Centrale Maths 1 PSI 2017

î, '» Mathématiques 1 l'
% q--l

(

---/ P5| o
EDNEUUHSEENTHHLE-SUPÊLEE 4heures Calculatrices autorisées N

Grandes déviations

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées 
discrètes.

La partie I est composée de trois sous--parties mutuellement indépendantes A, 
B, C, toutes trois utilisées dans
la partie II.

Notations et rappels

Soient X une variable aléatoire discrète réelle et (X n)n>1 une suite de 
variables aléatoires réelles, mutuellement
indépendantes, définies sur un même espace probabilisê (Q, fl, P), suivant 
toutes la loi de X. On pose SO : 0
et, pour n dans N*,

k=1

Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 1, on note E 
(Y) l'espérance de Y.

Si Yest une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2, on note 
V(Y) la variance de Y.

Si Yest une variable aléatoire à valeurs dans [R+, on abrège « Yest d'eSpérance 
finie » en « E(Y) < +00 ». Si T est un élément de W*, on dit que X vérifie (C,) si E (eTle) < +00. On pourra utiliser la propriété suivante : (L") pour Z et Yvariables aléatoires réelles telles que 0 < Y < Z, E(Z) < +00 => E(Y) < +00 Étant données deux variables aléatoires Yet Z définies sur (Q, /l , P), on dit que Yest presque surement égale à Z lorsque P(Y : Z) : 1. On admet le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit (Yn)nEURN* une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soient A et B deux sous--ensembles de B\l* disjoints. Alors toute variable aléatoire fonction des Y... n EUR A est indépendante de toute variable aléatoire fonction des Y... n EUR B. I Premiers résultats I.A + Une classe de variables aléatoires I.A.1) Soient U et Vdeux variables aléatoires sur (Q, fl, P) possédant un moment d'ordre 2 et telles que V n'est pas presque surement nulle. Montrer que E(U2)E(V2) -- E(UV)2 ; 0 et que E(U2)E(V2) -- E(UV)2 : 0 si et seulement s'il existe /\ EUR [R tel que ÀV + U est presque surement nulle. I.A.2) a) On suppose que X est bornée. Justifier que X vérifie (CT) pour tout 7' dans [R+*. b) On suppose que X suit la loi géométrique de paramètre p EUR ]0, 1{ Vie EUR ... P(X : k) : p(l _p)kfl Quels sont les réels t tels que E(etX ) < +00 '? Pour ces t, donner une expression simple de E(etX ) 0) On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre À : k VkEUR N, P(X:k)= _.
» » -, Gay +eby

Déterminer les limites de 9k,t,a,b en +00 et --00. Montrer que cette fonction 
est bornée sur [R.
0) Montrer que E(|X|ketX) < +00. 2016-10--26 09:42:35 Page 1/4 (CC) BY-NC-SA d) On reprend les notations de la question b). Soient k dans N, e et et deux réels tels que a < 0 < (1 < b. Montrer qu'il existe Mk a b EUR d EUR R+ tel que pour tout t E {c, d] et pour tout y E [R : [0kfit)a7b(y)l < Mk a b C'd. 7771 111 I.A.4) Dans cette question, T est un élément de R+* et X vérifie (C,). a) Montrer que l'ensemble des réels t tels que E(etx ) < +oo est un intervalle ] contenant {--7', T]. Pour t dans ], on note | > n5> < I.B.2) Si u et 1) sont deux nombres réels tels que u < E(X ) < 1), déterminer la limite de la suite ("n)new définie par VnEURN*, 7T =P(nu0 une suite réelle telle que : V(m, n) EUR N2, um+n ; um + un.
u

On suppose que l'ensemble {--", n E N*} est majoré et on note 5 sa borne 
supérieure.
n

I.C.1) Soient m, (1 et 7" des éléments de N. On pose n : mq + 7". Comparer les 
deux nombres réels un et
qu... + u,. et montrer que un -- ns } q(u... -- ms) + ur -- rs.

I.C.2) On fixe m dans N* et 5 dans IR". En utilisant la division euclidienne de 
n par m, montrer qu'il existe
un entier N tel que pour tout n > N,

uTIL

un
2m

Î

--EUR

I.C.3) Montrer lim u--" = s.

n-->oo n

II Le théorème des grandes déviations

Soit a un nombre réel.

II.A + Emposant des grandes déviations

II.A.1) Montrer P(X ; a) = () <=> Vn EUR D\l*, P(Sn
II.A.2) Soient m et n dans Ù\l.

-- S

77L

2na) : 0.

a) Montrer que Sm+n et Sn ont même loi.

b) Soit () un nombre réel. Montrer P(Sm+n } (n + m)b) ; P(S

TL

; nb) P(S

'm

) mb).

On suppose dans toute la suite du problème P(X ; a) > 0.

1 P S ;
II.A.3) Montrer que la suite (1...

TLOE
>>) est bien définie et admet une limite "ya négative ou nulle
'n
7121

vérifiant

Vn G N*, P(S

" ; na) < e"'ya Dans toute la suite du problème, on suppose que X vérifie (C,) pour un certain T > 0 et n'est pas presque
surement constante. On suppose également que a est strictement supérieur a E (X 
)

2016-10--26 09:42:35 Page 2/4 @@ BY--NC-SA

On se propose d'établir que % < 0 (ce qui montre que la suite (P(Sn ) na))n>l 
converge géométriquement
vers 0) puis de déterminer «ya.

II.B * Majorati0n des grandes déviations
L'intervalle ] et la fonction  = >". P na> < "..."" I --> [E
t +--> ln( 0 et a > E(X ) ; puis, pour @ vérifiant ces conditions, calculer %-

i. X suit la loi de Bernoulli B(p) avec 0 < p < 1. ii. X suit la loi de Poisson ?(À) avec À > 0.

11.0 f Le théorème de Cramer

On suppose ici que la borne inférieure na de la fonction X sur I 0 [R+ est 
atteinte en un point a intérieur à 1 fi IR+.

' t
Soient t un nombre réel intérieur à I et tel que t > a, b un nombre réel tel 
que b > îX ((t)) .
X
II.C.1)
tr
(1) Calculer Z EÎetx) P(X : a:).

meX(Q)
On admet alors (quitte a modifier (Q, A, P))
-- qu'il existe une variable aléatoire X ' sur (Q, A) telle que X '(Q) : X (Q) 
et dont la loi de probabilité est
donnée par

VOEGX(Q), P(X/=æ)= EUR P(X:oe)

-- qu'il existe une suite (Xâ)nEURN* de variables aléatoires mutuellement 
indépendantes définies sur (Q,/l, P)
suivant toutes la même loi que X '.
b ) Montrer

E(X') : îîäâ, E(X') > @

II.C.2) On admet que, si n dans W et si f est une application de X(Q)" dans R+, 
on a

etSn
E(Î(Xî, ...,XÂ)) : M

 U?
71
On pourra introduire l'application f : 1 Si na < OE- < nb (ml, ..,xn) l--> i=1 Z
0 sinon

b ) En utilisant les questions I.B.2, H.B.2c et le a) ci--dessus, montrer 
finalement que na : "ya.

2016-10--26 09:42:35 Page 3/4 @c BY--NC-SA

II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats du H.B.2d.
a) Soit & dans ]0,1/2{. Pour 71 dans D\l*, on pose

An={ke{0,...,n}, \k_%!2an}, Un: 2 (2)

Déterminer la limite de la suite (U;/") >1.
n/

b) Soit A dans Üï+*, & dans P... +oo{. Pour 71 dans M, on pose

T = z: "...
" k!
kEURN
k>an

Déterminer la limite de la suite (Tâ/n) >1.
n/

oooFINooo

2016-10--26 09:42:35 Page 4/4 @°) BY--NC-SA