Centrale Maths 1 PSI 2004

 

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Notations, définitions

Si I est un intervalle, F une application de I dans I , n un élément de ]N* , on
pose F" : Fo oF (composé de n fois F) ;on convient que F0 = Id]. Si I et J
sont deux intervalles de IR et F une application de I dans J , on dit que F est
un C1 -difféomorphisme de I sur J si et seulement si F est une bijection de
classe C1 de I sur J dont la réciproque est elle aussi de classe C1 . On 
rappelle
que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe C1 , 
que la déri-
vée F' de F ne s'annule pas sur I, et que F(I) : J.

On désignera par 8 l'ensemble des couples (I, f) où 1 est un intervalle de ]R de
la forme [O, r] avec r > O et f une application de classe C°° de I dans lui-même

vérifiant :

i) f (0) = 0,

ii) Vx EUR I\{O} , f(x) 0.
Si (1, f) et (J, g) sont dans 8 , on dit que (I, f) et (J, g) sont conjugués 
si, et seu-
lement si, existent deux réels r et r' dans IR+* tels que [O, r] CI , [O, r' ] 
CJ et
un C1 -difféomorphisme croissant h de [O, r] sur [O, r '] tel que :

VyEUR[0,r'], g(y) = hofoh"'...

Objectif du problème

Le but du problème est de prouver que si ?» est dans ]0, l] , alors deux 
éléments

quelconques de 8;, sont conjugués puis d'étudier le problème de la conjugaison
dans 81 .

Dépendance des parties

Le résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et 
III sont
formellement indépendantes, mais certaines questions de la partie III se trai--
tent sur le modèle de questions de la partie Il ; elles sont explicitement 
signalées
dans l'énoncé.

Partie I - Préliminaires
I.A- Soit (I, f ) et (Lg) deux éléments conjugués de 8. Montrer que
f'(0) = g'(0).

I.B - Soit f une application de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], f) 
appar--
tienne à EUR .

I.B.1) Montrer que f'(0) est dans ]0, 1].

I.B.2) Montrer que la suite de fonctions ( f ")n 21 converge simplement vers 0
sur [O, 1].

I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme.

I.C - Soit (un)" 2 0-- une suite de réels strictement positifs. On suppose que 
la série
de terme général an : un -- 1 converge absolument et on pose, si n EUR IN :

n
Pn : Huk.
k=0

En considérant la série de terme général (lnPn +1 --lnPn) , montrer que la suite
(Pn) converge vers un réel strictement positif.

LD - Soit I un intervalle de IR et ('l'n)n z 0 une suite de fonctions de I dans 
IR+* .
On suppose que la série de fonctions de terme général 'Pn : q>n -- 1 converge 
nor--
malement sur I . On pose, si n E ]N :

Qn= ......
k=0

Montrer que la suite de fonctions (Qn)
une fonction à valeurs dans IR+* .

n 2 0 converge uniformément sur 1 vers

Partie II - Conjugaison d'éléments de 8 localement
contractants

Soient )» dans ]0, 1] et f une application de [O, 1] dans lui-même telle que
([0, 1], f) appartienne à 8;,. Soit, pour n EUR IN :

n
u,, = î_.
Soit enfin hx l'application de [O, 1] dans [O, 1] définie par :
VxE[O,1],hÀ(x) = Àx.

II.A-Si nEll\Ï,calculer unof--hkoun+l.

II.B -
II.B.1) Montrer qu'il existe a > 0 tel que >» + a < 1 et (>» + a)2 < )... II.B.2) Montrer qu'il existe a dans ]0, 1] tel que : VxE[0,a], f(x) s(X+s)x. II.C - ' . II.C.1) Montrer qu'il existe C 2 0 tel que : Vx e[o,1], lf(x)--Àxls Cx2. II.C.2) Montrer qu'il existe no EUR IN tel que : Vnzn0, VxE[O, 1], fn(x)E[0,a]. II.C.3) Pour nano et xE[O,1], majorer |un+l(x)--un(x)l et prouver que la suite de fonctions (un)n20 converge uniformément sur [0,1]. Sa limite sera notée u. II.D - II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général u ! ; +,1 -- 1 converge normalement sur [O, 1]. n II.B.2) En déduire que u est un C1 -difféomorphisme de [O, 1] sur son image. ILE - Conclure que ([0, 1], f) et ([O, 1], hx) sont conjugués. Partie III - Conjugaison des éléments de 8 tangents à l'identité On note 8Î l'ensemble des éléments (I, f) de 81 tels que l'ensemble {kEN*,f(k+l)(0)=æ0} soit non vide. Pour (I,f) dans 8Î, on note v( f ) : min{k E N *, f (k +1)(O) : O} . La formule de Taylor--Young donne alors : (V(f)+ 1) quand x---->O, f(x) : x--axv(f)+l+o(xv(f)+l) avec a : Î{Tf)__+l)(?)°
HLA -
III.A.1) Pour q dans IN* , soit Oq la fonction définie sur [O, 1] par :
x
VxEUR[0,l],9q(x)= q 1/q'
(1 +x )

Montrer que ([0, 1],Oq) est dans 8Î , préciser v(Oq).

Dans la suite de HLA, on considère une fonction f de [O, 1] dans [O, 1] telle 
que
([0, 1], f) appartienne à 81* et on pose q : v(f) puis :

III.A.2)
a) Vérifier que a est strictement positif.

b) Si (Lg) appartient à 8 et est conjugué à ([O, 1], f), vérifier que (Lg) est
aussi dans 8Î avec v(g) : q.

III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu'il existe k dans {2, 3, q} et b dans
IR* tels que

q+ q+k q+k)

quandx-->O,f(x)=x--ax 1+bx +o(x

Soit [5 un nombre réel et h la fonction définie sur IR+ par :

VxEIR+, h(x) : x+[3xk.
a) Montrer qu'il existe r et r' dans IR+* tels que h induise un C1 -difféomor--
phisme de [O, r] sur [O, r'].

Dans la suite de III.A.3, les réels r et r' sont ainsi choisis et on note h"1 
le dif-
féomorphisme réciproque dela restriction de h à [O, r].

b) Établir :quand y-->O, h_l(y) : y--Byk+o(yk).

0) Déterminer les développements limités à l'ordre q + k en 0 de x |--> h o f(x)
puis de yr--> h ofoh"(y) .

III.A.4) De ce qui précède déduire l'existence d'un réel E et d'un couple (I, g)
de 8Î conjugué à ([0, 1], f) et tels que :

q+l
y

q

2q+1 2q+l)

+Ey

quandy-->O,g(y) = y-- +O(y

III.B - Dans cette section III.B, q est un entier strictement positif, E est un
nombre réel et g une application de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], g)
appartienne à 8Î et que :

q+l
y

EUR]
sur ]0, 1] par:

2q+1 2q+1)

+Ey

quand y -*0, EUR... = y-- +O(y

On définit une application 1:q
VyEUR]o, 1] , rq(y) = l.

yq

Donc 1:q est un C1 -difféomorphisme de ]O, 1] sur [1, + oo [ ; on ne demande pas
_1

de le vérifier. Soit enfin G : 'cq o g 017q .

III.B.1)

. _1
a) Identifier Tq : 17q oeq 01:

q .
b) Quelles propriétés de G déduit--on des propriétés ii) et iii) du début de
l'énoncé ?

c) Déterminer un nombre réel R tel que :

_ R 1
quandx-->+cc,G(x) _ x+l+î+O 0 tel que :

Vnzn... VxE[l,+oe [, |un+l(x)--un(x)|s%.

En déduire que pour tout X z 1 il existe un réel strictement positif K tel que :
Vn 2 no, Vx E[l, X] , |un(x)| s Klnn .

c) Pour tous n entier naturel strictement positif et x réel supérieur ou égal à
1 , on pose : un(x) : un(x)--Rlnn , où R est la constante définie au III.B.l-c).
Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions (vn)nzû
converge vers une fonction v et que cette convergence est uniforme sur tout 
seg--
ment inclus dans [1,+ oo [.

d) Si x z 1 , vérifier que v oG(x) : v(x) + 1.
III.B.3)
a) Montrer que :

quand x-->+ oo, G'(x) : 1+O(%) .

x

b) Montrer que lim v(x) : +00 et, en procédant comme en II.D.1), prouver que

x--->+oo

v est un C1 -difféomorphisme de [1,+ oo [ sur son image.

III.BA)

a) Montrer que v'(x) --> 1 quand x --> + oo.

b) Conclure, si f est une fonction de [O, 1] dans lui-même telle que ([0, 1], 
f) soit
dans 81* et v(f) : q , que ([0, 1], f) est conjugué à ([0,1],6q).

III.C - Soit (wn)n 2 0 la suite définie par :

wo : % et VnElN, wn+1 : sh(sin(wn)).

III.C.1)

a) Utiliser ce qui précède pour montrer que wn admet un équivalent du type 3--

a
avec a et a réels. Déterminer oc. n

b) Montrer qu'il existe des nombres réels b et c tels que :

w -- a + b +clnn+O 1
n'" a 3a Sa Sa '
n n n n

III.C.Z) Établir un programme permettant de calculer a, b,c (on utilisera le
langage de programmation associé au logiciel de calcul formel).

ooo FIN ooo