CCINP Maths 2 PSI 2014

SESSION 2014 PSIM206

.::=_ CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 4 pages.

Notations :

0 N désigne l'ensemble des entiers naturels et R celui des nombres réels. Pour 
tout entier n E N,

on note [[0, n]] l'ensemble {p E N; 0 S p 5 n}.
0 On note R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
. Pour tout entier n, R,, {X] est l'espace vectoriel des polynômes de degré 
inférieur ou égal à n.
. M,, (IR) désigne l'ensemble des matrices n >< n à coefficients réels. Pour tout polynôme P E R[X], on note encore P la fonction polynomiale associée définie sur R. On rappelle qu'un polynôme P est dit unitaire si le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1. Objectifs : on se propose d'étudier une famille de polynômes et leurs racines. Dans une première partie, on introduit une famille de polynômes (Pn) vecteurs propres d'un endomorphisme de R,,[X]. L'objet de la seconde partie est l'étude, dans un cas particulier, d'une famille de polynômes orthogo- naux. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les valeurs propres d'une matrice pour démontrer une propriété des racines de ces polynômes. 1/4 Partie I Etude d'un endomorphisme Dans cette partie, on pose : A(X) = X2 -- 1 , B(X) = 2X. 1.1 Une application linéaire On considère l'application  : R]X ] --> R]X ] définie par :

c1>(P) : AP" + BP'.

1.1.1 Montrer que, pour tout entier n, la restriction, notée (I)" de (I) à Rn 
]X ], définit un

endomorphisme de Rn ]X ]

1.1.2 Montrer brièvement que :
1
(RQ%+OEÆWî/POEQOEfi

--1

définit un produit scalaire sur R]X ] Vérifier que {XP, Q) = {P, X Q).
1.2 Une base de vecteurs propres

1.2.1 Soient P et Q deux polynômes. Déterminer deux polynômes U et V tels que :
1
@fiäQ%äR®@fi=/ÏM@U@+AfiWfififi-

--1

En déduire que pour tout entier n, l'endomorphisme (I)" est auto-adj oint.

1.2.2 Ecrire la matrice de Cl)" : Rn ]X ] --> Rn ]X ] dans la base canonique 
{1,X, - - - , X "} et

en déduire les valeurs propres de ©...

1.2.3 Montrer qu'il existe une base (PO, - - - , Pn) de Rn ]X ] formée de 
vecteurs propres de

(I)" unitaires tels que deg Pk : [EUR pour tout k EUR ]]0, n]].

1.2.4 Montrer que si z' # k alors {P.--, P,.) = 0. En déduire que Pn est dans 
l'orthogonal de
Rn_1]X ]

1.2.5 Expliciter les polynômes P0, P1, P2 et P3, puis déterminer leurs racines.

2/4

Partie II

Etude des racines de ces polynômes

II.1 Une relation de récurrence Soit n 2 2 un entier.

Justifier l'existence d'un réel )... tel que :

Pn _ XPn_1 + ÀnPn--1 : Sn EUR Rn_2]X].

II.2 Dans cette question, on suppose n 2 3
En calculant  0, tels que 
:
Pn : (X _ Àn)Pn--1 _ NnPn--2-

Calculer de façon directe À2, ,u2, À3 et ,LL3.

II.4 Montrer que pour tout entier k E N *, on a :
1
/ P,,(t)dt : o.
--1

En déduire que P,, admet au moins une racine d'ordre impair dans ] -- 1, 1].

11.5 Soient 331, - - - ,a:;,, les racines distinctes d'ordre impair de F,, dans 
] -- 1, 1] et soit Q le

polynôme HÎ(X -- $,). En considérant Q - P... montrer que P,, a n racines 
simples dans ] -- 1, 1]

1
(on pourra raisonner par l'absurde et calculer / Q(t)Pn(t) dt en supposant [EUR 
< n). --1 Partie III Etude d'une matrice III.1 Etude d'un déterminant Pour tout entier n > 0, on considère la matrice :

{ @ Æ () () () \

Æ & Æ 0 0
)\

Mn-- 0 Æ 3 0 0 GM,,(R).

3/4

III.1.1 On pose QO(X) : l et, pour tout entier n > O, Qn(X) : det(Xln -- Mn). 
Calculer
Q1(X). Exprimer Qn(X) en fonction de Qn_1(X) et de Qn_2(X) pour n = 2 et pour n 
= 3.

III.1.2 Déterminer, pour tout entier n 2 3, une relation entre Qn (X ), Qn_1 (X 
) et Qn_2 (X).

III.1.3 En déduire que toutes les racines de Pn sont réelles (résultat déjà 
démontré en 11.5).

111.2 Valeurs propres de Mn On considère Mn comme la matrice d'un endomorphisme 
u
de R", muni du produit scalaire usuel (noté (a:, y) v--> (a: \ y)), dans la 
base canonique. On
note 041 S 042 £ - - - £ ozn_1 5 04... les valeurs propres de Mn et (61,62, - - 
- ,en_1, en) une

base orthonormée de vecteurs propres de M... tels que u(ei) : aie).

III.2.1 Soit E- le sous-espace vectoriel de R" engendré par (61,62, - - - ,ei). 
Montrer que

sur la sphère unité de E, l'application a: v-->