Centrale Maths 1 PSI 2006

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OEËN uoeäQ:OE - &OEÈoeO mÈoocoü

Notations et définitions

R2 est muni de la norme H(oe,y)ll : \/æ2 + y2.

On note C (R+, R) l'ensemble des fonctions continues de R+ dans R et L1 
l'ensemble

+oo
des fonctions f E C(R+,R) intégrables sur R+. Si f E L', on pose ||fH1 : / |f|.
()

On note 8 l'ensemble des fonctions f E C(R+,R) bornées sur R+. Si f E B, on

9086 ||fHoo = sup |fl--
R+

Si 07 EUR [1,+oo[, on convient que 0" = 0; ainsi 1% EUR R+ l--> ta est continue.

1
1+t°'

+oo
On pose, lorsque cela a un sens, I(oz) : / dt.
0

Soit (EO) une équation différentielle linéaire homogène du second ordre de la 
forme
zfl+aÿ+by=0 ,

où a et b sont dans C (RÏR) ; a toute fonction h EUR C_(R+, R.), on associe 
l'équation

différentielle (Eh) dont h est le second membre : y" + ay' --I-- by : h.

Par définition, une solution de (Eh) (resp. (E0)) est une fonction de R+ dans R 
de la
variable t de classe 62 vérifiant l'équation (Eh) (resp. EO). On définit les 
propriétés
de stabilité suivantes :

. on dira que (EO) est stable par rapport aux conditions initiales si et
seulement si pour tout 8 EUR lR* , il existe 77 EUR Ri tel que si f est une 
solution de

(E0) vérifiant H(f(0),f'(0))|l < 77, alors f E B et llf||OO < 5. . on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout 8 EUR Rï, il existe 77 EUR Rï tel que si h E L1 est tel que ||hl|1 < 77 et f est une solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), alors fEURBet Hf||OO <5. 0 on dira que (EO) est stable par rapport au second membre au sens 00 si et seulement si pour tout 8 E là:... il existe 77 EUR Ri tel que si h E B est tel que ||hHOO < 77 et f est solution de (Eh) vérifiant (f(0), f'(0)) = (0,0), alors f E B et llf|loe < 6- Soit oz EUR [1,+oo[ et h EUR C(lR+, R). On note EG,}, l'équation différentielle linéaire : 1 Bd : " -- ( "" y 1 + ta Par définition, une solution de (Euh) est une fonction de R+ dans R de la variable t de classe C2 vérifiant (Ea,h). ÿ+y=h Pour l'équation homogène associée, notée (E...), . on dira que (Emo) est stable par rapport au paramètre si et seulement si pour tout (a, b) E R2 et pour tout 5 E R* , il existe 77 EUR R*+ tel que : si fi EUR [1,+oo[ vérifie la -- fi| < 77, f est solution de (Emo) et g est solu-- tion de (Egg) avec (f(0),f'(0)) = (g(0),g'(0)) = (a,b), alors f ---.g E B et "f _ glloo < 5- Objectifs et dépendance des parties L'objectif du problème est d'étudier le comportement des solutions de (Ea,0) vers +00, ainsi que les différentes notions de stabilité. La partie I étudie le cas de l'équation << limité à l'infini >> y" + y = h.

La partie II, indépendante de I, étudie le comportement à l'infini des 
solutions de
(EC...) pour a > 1.

La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour a > 1, utilise des 
résultats
de II.A, II.C et L5.

La partie IV, qui étudie le comportement à l'infini des solutions de (E...), 
utilise
II.B.

La partie V, qui étudie les problèmes de stabilité pour a = 1, utilise les 
parties IV
et II.

Partie I -- Étude de l'équation y" + y = h

Si h EUR C(R+,R), on note (Fh) l'équation différentielle y" + y = h. Par 
définition,
une solution de (F h) est une fonction de classe C2 de R+ dans R vérifiant (Fh).

I.A - Exemples
I.A.1) Donner l'ensemble des solutions de (F0).

l.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour h : t r----> cos (t).

Donner l'ensemble des solutions de (F h) dans ce cas.

LAB) Dans cette question uniquement, on prend pour h la fonction 27r--périodique
sur R+, définie par

__ sin (75) si t E {O,7r]
h (] h(u)sin(t --u)du) est
0

solution de (F h), et en déduire l'ensemble des solutions de (F h).

I.D -- Stabilité par rapport au second membre au sens 1

On donne & EUR L1. '

Déterminer la solution f de (Fh) vérifiant (f(0), f'(0)) : (0,0), montrer que f 
E B,
et ||f|loo < llhll1-- En déduire que (Fo) est stable par rapport au second membre au sens 1. LE - Instabilité par rapport au second membre au sens oo Soit 5 EUR Ri. Résoudre l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t), et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisement, ne sont pas en o(t)_quand t --++oo. En déduire la non stabilité de (F0) par rapport au second membre au sens oo. Partie II - Comportement & l'infini des solutions de (Ea,0) pour 04 > 1

II.A -- Démontrer l'existence de [(a), pour a > 1, et sa continuité par rapport 
a &.

II.B - Relèvement angulaire
On donne g : R+ --> C* de classe Ck, [EUR > 1.

/

II.B.1) Justifier l'existence d'une primitive A de ÿ_) et montrer que ge--
g .

A est

constante.

II.B.2) En écrivant la fonction A sous la forme A = U + iV, où U et V sont des
fonctions à valeurs réelles, justifier qu'existent 7" EUR Ck(R+, Ri) et 9 EUR 
C'" (R+, R) tels
que g : rei9_

II.C -- Comportement à l'infini poura > 1

1
1 + ta°
II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu'existent fr EUR Cl(lR+, Ri) et 6 EUR 
C1(R+,R)
tels que f : rcos(9) et f' : rsin(9).
Exprimer ?" en fonction de f et f' .

Soit & > 1 et f une solution_non nulle de» (Ea,0)- On note q : t EUR R+ i-->

Les fonctions 7" et 9 sont fixées ainsi pour la suite de la partie.

II.C.3

II.C.4) Démontrer que 7' a une limite strictement positive en +00 vérifiant

ärg 7" < 7°(0) exp(I(a)). Démontrer que f et ]" sont bornées par ||(f(0), f'(0))|| exp(l(a)). II.C.5) Démontrer que 9(t) +t tend vers une limite réelle quand t --+ +00. II.C.6) Démontrer qu'existent & EUR Ri et b EUR R tels que f(t) -- acos(t + Z)) ------> O.

t---->+oo

II.C.2) Démontrer que 6' = --1 + qsin(c9) cos(9). . (1)
)

Démontrer que T' : qr sin2(9). (2)

II.C.7) Tracer l'allure du graphe de f vers +00.

Partie III -- Étude de la stabilité pour a > 1

Dans toute la partie, oz > 1, et (f1,f2) est un système fondamental de 
solutions de

- __ f1 f2-
(Ea=°'e'w-- fi fé

On pensera & utiliser les résultats de II.

est le wronskien associé.

III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales

Démontrer que (Emo) est stable par rapport aux conditions initiales.

III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

III.B.1) Déterminer une équation différentielle linaire vérifiée par 21) et 
montrer
qu'existent @, b réels tels que pour tout t E R+, 0 < a { |w(t)l < b. III.B.2) Si h E C (RÏR), montrer que les solutions de (EO...) sont les fonctions du h la type f = --C1 f1 + C2f2, où C1 est une primitive de % et C2 une primitive de --£1 III.B.3) Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur 01 et C2 dans la question précédente pour avoir ( f (0), f'(0)) = (O, O) ? III.B.4) Démontrer l'existence de C EUR R+ telle que : pour tout h EUR L1, la solution f de (EGM) vérifiant (f(0),f'(0)) : (0,0) est dans B, et ||fHOO < C||h||1. En déduire que (Ea,o) est stable par rapport au second membre au sens 1. III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens oo On fixe 5 EUR Rj_. Soit g une solution de l'équation différentielle y" + y = 6 cos(t). 1 Soit f la solution sur R+ de l'équation différentielle y" -- 1 + ta telle que (f(0), f'(0)) = (0,0). Onpose O.

t------>+oo
t
IH.C.2) Démontrer que h(t)t--+--> O implique que] ]hlt Î o(t).
III.C.3) En utilisant la résolution de (EO...) vue en III.B, montrer que ®(t) : 
0(t).

t--++oo

III.C.4) Démontrer que (E...g) n'est pas stable par rapport au second membre au
sens 00.

III.D - Stabilité par rapport au paramètre

On fixe pour la suite de la question (a, I)) E R2.

Soit 5 e]1, +oo[.

Soit f la solution de (Ea,0) vérifiant (f(0), f'(O)) : (a, b) et g la solution 
de (Egg)
vérifiant (g(0),g'(0)) : (a, b).

Onposel, on pose J(À)=/ 1 dt et K(À)=/ dt.
0 1

Comme pour I, les fonctions ] et-- K sont bien définies et continues sur ]1, 
+oo[ (on
ne demande pas de le montrer).

III.D.1) Démontrer que (I) est une solution de l'équation difi°érentielle 
(Ea,h) avec

h:t1-->( 1 -- 1 )g'(t) .

1+tû 1+t5

III.D.2) Démontrer que il E L1 et
llhlll < H (1J -- J(fl)l + |K -- Kw»).

III.D.3) Démontrer que (Emo) est stable par rapport au paramètre.

Partie IV - Étude du comportement vers +00
pour a = 1 '

f est une solution non nulle de (E...).
f @)
vt 1
3

IV.A - Établir que pour tout t > O, g"(t) + (1 --- W) g(t) : O.

OnposegztEURR+l--+

IV.B - Démontrer qu'existent p EUR C1(R+,Rï) et fi EUR C1(R+,R) telles que
9 = pCOS(Û) et 9' = psin(fi>-

IV.C - Déterminer une équation différentielle vérifiée par fi et montrer que 5 
(t) +t
tend vers une limite réelle lorsque t ----> +00.

IV.B - Déterminer une équation différentielle vérifiée par p, et démontrer que p
tend vers une limite réelle a > 0 en +oo.

IV.E -- Démontrer qu'il existe un réel b tel que f(t) -- a tcos(t + 17) t î 
0(\/Ï), où

a est le réel défini ci--dessus.

IV.F -- Tracer l'allure du graphe de f vers +oo.

Partie V - Étude de la stabilité pour a = 1

V.A - Démontrer que (ELO) n'est stable ni par rapport aux conditions initiales 
ni
par rapport au paramètre.

1
V.B - Si A E R, et f,\ : t r----> Àt sin(t), calculer "(t) -- '

Qu'en déduire concernant la stabilité de (E...) par rapport au second membre au
sens oo ?

oooFINooo