Centrale Maths 1 PSI 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

On considère la famille de fonctions Goe : R --> @ définies pour 96 E R par
Vt E R Goe(t) : e'oe Sint

Ces fonctions sont C°° sur R, 27r--périodiques.
Pour tout 96 E R, on note (90n(OE))nez la famille des coefficients de Fourier 
exponentiels de la fonction Goe.

POUI' tout I'éEURl $ 011 a dOHC !
( ) 1 / (t) --int ?Î
vn EUR Z SÛn OE : -- (ça: 6 (l
271

Le but du problème est d'étudier quelques propriétés des fonctions g0n ainsi 
définies.

I Questions préliminaires
Soit 96 un réel fixé.

I.A --
I.A.1) Justifier l'égalité

+oo
Vt E R Goe(t) : e'oe Sint : î: g0n(oe)e...t

n=--oo
Que peut--on dire de la convergence de la série de Fourier de GE ?
1
I.A.2) Montrer que pour tout k dans N*, lg0n(oe)l : 0 (--k) lorsque n tend vers 
--l--oo.
n

On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de GE.

I.B -- En exprimant Goe(--t) en fonction de Goe(t), montrer que pour n dans Z, 
g0n(oe) E R.

I. C' -- Exprimer Goe(t + 7r) et en déduire les égalités suivantes pour n dans 
Z :
%(--OE) = (--U"%(OE) = 90--n(fL')

Que peut--on dire de la parité de go.... pour n EUR Z ?
+oo
I.D -- Calculer î: lg0n(oe)l2.

n=--oo

L'étude préliminaire permet de restreindre l'étude des fonctions réelles @... & 
R+ et de se limiter au cas où n > 0.

II Forme intégrale et développement en série entière

Soit n un entier naturel.

II.A -- Justifier que pour 96 réel, lg0n(oe)l { 1.
II .B -- Montrer que pour 96 réel,

+00 [EUR 1 W

90n(96) = 2 î--'In,k avec I...k : % i'EURe_'f'"""(sint)lEUR dt
k=0 ' _7T

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II.C --
II.C.1) À l'aide de la formule d'Euler, justifier que pour (n, k) dans N >< N, 71" le A ,. .t _ E ...: 'L (2m--k--n) In,]EUR -- 271" /EUR dt m=0 --7T avec A...)k des constantes a préciser. II.C.2) Vérifier que In,k=0 sin>k ou sik--n est impair
_ (--1)" "+21? . _
In,;ç-- 2n+2p n+p s1k-n+2p avecp>0

II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour n > 0 et 36 E R :

%(OE) = ï & (Ï)n+2p (111)

p=0 p!(n +19)! 2

Préciser le rayon de convergence.
II.C.4) Montrer que gon est de classe COO sur R.

II.D -- Relation de dérivation

Soit n dans N* vérifier ue our oe réel
7

& > = æwn_1<æ>

II.E -- Calcul numérique de gon(oe) avec 96 > 0 fioeé
On approche gon(oe) a l'aide des sommes partielles

m
1 +2
S... = î:(--1)pqp avec m E N et % = _ (£)" p

p=0 p!(n + p)! 2

II.E.1) À partir de quelle valeur po de 19 la suite (ap)pEURN est--elle 
décroissante ?

II.E.2) On suppose N > po. Majorer lRNl en fonction de (N,n,oe) avec
+oo
RN = 2 (-1)p %
p=N+1
En déduire, pour 5 > 0 fixé, une condition suffisante sur N pour que lgon(oe) 
-- S Nl < 5. La somme partielle S N est dite alors valeur approchée de gon(oe) & 5 près. II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d'arguments (n,oe,e) retournant une valeur approchée de gon(oe) a 5 près. Les coefficients % seront calculés par récurrence. III Équation différentielle et étude de gon quand a: --> +oo

Soit n un entier naturel. On étudie l'équation différentielle d'inconnue y
35%" + oey' + (5152 -- n2)y : 0 (111.1)
On recherche des solutions dans l'ensemble E : C2(]0, +oo[).

III.A -- Résolution et propriété des solutions

III.A.1) En utilisant le développement de gon en série entière (II.1), montrer 
que gon est solution sur [O, +oo[
de (111.1).

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III.A.2) Soit y une solution dans E de (111.1). On pose z(oe) : fly(oe) pour 
tout 96 EUR ]0, +oo[.

Montrer que 27 est solution dans E d'une équation différentielle du type

avec q E E.

Préciser l'expression de la fonction q et vérifier que lim q(oe) : 1.
oe-->+oo

III.A.3) Justifier que si 27 est une solution non nulle de (111.2), alors pour 
96 > O, (z(oe), z'(oe)) # (O, 0).

En déduire que si oz est un zéro de z, alors il existe un réel strictement 
positif 77 tel que oz soit le seul point
d'annulation de z sur I = ]a -- 77, oz + 77[.

On dit dans ce cas que oz est un zéro isolé de z.

III.A.4) Vérifier que les zéros de go.... sur ]0, +oo[ sont isolés.

III.B -- Comportement asymptotique de go" en +oo

On étudie ici le comportement asymptotique au voisinage de +00 d'une solution 
27 E E de l'équation différentielle
définie sur ]0, +oo[, avec À E R* :

A
z" + (1 + ?) z = 0 (111.3)

Soit 960 dans ]0, +oo[.

III.B.1) En considérant l'équation différentielle (111.3) sous la forme z" + z 
= g avec g(oe) : oe--â'z(oe), la
résoudre sur ]0, +oo[ par la méthode de variation des constantes.

En déduire qu'il existe deux réels A et B tels que

33

WC EUR ]07 +oo[ z(oe) : Acos(oe) + Bsin(oe) + À / z(u) sin(u -- æ)%

5130

III.B.2) On pose pour 96 > 0
$ du
Mac) = / lz(u) @
330

a) Montrer qu'il existe des constantes réelles ,u et M telles que h vérifie 
l'inégalité différentielle pour 96 > 960

Préciser les constantes ,u et M en fonction de A, B et À.
b) En déduire que h est bornée sur [oe0, +oo[ puis que 27 est bornée sur ce 
même intervalle.
Multiplier par ell/33 et intégrer l'inégalité de la question précédente.

III.B.3) Justifier que

+oo

/ z(u) sin(u -- oe)î--Ë = o (à)

33

au voisinage de +00.

En déduire l'existence de constantes oz et @ telles qu'au voisinage de +00,
1
z(oe) : acos(oe -- 5) + O(--)
90
III.B.4) Soit n E N. Montrer qu'il existe un couple de réels (oz... fin) tel 
que pour 96 --> +oo,

g0n(oe) : & cos(oe -- fin) + 0(

fl )

1
oefl

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IV Étude des zéros de gon

On introduit l'équation différentielle
z{'(oe) + 02z1(oe) : 0 avec c > 0 (IV.1)

L'objectif de cette partie est de comparer les solutions des équations 
différentielles (111.2) et (IV.1) afin d'obtenir
des informations sur les zéros des fonctions go...

I V.A -- En utilisant l'encadrement de la question II.E.2, montrer que goo(3) < 0. En déduire que go0 possède un zéro oz0 EUR ]0, 3[. On admettra que c'est le premier zéro de go... c'est-â-dire que go0 ne s'annule pas sur ]0, d0[. I V.B -- En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier n > 1 la fonction gon est
strictement positive sur ]0, ad.

IV.C -- Dans cette question, on fixe n E N et e E ]0,1[. On pose z(oe) : 
flgon(oe), pour sa > O.

IV.C.1) Justifier qu'il existe un réel A > 0 tel que pour sa > A, q(oe) > c2 (q 
définie en III.A.2).

IV.C.2) Soit & > A. On pose pour sa > O, z1(oe) : sin(c(oe -- a)), solution de 
IV.1. On définit la fonction
W = z z{ -- z1 z' .

Vérifier que pour sa > O, W'(oe) : (q(oe) -- c2)z(oe)z1(oe).

IV.C.3) On note I = la, a + 7r/c[ et on suppose que gon ne possède pas de zéros 
sur Ia.

Déterminer les signes de W(a), W(a + 7r/c) et de W' sur la et aboutir a une 
contradiction. En déduire que gon
possède un zéro dans tout intervalle la avec a > A.

On pourra distinguer les cas suivant le signe de gon sur la.
IV.D -- Soit n E N.

IV.D.1) Montrer qu'on peut ordonner les zéros de go... c'est--à--dire qu'il 
existe une suite (aén') strictement
kEURN

croissante de zéros de go... telle que gon ne s'annule pas sur ]0, ozén'[ et 
sur tout intervalle ]oz,ïn', oz,îî'1[ avec le dans

('n)
le

N et que lim oz : +oo.
Ic-->oo

Construire la suite (oz,£"') par récurrence sur le en montrant que l'ensemble 
Zk des zéros de gon
keN

dans l'intervalle ]oz,ï"', +oo[ possède un plus petit élément.

IV.D.2) En déduire que la suite (aén')keN vérifie la propriété de répartition 
asymptotique :

. (") (") 7T
VcEUR]0,1[, E|jEURN telque VkEURN,0