CCINP Maths 2 PSI 2009

 

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SESSION 2009

' PSIM206

CONCOURS COMMUNS POlYÎECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance àla clarté, & la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'e'noncé, il le signalera sur sa copie et
devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 
'il a été amené à prendre.

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Le sujet comporte 5 pages.

Notations

On désigne par R l'ensemble des nombres réels, par N l'ensemble des nombres 
entiers
naturels et par N' l'ensemble N privé de 0.

Pour n dans N* , on note [[1,n]] l'ensemble des entiers k tels que 1 5 k 5 n .

Pour n dans N* , on note Sm" (IR) l'espace vectoriel réel des matrices carrées 
à n lignes et à
coefficients dans R . Etant donné une matrice A de 2mn (IR) , on note det(A) le 
déterminant de
la matriceA. La notation A = (a....) signifie que al.,]. est le coefficient de 
la ligne i et de la
colonne j de la matrice A. On note In la matrice diagonale de 9fin (R) dont 
tous les

coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Objectifs
On considère des endomorphismes autoadjoints dont la matrice, relativement à 
une base

orthonormale, est à coefficients tous positifs ou nuls. Avec une hypothèse 
supplémentaire sur
les coefficients de la matrice, on fait établir des propriétés sur les valeurs 
propres et sur les
vecteurs propres de ces endomorphismes.

La première partie est calculatoire et conduit à traiter un exemple des 
résultats généraux du
problème.

Dans la deuxième partie, on fait établir des propriétés des endomorphismes 
autoadjoints
particuliers que l'on étudie. La question Il.l porte sur l'étude de la norme 
subordonnée
d'applications linéaires ; les questions suivantes de la partie Il sont 
indépendantes des
résultats de la question 11.1.

Les deux parties sont indépendantes.

Dans tout le problème on désigne par n un entier de N * .

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Les résultats servant à résoudre une question et provenant d'une question 
précédente, devront
être justifiés par un renvoi à la question dont ils sont déduits.

PARTIE 1

1.1. Soit 9 un réel. On considère la suite réelle (xp) . définie par :

x1 = sin(9) ,
--2x1 cos(9) + x2 = O ,

pEN

et pour tout p 21, xp --2xp+1 cos(6')+xfi2 : O .
1.1.1. Déterminer x,. Pour tout p dans N°" expliciter xp en fonction de p et de 
9 .

1.1.2. Soit n dans N* , à quelle condition sur 6 a-t-on xn+1 : O ?

Pour ! réel, on note An (t) = (a...) la matrice de fm,, (R) telle que :

(l) pour tout i E [[l,n]] les coefficients de la diagonale sont a... : 2t;
(2) pour tout (i,j) EUR [[l,n]]x[[l,n]} tel que |i--jl : 1 , al.,]. =1;

(3) dans tous les autres cas al.,]. : O .

On note dn (t) : det(An (t)) .

1.2. Quelques valeurs de dn (t) .
1.2.1. Calculer d,(t) , d2(t), d3(t) , d4(t).

1.2.2. Pour n 2 3 , établir une relation entre dn (t) , a'n_1 (t) et dn_2(t) . 
En déduire que

dn est un polynôme ent, déterminer son degré ainsi que le coefficient du terme 
de
plus haut degré.

1.3. On suppose |t| < 1 et on note t= cos(9) avec 0 < 9 < 7r . sin((n + 1)9) 1.3.1. Montrer que dn (cos(9)) : _ sm(9) 1.3.2. Déterminer les valeurs de 9 pour lesquelles dn (cos(9)) : O . 1.4. On note xn (À) : det(An (O) -- Ain) le polynôme caractéristique de la matrice An (0) . 1.4.1. Exprimer xn (À) en fonction de dn et de À. 2/5 1.4.2. Déduire de 1.3.2. que la matrice An (0) possède n valeurs propres distinctes et donner ces valeurs propres. Montrer que la plus grande valeur propre est p=2cos(â). 1.4.3. En utilisant 1.1.2, déterminer un vecteur propre de la matrice An (0) associé àla valeur propre p = 2 COS (È), dont toutes les composantes sont strictement positives. PARTIE II On considère l'espace euclidien R" rapporté à une base orthonormale % : (el,...,en) . Étant donné deux vecteurs u et v de IR" , on note (u|v) leur produit scalaire et Nu" la norme du vecteur u . Pour tout sous--espace vectoriel F de R" , on note F ' l'orthogonal de F ; on ' l I _L admettra la propr1ete (Fi) : F . Onnote S={uER"/ l'ensemble des valeurs propres, réelles ou complexes, de f , c'est-à--dire le spectre de f . |u|| : l} . Pour tout endomorphisme f de R" , on note Sp( f ) II.]. Pour tout endomorphisme f de IR" , on note ||| f ...: sup || f (u)|| la norme subordonnée MS 1 àla norme euclidienne de IR" de l'endomorphisme f . II.1.1. Soit go un automorphisme orthogonal de R" . Calculer ||| go |||. II.1.2. Soit 5 l'endomorphisme de R" représenté dans la base % par la matrice diagonale diag(al,..., Oz"), dont les coefficients de la diagonale sont les oz, . Montrer wfiW...=müoe| iEUR|[l,n]| II.1.3. En déduire que lorsque f est un endomorphisme autoadj oint de R" on a lllflll = max |À| ÀEURSp(f) Les questions suivantes de la partie Il sont indépendantes de la question 11.1. Dans la suite du problème, on note 1 un endomorphisme autoadjoint de l'espace euclidien R" . 11.2. Propriété de la plus grande valeur propre de l . On note  
l'application de R" dans
R définie par : pour tout vecteur u de R" , (u) : (l(u)| u) .

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11.2.1. Montrer que (I) est une application continue de R" dans R. En déduire 
que la
restriction de l'application CD à l'ensemble S admet un maximum.

On note v un vecteur de S tel que (v) : maçx(u) . Dans la suite de la 
question 11.2, le
uEUR

vecteur v est fixé.

II.2.2. Soit u un vecteur de S orthogonal à v et soit t un réel.
v + lu

06

Déterminer un scalaire oz E R tel que w : appartienne à S .

En comparant (v) et (w) , montrer que (l(v)|u) : O .

En déduire que le vecteur v est un vecteur propre de l .

On note ,a la valeur propre de ] associée au vecteur propre v .

II.2.3. Soit À une valeur propre quelconque de l et soit x un vecteur de S qui 
est un
vecteur propre de l pour la valeur propre À .
Comparer (x) et À .

Déduire des résultats précédents que A _<_ p . On a donc montré que p = max A = max (u) et que si un vecteur v de S vérifie
ÀEURSp(l) ueS

(v) : max (u) , alors [(v) : pv.

uES

Dans la suite du problème, on suppose que la matrice A = (a....) de 
l'endomorphisme
autoadjoint !, relativement à la base orthonormale % , vérifie les deux 
conditions suivantes :
(l) pour tout(i,j)EURfll,n]xl{l,nfl, ona al.,]. 20 ;

(2) il n'existe pas de partition de l'ensemble [[l,n]} vérifiant [[l,n]] = 1 U 
J , 1 D J : çb avec
1 et J non vides et telle que pour tout (i, j) 6 I >< J , on ait C'...-- = O . Étant donné un vecteur x = E x,e, , on écrit x 2 0 (respectivement x > 0) si 
pour touti EUR [[1, n]] ,
i=l

on a x, 2 0 (respectivement x, > 0 ). On note x+ le vecteur x+ : le,|e, .
i=l

Dans la suite du problème, on note p = max À .
ÀESp(I)

11.3. Signe de p.

II.3.1. Soit x : Zx,e, un vecteur de R" . Exprimer (x) en fonction des 
scalaires

i=l

a... et x, . En déduire l'inégalité |(x)l g (x+) .

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11.3.2. Soitx = inel. un vecteur de S tel que p = <1>(x) . Montrer que p = 
<1>(x+). En
i=l

déduire que p 2 O .

11.4. Soit À une valeur propre quelconque de let soit x un vecteur de S tel que 
l (x) : Àx .

Montrer que |À| S p.

On a donc ,a = max|Àl .
ÀEURSp(l)

11.5. Soit x un vecteur de S tel que l (x) = px. Montrer que l(x+) = px+ , puis 
montrer que

x+ > 0 (pour montrer que x+ > O , on pourra raisonner par l'absurde et se 
souvenir que la
matrice A de l'endomorphisme ] vérifie la condition (Z)).

11.6. Soient x = inel. et y = 2 yiel. deux vecteurs non nuls tels que l (x) = 
px et l ( y) = p y .
i=l i=1

. . , x
J ustrfier que y1 = O . En cons1derant le vecteur z = x -- -----1-- y , montrer 
que le sous--espace

Y1
propre de ! associé àla valeur propre ,a est de dimension 1.

11.7. Soit x un vecteur propre de ] associé à une valeur propre À . On suppose 
x > O . Montrer
que A Z 0 . Montrer que A = p .

11.8. On suppose n 2 3 . Soit A = (a...) E 9fin (R) la matrice telle que
(l) a... = an,1=l ;
(2) pour tout (i,j) EUR [[l,n]]x[[l,n]} tel que |i--jl = 1 , al.,]. =1 ;

(3) dans tous les autres cas al.,]. = 0 .

Déduire des questions précédentes la plus grande valeur propre de la matrice A .

Fin de l'énoncé.

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