Centrale Maths 1 PSI 2008

- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente : Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion precise des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon pour a fixe ? S (z) = I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la variable complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . Autrement dit : I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n. verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n . n : vn = un + k I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne (on ne cherchera pas a optimiser les calculs). un+1 = a un + b Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une suite u definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence Page 1/4 Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N. Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux dans le cas contraire. Version Maple f := proc(a, b) local i, j, k : i := 1 : j := a : k := b : while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente : Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion precise des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon pour a fixe ? S (z) = I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la variable complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . Autrement dit : I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n. verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n . n : vn = un + k I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne (on ne cherchera pas a optimiser les calculs). un+1 = a un + b Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une suite u definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence Page 1/4 Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N. Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux dans le cas contraire. Version Maple f := proc(a, b) local i, j, k : i := 1 : j := a : k := b : while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

- version du 27 fevrier 2008 16h9

MATHÉMATIQUES I

Question preliminaire

Dans plusieurs questions du probleme, il est demande d'ecrire une
sequence d'instructions realisant un calcul. Dans ces questions le candidat est 
invite a definir une fonction en utilisant la syntaxe de Maple
ou Mathematica. Il est invite a signaler au debut de sa copie le langage 
utilise.

f[a , b ] := Block[{i, j, k},
i = 1; j = a; k = b;
While[ k > 0,
{i, j, k} = If[OddQ[k], {i  j, j, k - 1},
{i, j^2, k/2} ]
];
i]

Version Mathematica

PSI

Partie I - Recurrence en dimension 1

Filière

(1)

n=0

X

un z n

(2)

(un+1 - a un - b) z n = 0

ou A et B sont deux fractions rationnelles dependant de z et a.

S (z) = u0 A + b B

(3)

et obtenir une equation ordinaire (non differentielle) verifiee par S (z). 
Resoudre
cette equation et exprimer S sous la forme :

n=0

X

I.E - On suppose |z| < S . Partir de la relation evidente : Determiner la valeur  du rayon de convergence de cette serie (une discussion precise des cas particuliers est demandee). Quelle est la valeur minimale S de ce rayon pour a fixe ? S (z) = I.D - On appelle serie ordinaire associee a la suite u la fonction S de la variable complexe z qui est somme de la serie entiere de terme general un z n . Autrement dit : I.C - En deduire la valeur de un en fonction de u0 et de n. verifie la relation de recurrence vn+1 = a v n . n : vn = un + k I.B - Determiner la constante k telle que la suite v definie par I.A - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul de un pour n donne (on ne cherchera pas a optimiser les calculs). un+1 = a un + b Dans cette partie, a, b sont deux reels fixes avec a 6= 1. On considere une suite u definie par un terme initial u0 et la relation de recurrence Page 1/4 Exprimer simplement la valeur de f (a, b) ou (a, b)  C × N. Note : pour Maple « type(k, odd) » (resp. pour Mathematica « OddQ[k] ») est un booleen qui est vrai lorsque k est un entier impair (en anglais, odd) et faux dans le cas contraire. Version Maple f := proc(a, b) local i, j, k : i := 1 : j := a : k := b : while k > 0 do
if type(k, odd)
then i := i  j : k := k - 1
else j := j^2 : k := k/2 :
fi : od :
i :
end :

On donne la sequence d'instructions definissant ci-dessous la fonction f : C×N 
- C
dans chacune des deux syntaxes (Maple et Mathematica).

Note :

Les parties I, II et IV sont consacrees a l'etude de trois relations de 
recurrence
differentes. L'attention des candidats est attiree sur le fait que les 
hypotheses faites
sur les constantes a, b, c, d intervenant dans ces recurrences changent d'une 
partie a
l'autre. La partie III est consacree a l'etude d'un outil de calcul integral 
permettant
de comparer les resultats obtenus dans les autres parties.

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2008

X
un n
z
n!
n=0

un+1 n
z
n!
n=0
(5)

(4)

(un+1 - a un - b)

xn
=0
n!

(6)

Filière PSI

n=0

(un+1 - a un - b vn ) z n = 0 et

n=0

X

(vn+1 - c un - d vn ) z n = 0

X
un n
x
n!
n=0

et H (x) =

X
vn n
x
n!
n=0

(9)

II.D - Proceder comme precedemment et obtenir (par des transformations 
justifiees)
un systeme de deux equations differentielles permettant d'exprimer G et H  en
fonction de G et H.

Determiner les rayons de convergence de ces deux series.

G (x) =

II.C - On appelle series exponentielles G, H associees aux suites u et v les 
fonctions
de la variable x  R qui sont les sommes des series entieres ayant respectivement
un xn
vn xn
pour termes generaux
et
· Autrement dit :
n!
n!

ou A et B sont deux fractions rationnelles en z (chacune dependant des 
coefficients
a, b, c, d).
Que peut-on dire des rayons de convergence de S et T ?

A u0 + B v0

et obtenir un systeme de deux equations ordinaires (non differentielles) 
verifiees par
S (z) et T (z). Resoudre ce systeme et exprimer S (z) et T (z) sous la forme :

n=0

X

On admet, dans la suite de cette partie, qu'il existe un reel  > 0 tel que les 
deux
series S(z) et T (z) sont convergentes pour |z| < . Pour un tel z, partir des relations evidentes : n=0 II.B - On revient a la notation en a, b, c, d et, comme a la section I-D, on appelle series ordinaires associees aux suites u et v les fonctions S et T de la variable complexe z qui sont les sommes des series entieres de termes generaux un z n et vn z n . Autrement dit : X X un z n , T (z) = vn z n (8) S (z) = II.A - Reecrire (pour cette seule question) le systeme (7) en fonction de a, b, , µ. Diagonaliser la matrice M et exprimer (un , vn ) sous la forme : un u0 = expression matricielle simple en a, b, , µ et n vn v0 Page 2/4 On suppose en outre que les valeurs propres , µ de la matrice M sont distinctes et que u0 , v0 ne sont pas simultanement nuls. Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0. On considere deux suites u et v definies par leurs termes initiaux u0 , v0 et la relation de recurrence matricielle : un+1 un a b (7) =M avec M = vn+1 vn c d Partie II - Recurrence en dimension 2 I.H - En utilisant (6), retrouver l'expression de un en fonction de n. Ecrire une sequence d'instructions utilisant cette expression pour calculer un pour chaque valeur donnee de n. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? Que peut-on faire pour obtenir un programme reellement plus rapide ? ou C et D dependent de x et a. G (x) = u0 C + b D et obtenir (par des transformations justifiees) une equation differentielle du premier ordre verifiee par la fonction G. Resoudre cette equation en remarquant que (4) fournit aussi une condition initiale pour G (x). Obtenir G sous la forme n=0 X I.G - Partir de la relation evidente : Montrer que G (z) a meme rayon de convergence G que G (z) et que si x est un reel avec |x| < G , G (x) est effectivement la derivee de la fonction reelle x 7 G (x). G (z) = X Determiner le rayon de convergence G de cette serie G. On pose : G (z) = I.F - On appelle serie exponentielle associee a la suite u la serie entiere de la variable z  C definie par : MATHÉMATIQUES I X un n z n! n=0 un+1 n z n! n=0 (5) (4) (un+1 - a un - b) xn =0 n! (6) Filière PSI n=0 (un+1 - a un - b vn ) z n = 0 et n=0 X (vn+1 - c un - d vn ) z n = 0 X un n x n! n=0 et H (x) = X vn n x n! n=0 (9) II.D - Proceder comme precedemment et obtenir (par des transformations justifiees) un systeme de deux equations differentielles permettant d'exprimer G et H  en fonction de G et H. Determiner les rayons de convergence de ces deux series. G (x) = II.C - On appelle series exponentielles G, H associees aux suites u et v les fonctions de la variable x  R qui sont les sommes des series entieres ayant respectivement un xn vn xn pour termes generaux et · Autrement dit : n! n! ou A et B sont deux fractions rationnelles en z (chacune dependant des coefficients a, b, c, d). Que peut-on dire des rayons de convergence de S et T ? A u0 + B v0 et obtenir un systeme de deux equations ordinaires (non differentielles) verifiees par S (z) et T (z). Resoudre ce systeme et exprimer S (z) et T (z) sous la forme : n=0 X On admet, dans la suite de cette partie, qu'il existe un reel  > 0 tel que les 
deux
series S(z) et T (z) sont convergentes pour |z| < . Pour un tel z, partir des relations evidentes : n=0 II.B - On revient a la notation en a, b, c, d et, comme a la section I-D, on appelle series ordinaires associees aux suites u et v les fonctions S et T de la variable complexe z qui sont les sommes des series entieres de termes generaux un z n et vn z n . Autrement dit : X X un z n , T (z) = vn z n (8) S (z) = II.A - Reecrire (pour cette seule question) le systeme (7) en fonction de a, b, , µ. Diagonaliser la matrice M et exprimer (un , vn ) sous la forme : un u0 = expression matricielle simple en a, b, , µ et n vn v0 Page 2/4 On suppose en outre que les valeurs propres , µ de la matrice M sont distinctes et que u0 , v0 ne sont pas simultanement nuls. Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0. On considere deux suites u et v definies par leurs termes initiaux u0 , v0 et la relation de recurrence matricielle : un+1 un a b (7) =M avec M = vn+1 vn c d Partie II - Recurrence en dimension 2 I.H - En utilisant (6), retrouver l'expression de un en fonction de n. Ecrire une sequence d'instructions utilisant cette expression pour calculer un pour chaque valeur donnee de n. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? Que peut-on faire pour obtenir un programme reellement plus rapide ? ou C et D dependent de x et a. G (x) = u0 C + b D et obtenir (par des transformations justifiees) une equation differentielle du premier ordre verifiee par la fonction G. Resoudre cette equation en remarquant que (4) fournit aussi une condition initiale pour G (x). Obtenir G sous la forme n=0 X I.G - Partir de la relation evidente : Montrer que G (z) a meme rayon de convergence G que G (z) et que si x est un reel avec |x| < G , G (x) est effectivement la derivee de la fonction reelle x 7 G (x). G (z) = X Determiner le rayon de convergence G de cette serie G. On pose : G (z) = I.F - On appelle serie exponentielle associee a la suite u la serie entiere de la variable z  C definie par : MATHÉMATIQUES I S (z) = n=0 X un z n et G (z) = X un n z n! n=0 Filière PSI (10) (n + 1) 6  (n) n2 (n) IV.B - On considere les series S, T, G, H associees par les formules respectives (8) et (9) aux suites u et v definies par la formule (11). IV.B.1) En utilisant la formule (11), demontrer que S(z) et T (z) ont le meme rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra utiliser la section A.) ? ou les quantites  (n) et  (n) ont des limites finies quand n  . (n) 6 IV.A - On pose (n) = u2n + vn2 . IV.A.1) Etablir l'encadrement : (u, v)  R2 , -u2 - v 2 6 2uv 6 u2 + v 2 . IV.A.2) Demontrer que, pour tout n, (n) n'est jamais nul. Obtenir, pour n > 1,
un encadrement de la forme :

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0, tels que 
|a| =
6 |d| et
bc
que
ne soit pas le carre d'un nombre entier. On considere deux termes initiaux
ad
u0 , v0 reels et non simultanement nuls et les deux suites reelles u et v 
definies par
la nouvelle relation de recurrence :

un+1 = a n un + b vn
(11)
vn+1 = c un + d n vn

Partie IV - Une recurrence explosive

III.D - On souhaite appliquer la formule precedente aux series S et G associees 
a
la suite recurrente u etudiee dans la Partie I. (par les fomules (2) et (4)). 
Utiliser la
linearite de Lap et les resultats precedents pour transformer l'equation 
differentielle
concernant t 7 G (t) en une equation ordinaire concernant S. Verifier que l'on
retrouve l'expression deja obtenue en I.E.

lorsque p est un nombre complexe dont la partie reelle est strictement positive.

Lap (G) (p) = expression simple en S et p

En admettant (pour cette seule question) que l'on puisse permuter serie et 
integrale
et en admettant l'existence des integrales rencontrees, effectuer les calculs 
reliant la
transformee de Laplace de la fonction t 7 G (t) , t > 0 avec la serie S. On 
obtiendra
un resultat sous la forme :

Page 3/4

III.C - Pour une suite (un ) quelconque de nombres reels, on rappelle que les 
series
S et G ont ete definies respectivement dans les sections I.D et I.F par les 
formules :

III.B - On suppose que f est de classe C 1 sur [0, +[ et que f est CDI ().
Demontrer que pour tout nombre complexe p dont la partie reelle est strictement
superieure a , Lap (f  ) (p) est une integrale convergente et calculer Lap (f  
) (p) en
fonction de Lap (f ) (p), de p et de f (0).

III.A - On suppose que f est CDI (). Demontrer que pour tout nombre complexe
p dont la partie reelle est strictement superieure a , Lap (f ) (p) est une 
integrale
convergente.

2. l'application t 7 e-t f (t) est bornee sur [0, +[.

1. f est une fonction continue de [0, +[ vers C.

Dans ce qui suit, on supposera toujours   R. On dira qu'une fonction f est
CDI (), i.e. « continue et dominee a l'infini par exp ( t) » lorsque :

L'attention des candidats est attiree sur le fait que, en Sciences de
l'Ingenieur, la convergence de ces integrales est, en derniere analyse,
assuree par l'existence du systeme materiel etudie. Dans le present
probleme, la convergence de ces memes integrales n'est pas assuree
et doit etre examinee avec attention.

0

On rappelle que la transformee de Laplace Lap (f ) d'une fonction f definie sur
[0, +[ et a valeurs complexes est definie par :
Z +
Lap (f ) (p) =
f (t) exp (-t p) dt

Partie III - Transformation de Laplace

II.F - Resoudre les equations differentielles precedentes et obtenir G (x) et H 
(x)
sous une forme simple mettant en evidence la dependance par rapport aux 
conditions
initiales.

II.E - En deduire que G et H sont solutions de la meme equation differentielle
lineaire du second ordre (E) dont on exprimera les coefficients en fonction de  
et
µ. A quelle condition les fonctions G et H forment-elles une base de l'espace 
des
solutions de (E) ?

MATHÉMATIQUES I

S (z) =

n=0

X

un z n

et G (z) =

X
un n
z
n!
n=0

Filière PSI

(10)

(n + 1)
6  (n)
n2 (n)

IV.B - On considere les series S, T, G, H associees par les formules 
respectives (8)
et (9) aux suites u et v definies par la formule (11).
IV.B.1) En utilisant la formule (11), demontrer que S(z) et T (z) ont le meme
rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra 
utiliser
la section A.) ?

ou les quantites  (n) et  (n) ont des limites finies quand n  .

 (n) 6

IV.A - On pose (n) = u2n + vn2 .
IV.A.1) Etablir l'encadrement : (u, v)  R2 , -u2 - v 2 6 2uv 6 u2 + v 2 .
IV.A.2) Demontrer que, pour tout n, (n) n'est jamais nul. Obtenir, pour n > 1,
un encadrement de la forme :

Dans cette partie, a, b, c, d sont quatre reels tous differents de 0, tels que 
|a| =
6 |d| et
bc
que
ne soit pas le carre d'un nombre entier. On considere deux termes initiaux
ad
u0 , v0 reels et non simultanement nuls et les deux suites reelles u et v 
definies par
la nouvelle relation de recurrence :

un+1 = a n un + b vn
(11)
vn+1 = c un + d n vn

Partie IV - Une recurrence explosive

III.D - On souhaite appliquer la formule precedente aux series S et G associees 
a
la suite recurrente u etudiee dans la Partie I. (par les fomules (2) et (4)). 
Utiliser la
linearite de Lap et les resultats precedents pour transformer l'equation 
differentielle
concernant t 7 G (t) en une equation ordinaire concernant S. Verifier que l'on
retrouve l'expression deja obtenue en I.E.

lorsque p est un nombre complexe dont la partie reelle est strictement positive.

Lap (G) (p) = expression simple en S et p

En admettant (pour cette seule question) que l'on puisse permuter serie et 
integrale
et en admettant l'existence des integrales rencontrees, effectuer les calculs 
reliant la
transformee de Laplace de la fonction t 7 G (t) , t > 0 avec la serie S. On 
obtiendra
un resultat sous la forme :

Page 3/4

III.C - Pour une suite (un ) quelconque de nombres reels, on rappelle que les 
series
S et G ont ete definies respectivement dans les sections I.D et I.F par les 
formules :

III.B - On suppose que f est de classe C 1 sur [0, +[ et que f est CDI ().
Demontrer que pour tout nombre complexe p dont la partie reelle est strictement
superieure a , Lap (f  ) (p) est une integrale convergente et calculer Lap (f  
) (p) en
fonction de Lap (f ) (p), de p et de f (0).

III.A - On suppose que f est CDI (). Demontrer que pour tout nombre complexe
p dont la partie reelle est strictement superieure a , Lap (f ) (p) est une 
integrale
convergente.

2. l'application t 7 e-t f (t) est bornee sur [0, +[.

1. f est une fonction continue de [0, +[ vers C.

Dans ce qui suit, on supposera toujours   R. On dira qu'une fonction f est
CDI (), i.e. « continue et dominee a l'infini par exp ( t) » lorsque :

L'attention des candidats est attiree sur le fait que, en Sciences de
l'Ingenieur, la convergence de ces integrales est, en derniere analyse,
assuree par l'existence du systeme materiel etudie. Dans le present
probleme, la convergence de ces memes integrales n'est pas assuree
et doit etre examinee avec attention.

0

On rappelle que la transformee de Laplace Lap (f ) d'une fonction f definie sur
[0, +[ et a valeurs complexes est definie par :
Z +
Lap (f ) (p) =
f (t) exp (-t p) dt

Partie III - Transformation de Laplace

II.F - Resoudre les equations differentielles precedentes et obtenir G (x) et H 
(x)
sous une forme simple mettant en evidence la dependance par rapport aux 
conditions
initiales.

II.E - En deduire que G et H sont solutions de la meme equation differentielle
lineaire du second ordre (E) dont on exprimera les coefficients en fonction de  
et
µ. A quelle condition les fonctions G et H forment-elles une base de l'espace 
des
solutions de (E) ?

MATHÉMATIQUES I

avec qn =

un
n vn
(12)

(un+1 - a n un - b vn )

xn
= 0 et
n!

n=0

X

(vn+1 - c un - d n vn )

xn
=0
n!

· · · FIN · · ·

Page 4/4

IV.G - Demontrer que l'equation du deuxieme ordre en G possede une solution
bc
est le carre d'un nombre entier.
polynomiale non nulle si et seulement si
ad

IV.F - En deduire une equation differentielle du deuxieme ordre verifiee par la
fonction G. Faire de meme pour H.

et obtenir, dans un domaine que l'on precisera, un systeme differentiel du 
premier
ordre verifie par les fonctions x 7 G (x) , x 7 H (x).

n=0

X

IV.E - Partir des relations evidentes :

IV.D - Ecrire une sequence d'instructions permettant le calcul des valeurs 
successives de qn en fonction de la valeur initiale q1 = q1 entree en parametre 
et s'arretant
lorsque la variation entre qn+1 et qn devient inferieure a une precision 
donnee, .

qn+1 = n (qn )

Demontrer que G(z) et H(z) ont le meme rayon de convergence et qu'il
1
·
est superieur a
max |a|, |d|
un
IV.C - Soit q la suite de terme general qn =
· Ecrire la relation de recurrence
n vn
existant entre qn et qn+1 . On obtiendra une fonction z 7 n (z) (dependant du
parametre n) telle que :

IV.B.2)

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI