Centrale Maths 1 PSI 2014

Mathématiques 1 <|' _5 PSI @ 4 heures Calculatrices autorisées N Notations -- On note Lac} la partie entière du réel m. -- On se place dans le plan euclidien [R2 muni de son repère orthonormé canonique 58, d'origine 0. Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes ; les parties II et III utilisent les notations R(2) et Vn(z) introduites dans la première partie. I Première partie I.A -- Soit 2 un nombre complexe, de partie réelle :L' et de partie imaginaire y, tels que (:s, y) EUR IR_ >< {0}. On note Z+IZI Re(Z) + lZl) 9(z) = 2arctan # et R(z) = :L' + 302 + y2 2( I.A.1) Justifier que 9 et R sont bien définies. I.A.2) Lorsque 2 vaut successivement z1 = 4, z2 = 2i et 23 = 1 -- i\/Ë, calculer R(z), 9(2) et (R(2))2. I.A.3) Vérifier que 9(2) EUR ]--7r,7r[ et que R(z) EUR !? = {Z EUR @, Re(Z) > 
O}.

I.A.4) Représenter sur une figure le cercle C' de centre O et de rayon |z| et 
les points M d'affixe z et B
d'affixe -- |z|.

En considérant des angles bien choisis, montrer que
9(2) = Arg(Z) = 2Arg (2 + IZI)

où Arg(2) désigne la détermination principale de l'argument du nombre complexe 
z.

I.A.5) Déterminer [R(z)]2, 9 o R(2) et |z|1/2 e"9(z)/2 en fonction de z, R(z) 
et 9(z).

I.A.6) Résoudre à l'aide de R l'équation Z 2 = z, d'inconnue Z EUR 03.

I.A.7) En déduire que R est une bijection de C \ IR_ dans .'7'. Préciser sa 
bijection réciproque.

Dans la suite du problème, on prolonge R à C en posant R(m) = i«/ |æ| si ac EUR 
IR_.

LB -- Soient a et b deux nombres complexes tels que (a, b) = (0,0).
On dit qu'une suite complexe U = (un)neN vérifie la relation de récurrence 
(Ea,b) si l'on a

Vn EUR N, un+2 = 2aun+l + bun

I.B.1) On suppose que a2 + b = 0. On note d = R(a2 + b). On appelle W la suite 
W = ((a. + d)n)nEURlN et W'
la suite W' = ((a. -- d)")neN.

Montrer que U vérifie Ea,b si et seulement si U EUR Vect(W, W').

Déterminer U vérifiant Ea,b et les conditions initiales 110 = 0 et ul = 1, en 
fonction de d , W et W'.
I.B.2) On suppose que a2 + b = 0 et a = 0. On note W et W' les suites W = 
(a")nGIN et W' = (n a")

Montrer que U vérifie Ea,b si et seulement si U EUR Vect(W, W').
Déterminer U vérifiant Ea,b et les conditions initiales 110 = 0 et ul = 1, en 
fonction de a, W et W'.

nEURN'

Dans la suite du problème, on note:

. U(a, b) = (U,,(a,b))flEURlN
. V,,(z) = Un+1(z, --1) pour tous 2 EUR EUR et n EUR [N.

l'unique suite vérifiant Ea,b et les conditions initiales Uo(a, b) = 0 et Ul 
(a, b) = 1 ;

I.B.3) Expliciter V1(z), I/2(z) et V3(z) et déterminer leurs racines dans C.

I.B.4) Montrer que, pour tous 2: EUR @ et n EUR IN, on a
lW/2l 71 --j _ _
Vn(Z) = 2 ( j ) (22)"_2' (--1)' (1-1)
j=O

On pourra procéder par récurrence.

II Deuxième partie

Soit 2: EUR @. On note CZ (respectivement (ZZ) 'ensemble des points du plan 
d'affixe complexe Z tels que

l
12 (Z -- 22)l : 1 (respectivement lZ (Z -- 22)l < 1). II .A -- Dans cette question on suppose que 2: est un réel noté &. On se place dans le repère orthonormé ÿEUR' de centre O' d'affixe &, déduit de 38 par translation. II.A.1) Montrer qu'une équation de la courbe Ca en « coordonnées polaires (p, 9) » dans le repère ÿEUR' est (,02 + a2)2 -- 4a2p2 cos2 9 = 1 II.A.2) Simplifier cette équation lorsque & = 1. Étudier et tracer l'allure de la courbe Cl. II .B -- On suppose a nouveau 2: complexe quelconque. II.B.1) Justifier que QZ est une partie bornée du plan. Est--elle ouverte ? fermée ? compacte ? II.B.2) Justifier que l'origine O est un point intérieur a 522. II. C -- On reprend dans cette question la notation R introduite dans la première partie a la question I.A. II.C.1) Soit 2: EUR @ tel que z2 # 1. On note 7": lR(z2 --1)l, s= lz+R(zZ--1)l, t= lz:--R(z2 --1)l, h=max(s,t) hn+1 Prouver que, pour tout 71 EUR IN, an(z)l < ?" +OED II.C.2) Que dire du rayon de convergence de la série entière Z l--> z Vn(z) Z 
"' ?
n-O

On note gZ sa somme.
II.C.3) Lorsque cela a un sens, calculer (1 -- 2zZ + ZZ) gz(Z).

1
II.C.4) Déterminer l'ensemble de définition DZ de la fonction Z l--> _.
1 -- 2.2:Z + Z2
II.C.5) Montrer qu'il existe un disque ouvert non vide A de centre 0 inclus 
dans QZ tel que
1 +OED +oe>
vz A, _: V Z": (ZP2--ZP)
. ; ...) ; ... >

II.C.6) En déduire que la fonction de la variable réelle a:
+OED
GZ : oe H Z(oep (22: --oe)p)
p=O
admet un développement limité a tout ordre en 0. On le note
Gz(oe) : Zak æk+o(oen) oe -->0
k=O

Déterminer les coefficients ak pour k EUR IN.
II.C.7 ) Retrouver alors la relation (1.1).

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III Troisième partie

On note :
. oz un réel tel que oz > --1/2;
E le [IQ--espace vectoriel des fonctions de classe 6700 sur [--1, 1] et a 
valeurs réelles ;

.
. Fn le sous--espace vectoriel de E des fonctions polynomiales de degré 
inférieur ou égal a n, où n EUR IN ;
.

9001 l'application qui, a toute fonction y de E, associe la fonction
%(y) = t H (1 -- t') y"(t) -- (204 + 1)ty'(t)

. Sa l'application de E >< E dans IR définie par Sa(f,g) = / f(t)g(t) (1 --t2)0'_% dt --1 III.A -- III.A.1) Vérifier que Sa est un produit scalaire sur E. III.A.2) Justifier que g0a est un endomorphisme de E. Est--il injectif ? III.A.3) Montrer que V(f,g) EURE27 Sa(%(f)aÿl =Sa(f7fioæ(g)) 1 On pourra calculer la dérivée de t H (1 -- t2)0'+ î f'(t). III.B -- Soit n EUR IN. III.B.1) Justifier que g0a induit sur En un endomorphisme et que cet endomorphisme induit (encore noté gag) est diagonalisable. III.B.2) Montrer qu'il existe une base de Fn constituée de vecteurs propres de 9001 de degrés deux a deux distincts. III.B.3) Vérifier que deux vecteurs propres de g0a de degrés distincts sont associés à des valeurs propres dis-- tinctes. On pourra s'intéresser au coefficient dominant d'un polynôme judicieux. III.B.4) Justifier que deux vecteurs propres de 9004 de degrés distincts sont orthogonaux. III.B.5) Montrer que tout vecteur propre de 9004 de degré supérieur ou égal à 1 s'annule au moins une fois dans l'intervalle ]--1, 1[. 111.0 -- Dans cette partie, on suppose oz : 1. On note ll-|l la norme associée a 81. III.C.1) Justifier que, pour tout k EUR IN, il existe un unique polynôme vecteur propre de g01 de degré k, de norme 1 et de coefficient dominant positif. On le note Tk. III.C.2) Soit t E ]0, 71[. Montrer que la fonction 1 H: H ' $ 1 -- 255 cos(t) +a:2 est développable en série entière sur ]--1, 1[. III.C.3) En déduire que sin((n + 1)t) Vn EUR IN, Vt EUR ]0,7r[, Vn(cost) : . t sm III.C.4) En dérivant deux fois la fonction 15 H (sin t) Vn(cos t) -- sin((n + 1)t), montrer que pour tout n EUR IN, Vn est vecteur propre de Sol. III.C.5) En déduire que, pour tout n EUR IN, Vn et T n sont proportionnels. Expliciter le coefficient de proportion-- nalité. III.C.6) Pour n EUR IN*, déterminer les racines de Tn. oooFlNooo 2013-09-27 18:18:59 Page 3/3 lËC BY-NC-SA