_OEn_ e.........___... _ _ OEMDÛF<ÊwIF (l + x2) ex .
I.B - On considère l'équation différentielle :
(E) y'--xy : (1+x2) ex2/2.
I.B.1) Donner la solution générale de l'équation (E).
On désigne par f la solution de (E) vérifiant la condition initiale f (0) = 1 .
I.B.2) Donner l'expression de f. Montrer que f(x) s'annule pour une seule
valeur réelle de x, notée (1.
LES) On se propose de calculer une valeur approchée de a par la méthode
de Newton. '"
a) Déterminer préalablement un intervalle [a], a2] de longueur 0,1 contenant
on . Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut
l'appliquer à partir de l'intervalle [al, a2] .
b) Écrire un algorithme, mettant en oeuvre la méthode de Newton, permettant
de déterminer une valeur approchée de a à 10"6 près. On utilisera le langage de
programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.
0) Déterminer par l'algorithme mis en place une valeur approchée de a à 10"6
près.
-- Partie II -
II.A -
II.A.1) Calculer I1 .
II.A.2) Trouver une relation entre I p et I
ILB -
II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel le, il existe une constante kk et
un polynôme A k tels que :
p_2,pourpz2.
2
Vx & IR, 12k +1(x) : kk + e'x /2Ak(x) .
II.B.2) Déterminer kk et Ak.
II.C - '
II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel k, il existe une constante Mk et
un polynôme B k tels que :
2
Vx & IR, 12k(x) : ukIO(x) + e'x /sz(x) .
II.C.2) Déterminer "le et le degré de Bk.
ILD -
II.D.1) Si le degré de P est égal à n, que peut-on dire du degré du polynôme :
1 + P'(X) _ xP(X) ?
--x2/2
II.D.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P tel que Ïo(x) + P(x) e soit
une constante.
Partie III -
Soit o @ ?
III.B.2) Résoudre l'équation différentielle : y" --2xy' + (x2-- 1)y : 0.
111.0 - On pose par convention " = 4>n_104> = 4>Od>
III.C.1) Résoudre qf(f) : O.
III.C.2) Résoudre $"(f) : O.
n--l
Partie IV -
Soit % l'application linéaire de IR[X ] dans lui--même définie par :
VPE ÏR[X], %(P) = 4>(P)-
IV.A -' % est-elle injective ? surjective ?
IV.B - _
IV.B.1) Montrer que pour tout n entier naturel, X 2" H E %(IR[X ]) .
IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à q>O(IR[X ]) .
IV.C - Pour tout q, entier strictement positif, on définit le polynôme Q q :
Qq(X) = X2q--(2q-- 1)X2q_2.
IV.C.1) Déterminer un polynôme P tel que QQ : q>O(P).
On désigne par @ le sous-espace vectoriel de IR[X ] engendré par la famille
{Qq | q E 1N*} --
IV.C.2) °Montrer que pour tout entier naturel non nul q, le polynôme X 2q -- u
q
est élément de @ .
Qk(X) _ X2k X2k_2
"k Mk ."k--1 .
On pourra remarquer que :
IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels Vect(X , X 3 , ..., X 2"+ 1,
...) et 95
sont en somme directe.
IV.C.4) Montrer que Im(%) : Vect(X,X3, ...,in+ 1, ...) ®ÿ.
Partie V -
On considère l'équation différentielle :
2
(1)y'--xy = (1+x2)ex
et on définit la fonction H : IR --> IR par :
2
H(x) : fx(l+t2)et "dt.
0 .
V.A - Donner la solution générale de l'équation (l) (l'expression de cette solu-
tion utilise la fonction H ).
V.B - Déterminer une fonction g, impaire, développable en série entière et
solu--
tion de l'équation (1). Quel est le rayon de convergence de son développement
en série entière ? '
V.C - À l'aide des questions précédentes calculer :
2
fx(1 + t2)et / 2dt .
0
oo. FIN ooo
