrer que pour tout (i,j) e[[l,lO]] x [1,10], on a (u,lu1) : (W("z)l'>"(%)) .

III.3. Calcul des produits scalaires (%l";)-

Ill.3.l. Pour ie [[l,10]], calculer (u, lu,).
Ill.3.2. . On suppose que u, : ea +efl et que u j : ea +e7 avec ,8 $ ;/ . 
Calculer (u, luj).

Ill.3.3. On suppose que u, : ea +efl et que u j = e, +6, avec les quatre 
indices_a , ,B , £;/,, & *

tous différents. Calculer(u, |uj) .

III.4. Soit A =(ai,.) avec a,]. =(u,luj).

]

III.4.1. Écrire une combinaison linéaire M de A, 110 et J10 susceptible de 
vérifier la

propriété ( ?) définie dans la partie II. _
III.4.2. Justifier que cette matrice .M vérifie la propriété ( Î )

Fin de l'énoncé.