CCINP Maths 2 PSI 2013

SESSION 2013 PSIM206

__;=_ CONCOURS COMMUNS
-=- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :
Pour ce problème, on désigne par :
-- n un entier naturel non nul;
-- Mn (IR) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Pour toute matrice A E Mn (IR) , on note :
-- 'A la matrice transposée de A ;
-- det (A) le déterminant de A ;
-- sp (A) l'ensemble des valeurs propres de A.

On note Sn (IR) : {A E Mn (IR) \ IA : A} le sous-espace vectoriel de Mn (IR) 
formé des
matrices symétriques.

-- Un vecteur de IR" est noté :
331

332
33 : (OEk)lîkîn :

33n

-- Une matrice A de Mn (IR) est notée :

A : ((aj,k))1gj,kgn

où aj,lç est le coefficient de A situé en ligne j et colonne lc.

1/8

-- L'espace vectoriel IR" est muni du produit scalaire canonique défini par :
V(OE,y) EUR IR" >< R'". ("L' I 9) = 'ai-y = Zækyk k=1 et a: v--> Ha:H : \ / (a: \ a:) est la norme euclidienne associée.

-- La sphère unité de IR" est :
Qn={æeïæn \ HæH = 1}.

A toute matrice A E M,, (IR) , on associe la fonction q A : IR" --> IR définie 
par :
Va: EUR IR", qA(a:) : (Aa: \ 33).

Objectifs :
Dans la partie I, on étudie q A pour A E M,, (IR) , puis pour A E S,, (IR) et 
l'on définit une norme sur

S,, (IR) . La suite du problème est consacrée à une étude des matrices de 
Hilbert définies par :

1

H,, = ((aj,k))1gj,kîn' Où aj>k : j+k----l

On étudie en particulier quelques propriétés du déterminant, des valeurs 
propres et de l'intervalle

[min sp (H,,) , max sp (H,,)] lorsque n tend vers +oo.

Partie I

Une norme sur S,, (IR)

1.1 Soit A E M,. (n) .

1.1.1 Enoncer les propriétés de la sphère unité Q,, ainsi que celles de la 
fonction q A qui
permettent d'affirmer que q A est bornée sur Q,, et qu'elle atteint ses bornes.

On note mA : min (qA (Q,,)) et MA : max (qA (Q,,)) .

1.1.2 Démontrer que IR () sp (A) C [mA, MA] .

2 --1
1.1.3 Expliciter sp (A) , nm et MA lorsque A = 0 2 ) .

On pourra remarquer que 122 : {(cos (9) ,sin (H)) \ 9 EUR IR} .
1.2 Soit A E M,, (IR) . On suppose que qA (a:) = 0 pour tout a: E Q,,.

1.2.1 Montrer que q A (y) = 0 pour tout y EUR IR".

2/8

1.2.2 Si (y, 71) EUR IR" >< IR", exprimer q A (y + 71) (qui est nul d'après 1.2.1.) en fonction de  (A = (O) (matrice nulle))

1.4 Montrer que l'application N : S,, (IR) --> IR+ définie par :

VA EUR 5n(R)a N(A) = sup IqA(OE)I

oeEURQn

681 11116 11011116.

1.5 Bornes de q A sur Q,,

On rappelle le théorème spectral : étant donnée une matrice A E Sn (IR) , si on 
désigne par
u l'endomorphisme de IR" dont la matrice dans la base canonique de IR" est A, 
alors u étant
symétrique réel, il se diagonalise dans une base orthonormée, c'est-à-dire : il 
existe n nombres

réels Al 5 AZ 5 - - - 5 À;, 5 - - - 5 )... et une base orthonormée (6k)1îkîn de 
IR" tels que :
u (fig) : AEURk : Àk6k pour tout [EUR EUR {1,2, ' ' ' ,?"L} .

On considère A E S,, (IR) et on conserve les notations de ce théorème dans les 
questions 1.5.
1.5.1 Préciser qA (e;,) pour tout k E {l, 2, - -- ,n} .

'ÏL 'ÏL
1.5.2 Soit 33 : 23326], EUR Q,,. Justifier les égalités Ha:H2 : z (33%)2 = 1, 
puis exprimer
k=1 k=1
q A (a:) en fonction des valeurs propres À;, de A et des composantes az:ÿ_EUR 
de 33.

1.5.3 Retrouver le résultat obtenu en 1.1.1 : la fonction q A possède un 
minimum m A et un
maximum M A sur la sphère unité Q...

Expliciter m A et M A en fonction des valeurs propres de A.

1.5.4 Montrer que N (A) = sup \qA (a:)\ : Àma(>Â) ... . Etablir une inégalité 
entre Idet (A)I
æEURQn Esp
et (N (A))".

3/8

1.5.5 Exemple :

1 1
Si A = 2 , calculer det (A) et N (A) .

1

2

OJIr--t

Dans toute la suite du problème, pour tout entier n 2 2, on désigne par H n la 
matrice

de Hilbert d'ordre n définie par :

1 1
1 _ _

{ 2 n \
1 1 1
"7 + k _ 1 1533135" : -. : :
1 1 1

\ n n + 1 271 -- 1
1
ou encore Hn : ((ajvk))lîj,kîn avec aj,k : j+k----1'

Pour simplifier, on notera qn la fonction an : R" |--> R :

Va: EUR R", % (ff) = % (ff) = = ;(;j++1) ; --

...7 1 1Sj,kîn

(; ) (È )

où 75 est une variable réelle.

II.1.2 Développer :

4/8

II.1.3 Montrer que :
1 n 2
qn(a:) :] (Z oektkl) dt.
0 k=1

Va: E R", qn(a:) Z ()

II.1.4 Montrer que :

et que qn (a:) = () équivaut à a: = 0.

Que peut-on en déduire concernant les valeurs propres de H " '?

11.2 Une majoration de qn (a:)

II.2.1 Soit P (t) : Zaktk un polynôme à coefficients complexes. Montrer que :
k=0
1 77 _ .
/ P (75) dt : --fé/ P (ele) ezed9
--1 0

1 71" . .

(on pourra expliciter / tkdt et --i/ eZkeewd6).
--1 0

II.2.2 En gardant les notations introduites en 11.1 et en notant :

n
Q (t) = Zæktk--1
l--c=l
montrer que, pour tout a: E R'", on a :

O£qn(æ)--/01Q2(t)dtg/Oî 2d9

n
Ê :OEkez(k--l)9
k=l

l'inégalité étant stricte pour a: # 0 (on pourra utiliser les résultats obtenus 
en 11.1 et II.2.1).

II.2.3 Montrer que :
Va: E R", 0 £ qn (a:) S 7T Ha:H2

l'inégalité étant stricte pour a: # 0.

11.3 Application à sp (Hn)

Pour tout entier n 2 2, on note :

,un : min (sp (Hn)) et pn : max (sp (Hn)) .

5/8

II.3.1 Expliciter ,u2 et pg. Montrer que pour tout n 2 2, on a :

O +oo.
Partie III

Limite de (N (Hn))n22 grâce à une intégrale double
Dans cette partie, on utilise la relation :

1
W > O, arctan (t) + arctan (EUR) = %

et on suppose n 2 2.

111.1 Deux intégrales doubles

Pour tout entier n 2 2, on note :

n1x un] r --11N {LÆ

da:dy dudu
In _ et Jn : .
Dn\/æy (a:+y--1) Fnu2+v2

III.1.1 En utilisant le changement de variable (a:, y) : (cf, 19), montrer que :

In 2 4j".

III.1.2 On note :
\/5 fi 1
Kn =/ Mdr}: et Ln =/ -- arctan< 1 1 33 33 ) dæ. ä|ë@ Montrer que Jn : Kn -- Ln. 6/8 III.2 Un équivalent de J ,, III.2.1 En majorant arctan (t) , montrer que : O--l--oo

111.2.3 En déduire que J,, ... Î1n (n).

n-->--l--oo

III.3 Limite de N (H,,). On utilise les notations et les résultats de la partie 
II.

On note & l'élément de R" :

âIH ...

ä|...

III.3.1 Montrer que HaH2 S 1 + ln (n) .
III.3.2 Montrer que 4Jn £ q,, (a) .

III.3.3 En déduire la limite de N (H,,) lorsque n --> +oo.

Partie IV

Sur le déterminant de H ,,

H ,, désigne toujours la matrice de Hilbert d'ordre n, pour n 2 2.

IV.1 Une fraction rationnelle

H (à? -- 16)
On considère la fraction rationnelle R,, (a:) : 'Î1 .

H (a: + k)

k=0
On admettra qu'il existe des réels )...)... À..., - - - , A,... tels que :

n Àk,n
VOEER\{Oa_17"' a_n}a Rn(æ) =Z (OE--l--IÇ)
k=0

cette décomposition (en éléments simples) de R,, étant unique.
a l'aide de (Zn)! et de n!

Exprimer le coefficient A,... de
33

7/8

IV.2 Matrice An

Pour n 2 2, on cons1dere la matr1ce An defin1e par An : ((aj'k))1îj,kîn avec :

pourlîkîn--l, 1£jîn

ajk : j+ k -- 1
Rn_1(j) POurk=n, 1 E.? Sn
n--1
(a: -- 16)
ou Rn_1(æ) _ ÎÎÎ .
(a: + k)
k=0

IV.2.1 Montrer que, pour tout z' compris entre 1 et n, on a :

Rn_1(î) : Z Àj--1,n--1hi,ja
j=1

2 -- 1
puis en déduire que det (An) : ( (n 1 )) det (Hn) .
n _
d t Hn_
IV.2.2 Montrer que det (An) : e ( 2 (n1)-- 1) .
(Zn -- 1) ( n _ 1 )

En déduire l'expression de det (Hn) en fonction de det (Hn_1) .

1
IV.2.3 Montrer, pour tout n 2 2, que det (Hn) # 0, puis que _ E N*.

det (Hn)

IV.3 Calcul de det (H n)

n
En notant, pour tout n E N*, <1>n : Hk! montrer que :
k=1

Vn Z 2, det (Hn) :

Fin de l'énoncé

8/8

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