SESSION 2012
PSIM206
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
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MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.
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Tournez la page S.V.P.
R
n 2
Mn,1 (K)
C
C
n
K = R
K
n
ai,j
A
Mn (K)
j
A
(A)
A
SpC (A)
AX = X
In
A
X Mn,1 (C)
[[1, n]]
A = (ai,j ) Mn (R)
(2)
(A)
E (A)
A
Mn (K)
1kn
k
z
|z|
z
(1)
K
A = (ai,j )
t
A
K
i
A
pC (A)
Mn (K)
ST > 0
(i, j) [[1, n]] × [[1, n]], ai,j > 0,
n
X
i [[1, n]],
ai,j = 1.
j=1
ST > 0
Mn (R)
ST > 0
ST > 0
n=3
z = x + iy
T
O
|z| < 1 z (x, y) P (1), Q(j), R(j 2 ) D M (z) j=e M (z) 2i 3 T D x y P QR (P Q), (QR) (RP ) T x y 2x + 1 > 0, x - 3y - 1 < 0, x + 3y - 1 < 0 . M (x + iy) ST > 0
A = (ai,j ) M3 (R)
A
(A)
(A2 )
tr(A)
< 3tr(A2 ) u = (a1,1 , a2,2 , a3,3 ) 0 < || < 1 a R3 v = (1, 1, 1) 2a + 1 > 0
(a -
3b - 1)(a +
3b - 1) > 0 .
M ()
D
=
T
P QR
= rei
M ()
b
(A2 ) > a21,1 + a22,2 + a23,3
(A) > 0
2
A
= a + ib
0 0
A
=
0 1 0
J = 0 0 1
1 0 0
J2
J3
J
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A
P
2
J2
I3 , J
A = P(J)
A
A = (ai,j )
ST > 0
Mn (R)
1
U = Mn,1 (R)
1
AU
A
C
B = (bi,j ) Mn (C)
X=
x1
xn
Mn,1 (C) X 6= 0
(B) = 0
BX = 0
|bk,k |
X
k [[1, n]]
|xk | = max |xi |
i[[1,n]]
|bk,j | .
j6=k
SpC (A)
|ak,k - | 1 - ak,k
B = A - In
|| 1
k
SpC (A)
|ak,k - ei | 1 - ak,k
|| = 1
= ei
cos() = 1
R
1
t
1 SpC (A)
t
E1 (A) E1 (A)
v1
V = Mn,1 (C), V 6= 0
|vi |
vn
X
j[[1,n]]
aj,i |vj |
A - In
t
AV
=V
X
i[[1,n]]
|vi |
t
A
- In
i [[1, n]]
|V | =
V
|v1 |
|vn |
t
A|V
| = |V |
x1
y1
X= Y =
xn
i [[1, n]]
|vi | > 0
Mn,1 (C)
yn
x1
X- Y
y
1
1
=
t
E1 (A)
t
E1 (A)
t
E1 (A)
n
i [[1, n]]
n
X
i > 0
i = 1
i=1
n
X
i [[1, n]]
aj,i j = i
j=1
t
A
=
1
n
t
A
N : Mn,1 (C) R
X =
x1
xn
X
i |xi | .
Mn,1 (C), N (X) =
i[[1,n]]
Mn,1 (C)
N
N (AX) N (X)
SpC (A)
=
1
n
X =
x1
xn
X Mn,1 (C)
|| 1
: Mn,1 (C) C
n
X
i xi .
Mn,1 (C), (X) =
i=1
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()
X Mn,1 (C)
(AX) = (X)
Mn,1 (C) = E1 (A) Ker()
X E (A)
6= 1
A
X Ker()
