Centrale Maths 1 PSI 2012

PSI
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 1

- Dans le problème  désigne toujours une application continue de R+ dans R+ , 
croissante et non majorée.
- Dans le problème, f désigne toujours une application continue de R+ dans R.
- On note E l'ensemble des réels x pour lesquels l'application t Ô f (t)e-(t)x 
est intégrable sur R+ .
Ú +
- On note E  l'ensemble des réels x pour lesquels l'intégrale
f (t)e-(t)x dt converge.
0

On se propose ci-après d'étudier la transformation f Ô Lf définie en I.A, d'en 
établir quelques propriétés,
d'examiner certains exemples et d'utiliser la transformation L pour l'étude 
d'un opérateur.

I Préliminaires, définition de la transformation L
I.A ­
Quelle inclusion existe-t-il entre les ensembles E et E  ?
Désormais, pour x  E  , on notera
Ú +
Lf (x) =
f (t)e-(t)x dt
0

I.B ­

Montrer que si E n'est pas vide, alors E est un intervalle non majoré de R.

I.C ­

Montrer que si E n'est pas vide, alors Lf est continue sur E.

II Exemples dans le cas de f positive
II.A ­

Comparer E et E  dans le cas où f est positive.

II.B ­

Dans les trois cas suivants, déterminer E.

II.B.1)

f (t) =  (t), avec  supposée de classe C 1 .

II.B.2)

f (t) = et(t) .

II.B.3)

f (t) =

II.C ­

Dans cette question, on étudie le cas (t) = t2 et f (t) =

II.C.1)

Déterminer E. Que vaut Lf (0) ?

II.C.2)

Prouver que Lf est dérivable.

e-t(t)
.
1 + t2
1
pour tout t  R+ .
1 + t2

A
Montrer l'existence d'une constante A > 0 telle que pour tout x > 0, on ait Lf 
(x) - (Lf ) (x) =  .
x
-x
II.C.4)
On note g(x) = e Lf (x) pour x > 0.
Ú x -t
e

 dt.
Montrer que pour tout x > 0, on a g(x) = - A
2
t
0
Ú +
-t2
dt.
II.C.5)
En déduire la valeur de l'intégrale
e
II.C.3)

0

III Étude d'un premier exemple
t
t
- 1 + pour tout t  R+ .
-1
2
III.A ­
Montrer que f se prolonge par continuité en 0.
On note encore f le prolongement obtenu.
III.B ­
Déterminer E.

Dans cette partie, (t) = t pour tout t  R+ et f (t) =

III.C ­

et

À l'aide d'un développement en série, montrer que pour tout x > 0, on a
1
1 Ø
1
-
+
2x2
x n=1 (n + x)2
+

Lf (x) =

III.D ­

Est-ce que Lf (x) -

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1
1
+ admet une limite finie en 0+ ?
2
2x
x
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IV Généralités dans le cas typique
Dans cette partie, (t) = t pour tout t  R+ .
IV.A ­
Montrer que si E n'est pas vide et si  est sa borne inférieure (on convient que 
 = - si E = R),
alors Lf est de classe C  sur ], +[ et exprimer ses dérivées successives à 
l'aide d'une intégrale.
IV.B ­
Dans le cas particulier où f (t) = e-at tn pour tout t  R+ , avec n  N et a  R, 
expliciter E, E 
et calculer Lf (x) pour x  E  .
IV.C ­
Comportement en l'infini
On suppose ici que E n'est pas vide et que f admet au voisinage de 0 le 
développement limité d'ordre n  N
suivant :
n
Ø
ak k
f (t) =
t + O(tn+1 )
k!
k=0

IV.C.1)
suivant :

Montrer que pour tout  > 0, on a, lorsque x tend vers +, le développement 
asymptotique
Ú

0

IV.C.2)

A

f (t) -

n
Ø
ak

k=0

k!

t

k

B

e-tx dt = O(x-n-2 )

En déduire que lorsque x tend vers l'infini, on a le développement asymptotique 
:
Lf (x) =

n
Ø
ak
+ O(x-n-2 )
xk+1

k=0

IV.D ­
Comportement en 0
On suppose ici que f admet une limite finie l en +.
IV.D.1)
Montrer que E contient R+ .
IV.D.2)

Montrer que xLf (x) tend vers l en 0+ .

V Étude d'un deuxième exemple
Dans cette partie, (t) = t pour tout t  R+ et f (t) =
en 0.
V.A ­
Montrer que E ne contient pas 0.
V.B ­

Montrer que E =]0, +[.

V.C ­

Montrer que E  contient 0.

V.D ­

Calculer (Lf ) (x) pour x  E.

V.E ­

En déduire (Lf )(x) pour x  E.
Ú

sin t
pour tout t  R+ , f étant prolongée par continuité
t

(n+1)

On note pour n  N et x > 0, fn (x) =
n
Ø
Montrer que
fn converge uniformément sur [0, +[.
V.F ­

sin t -xt
e
dt.
t

n>0

V.G ­

Que vaut Lf (0) ?

VI Injectivité dans le cas typique
Dans cette partie, (t) = t pour tout t  R+ .
VI.A ­
Soit g une application continue de [0, 1] dans R. On suppose que pour tout n  
N, on a
Ú 1
tn g(t) dt = 0
0

VI.A.1)

Que dire de

Ú

1

P (t)g(t) dt pour P  R[X] ?

0

VI.A.2)

En déduire que g est l'application nulle.

Soient f fixée telle que E soit non vide, x  E et a > 0.
Ú t
On pose h(t) =
e-xu f (u) du pour tout t > 0.
0
Ú +
VI.B.1)
Montrer que Lf (x + a) = a
e-at h(t) dt.
VI.B ­

0

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VI.B.2)

On suppose que pour tout n  N, on a Lf (x + na) = 0.
4
3
Ú 1
ln u
du converge et qu'elle est nulle.
Montrer que, pour tout n  N, l'intégrale
un h -
a
0
VI.B.3)
Qu'en déduit-on pour la fonction h ?
VI.C ­

Montrer que l'application qui à f associe Lf est injective.

VII Étude en la borne inférieure de E
VII.A ­
Cas positif
On suppose que f est positive et que E n'est ni vide ni égal à R. On note  sa 
borne inférieure.
VII.A.1) Montrer que si Lf est bornée sur E, alors   E.
VII.A.2)

Si  
/ E, que dire de Lf (x) quand x tend vers + ?

VII.B ­

Dans cette question, f (t) = cos t et (t) = ln(1 + t).

VII.B.1)

Déterminer E.

VII.B.2)

Déterminer E  .

VII.B.3)

Montrer que Lf admet une limite en , borne inférieure de E et la déterminer.

VIII Une utilisation de la transformation L
Dans cette partie, P désigne l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à 
coefficients complexes et on utilise
la transformation L appliquée à des éléments de P pour l'étude d'un opérateur U 
.
VIII.A ­ Soient P et Q deux éléments de P.
Ú +
e-t P (t)Q(t) dt, où P est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués 
de
Montrer que l'intégrale
0

ceux de P , converge.
VIII.B ­ On note pour tout couple (P, Q)  P 2 ,
Ú +
éP, Qê =
e-t P (t)Q(t) dt
0

Vérifier que é., .ê définit un produit scalaire sur P.
VIII.C ­ On note D l'endomorphisme de dérivation et U l'endomorphisme de P 
défini par
U (P )(t) = et D(te-t P  (t))
Vérifier que U est un endomorphisme de P.
VIII.D ­ Montrer que pour tous P et Q de P, on a
éU (P ), Qê = éP, U (Q)ê
VIII.E ­ Montrer que U admet des valeurs propres dans C, qu'elles sont réelles 
et que deux vecteurs propres
associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
VIII.F ­ Soient  une valeur propre de U et P un vecteur propre associé.
VIII.F.1)

Montrer que P est solution d'une équation différentielle linéaire simple que 
l'on précisera.

VIII.F.2)

Quel lien y a-t-il entre  et le degré de P ?

VIII.G ­ Description des éléments propres de U
On considère sur [0, +[ l'équation différentielle
(En ) : tP  + (1 - t)P  + nP = 0
avec n  N et d'inconnue P  P.
VIII.G.1) En appliquant la transformation L avec (t) = t à (En ), montrer que 
si P est solution de (En ) sur
[0, +[, alors son image Q par L est solution d'une équation différentielle (En 
) d'ordre 1 sur ]1, +[.
VIII.G.2) Résoudre l'équation (En ) sur ]1, +[ et en déduire les valeurs et 
vecteurs propres de l'endomorphisme U .
VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales 
définies pour n  N par Pn (t) =
et Dn (e-t tn ) ?
· · · FIN · · ·

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