Centrale Maths 1 PSI 2020

Mathématiques 1

T

PSI ©
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 2 Hèures Calculatrice autorisée CN
Objectif

L'objectif de ce sujet est l'étude de la gestion des erreurs dans un processus 
industriel.

On considère un processus industriel automatisé au cours duquel une tâche 
répétitive est effectuée à chaque
instant n EUR N*. On note X,, la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs 
susceptibles de se produire à

l'instant n. On admet que le système parvient à corriger ces erreurs et à 
maintenir son fonctionnement si le
nm

nombre total d'erreurs enregistrées jusqu'à l'instant n, noté S, -- ù X,, reste 
inférieur à une quantité de la

k=1
forme amn, où a > 1 est une constante fixée et m est le nombre moyen d'erreurs 
enregistrées à chaque instant.

On est donc amené à estimer une probabilité de la forme P(S, > nam), dans le 
but de montrer qu'elle tend
vers 0 très rapidement lorsque n tend vers l'infini.

Dans la première partie, on étudie le cas particulier où les variables 
aléatoires X,, sont mutuellement indépen-
dantes et de même loi de Poisson de paramètre 1/2. Dans la deuxième partie, on 
démontre partiellement le
théorème de Perron-Frobenius, qui permet, dans la troisième partie, d'étudier 
le cas où les variables aléatoires
X,, forment une chaîne de Markov, c'est-à-dire où le nombre d'erreurs 
enregistrées à l'instant n + 1 dépend
uniquement de celui enregistré à l'instant n.

I Cas de la loi de Poisson

Dans cette partie, on étudie le modèle élémentaire où la suite (X,,),e+ du 
nombre d'erreurs aux instants
successifs est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, 
mutuellement indépendantes, et suivant
une loi de Poisson de paramètre 1/2.

L'objectif de cette partie est de donner un équivalent de P(S,, > n) lorsque n 
tend vers +0, afin de s'assurer
que celle-ci converge vers 0 avec une vitesse de convergence exponentielle.

nm
Pour tout n EUR N*, on note S,, = ÿ X, et Gx, la fonction génératrice de X,,.

k=1

LA - Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Q 1. Montrer que S,, et X,.,., sont indépendantes.

Q 2. Expliciter le calcul de la fonction génératrice GX, de la variable 
aléatoire X..
Q 3. Justifier que VEER, Gs (t) = (Gx. (t)) -

Q 4. Montrer que la variable aléatoire S,, suit une loi de Poisson dont on 
précisera le paramètre.

LB -
Q 5. Vérifier que, pour tout n EUR N*,

nf) P(S, >n)=e ad, ee G ).

Q 6. Soit n EUR N*. Montrer que pour tout k EUR N*,

n k nn
n+k (n + k)!

Q 7. Montrer que la série de fonctions Su où pour tout & EUR N*, la fonction u, 
est définie sur [0, +col

par uw, :æH(1+kx) (1/2)* est normalement convergente sur [0, +ool.

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k\ */1\*
Q 8. En déduire que pour tout n EUR N", > (1 +- =) () converge et que

k>1 n
O0 k --k 1 k
li 1 + -- -- | --=]1.
Q 9. En déduire que, lorsque n tend vers +oo,
e "2 nr
PIS, >n)r () .

Q 10. En déduire, à l'aide de la formule de Stirling, qu'il existe un réel à 
EUR [0,1] tel que P(S,, > n) = O(a").

IT Quelques résultats sur les matrices

L'objectif de cette partie est de démontrer un certain nombre de résultats 
d'algèbre linéaire qui serviront dans
la partie suivante.

Notations

-- n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

-- Soit À EUR M,(R). On note sp(A) l'ensemble des valeurs propres complexes de 
À et pour À EUR sp(A),

E\(A) = ker(A -- ÀJ,). On note p(A) = max {À}, À E sp(A)}.
On dit que À EUR M, (R) est positive si tous ses coefficients sont positifs. On 
note alors À > 0.

On dit que À EUR M,,(R) est strictement positive si tous ses coefficients sont 
strictement positifs. On note alors

À > 0.
Un vecteur x de KR" est dit positif si tous ses cocfficients sont positifs. On 
note alors x > 0.

Un vecteur x de KR" est dit strictement positif si tous ses coefficients sont 
strictement positifs. On note alors
x > (0.

On définit une relation d'ordre sur M,,(R) par A>Bsi A--B2>0.

On définit une relation d'ordre sur R" par x > y si æ -- y > 0.

Si À = (a; ji jen EUR Mn(R) alors |A] désigne la matrice [A] = (la; ;|h1éi jen 
EUR MAR).

Si x = (ti)icien EUR C" alors |x| désigne le vecteur |x| = (It;})iéien EUR IR".

On dit que À, EUR sp(À) est une valeur propre dominante de À si, pour tout À 
EUR sp(A) \ {A}, lol > AI.

On se propose de démontrer les deux propositions suivantes :

---- Proposition 1
Si À EUR M,,(R) est une matrice strictement positive, alors p(A) est une valeur 
propre domi-
nante de À. Le sous-espace propre associé ker(A -- p(A)1,,) est de dimension 1 
et est dirigé
par un vecteur propre strictement positif.

---- Proposition 2
Si A EUR M,,(R) est une matrice strictement positive diagonalisable sur C, si Y 
est un vecteur

p
positif non nul de R", alors ) Y converge, lorsque p tend vers +c, soit vers le
P

vecteur nul, soit vers un vecteur directeur strictement positif de ker(A -- 
p(A)1,,).

Dans toute cette partie Il, À EUR M,(R) est une matrice strictement positive.

IT. À --

Q 11. Montrer que, pour tout x EUR KR",

x>0 -- Ax >0,
x >0ctzr £0 -- Ax > 0.

Q 12. Montrer que Vk EUR N*, AF > 0.

Q 13. En déduire que p(A) > 0 puis montrer que p ) -- ].
p

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Q 14. On suppose À diagonalisable sur C. Montrer que, si p(A) < 1 alors lim A°--0. k--+00 Dans la suite du problème, on admettra que cette dernière implication est vraie même si la matrice À n'est pas diagonalisable sur C. IT.B --- On suppose, dans les sous-parties IL.B et IIL.C, que À est une matrice strictement positive vérifiant p(A) = 1. On considère une valeur propre À EUR EUR de À de module 1 et x un vecteur propre associé à À. On se propose de démontrer que 1 est valeur propre de À. Q 15. Montrer que |x| < Alx|. Dans les questions qui suivent, on suppose que [x] < Alx|. Q 16. Montrer qu'il existe EUR > 0 tel que A°|x| -- Alx| > sAx|.

I
Q 17. On pose B -- ï A. Montrer que pour tout k > 1, B*Alx| > Afx|.

+ EUR
Q 18. Déterminer lim BF.

k--+00

Q 19.  Conclure.

II. C -

Q 20. Montrer que À admet un vecteur propre strictement positif associé à la 
valeur propre 1.
Q 21. Montrer que 1 est la seule valeur propre de module 1 de À.

On pourra admettre sans démonstration que si z,,22,.., 2, sont des nombres 
complexes, tous non nuls, tels que
++) = lal+. +72), alors Vj EUR [1L, k], 34; EUR R' tel que z; = À,;21.

Q 22. Montrer que dim(ker(A -- 1,,)) = 1.

Q 23. En regroupant les résultats des sous-parties ILB et IL.C, justifier qu'on 
a démontré la proposition 1.

IT. D --- Dans cette sous-partie, on se propose de démontrer la proposition 2.

On suppose donc que À est strictement positive et diagonalisable sur C.

A P
Pour tout Y EUR M, ,(R), pour tout p EUR N°, on note Y, -- (5) Y.
| p

Q 24. Soit ÀEUR S -- sp(A) \ {o(A)}. Soit Y EUR ker(A -- ÀJ,,). Montrer que la 
suite (Y,),aw converge vers (0.

Q 25. Soit Y EUR M, ,(R) un vecteur positif. Montrer que la suite (Y,),4% 
converge vers le projeté de Y

sur £,(4,(AÀ) parallèlement à & E\(A). Vérifier que, s'il est non nul, ce 
dernier vecteur (le projeté de Y ) est

| L ÀES
strictement positif.

Dans la suite du problème, on admet que la proposition 2 se généralise à toute 
matrice À stricte-
ment positive, même non diagonalisable et que, si Y EUR M n.1(R) est un vecteur 
strictement positif,

alors la suite (Y,) converge vers un vecteur strictement positif dirigeant E, 
(4 (4).

IT.E - Cette sous-partie permet de déterminer la valeur propre dominante p(A) 
d'une matrice carrée A
strictement positive de taille n > 2.

Q 26. Justifier que pour tout entier 4 > 1, A est semblable dans M,,(C) à une 
matrice triangulaire, dont
on précisera les coefficients diagonaux.
tr(AfT1)

Q 27. Montrer que im HAS. = p(À).

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III Une inégalité pour les chaînes de Markov
Dans toute cette partie III, N est un entier naturel non nul fixé et (X,,),en 
une suite de variables aléatoires à
valeurs dans l'intervalle d'entiers [0, N].

On suppose que Vn EUR N*, V(ii,t9,....., 4h41) EUR [0 N]"*?,

PIX, -- bn+1 | X y -- bns À -- bn_1 ..., À] -- i) -- P(Xy:: -- bn+1 | X y -- in)

On suppose que pour tout (i,j) EUR [0,N]°, P(X,., = j|X, = i) ne dépend pas de 
n et est strictement positif.
On note alors q,; = P(X,,1 =3|X, -- à).

On dit que (X,,),er- est une chaine de Markov homogène sur ]0, N], de matrice 
de transition Q.

On attire l'attention sur les faits suivants :

-- ]a numérotation des lignes et des colonnes de Q commence à 0 :

-- () est une matrice carrée de taille N + 1.

Dans toute la suite, pour n > 1 fixé, on pose IT, la matrice colonne |

ITI.A -- Justification de l'existence des lois (IL, ),-:

N
Q 28.  Justifier que Vi EUR [0, NÏ, d Gi = ].
j=0

Q 29.  Justifier que, pour tout n EUR N°, Il,,, -- Q'IL,.

Q 30. En déduire que la loi de X, détermine entièrement les lois de toutes les 
variables aléatoires X,,, n EUR N°.

Dans toute la suite, on considère une telle chaîne de Markov, et on pose

0
-- S, = X, pour n EUR N°:
k=1
-- a j(t) = q,je pour tout (1,3) EUR [0O, N]° et toutt e R:

i,
-- Aft) = CHU) EM v11(R) :

-- 2,6) = P(X; = jje/ pour tout j EUR [0, N] ettoutt e R:

[= |
-- Zi) -- EUR M y11(R)(R).

Zzn(t)

ITI.B --- Définition de la fonction de taux

Soient nr un entier naturel non nul et t un réel fixé.

tS

On admet que l'espérance de la variable aléatoire e'°" est égale

N
E(et5) _ >» vi (4)
j=0

Vo" (#)
où YU) (4) = est le vecteur colonne défini par Y(/(t) = (AR) Z(t).
Vi (#)
Q 31.  Justifier que A(t) possède une valeur propre dominante y(t) > 0.
n(E ts,
Q 32. Montrer que lin M(E(e 7") -- À(t) où ÀA(t) = In(y(t)).
n-- + T1

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ITI.C - Dans cette sous-partie, on étudie deux programmes écrits en langage 
Python. On suppose que la
bibliothèque numpy a été importée à l'aide de l'instruction

import numpy as np

On rappelle que les opérations suivantes sont alors disponibles.
-- range(n) renvoie la séquence des n premiers entiers (0 -- n --1).

-- np.array(u) crée un nouveau tableau contenant les éléments de la séquence u. 
La taille et le type des
éléments de ce tableau sont déduits du contenu de u.

-- a.shape(a) renvoie un tuple donnant la taille du tableau a pour chacune de 
ses dimensions.
-- a.trace(a) donne la trace du tableau a.

-- np.exp(a) renvoie un tableau de même forme que le tableau a dont chaque 
terme est l'exponentielle du
terme correspondant du tableau a (exponentielle terme à terme).

-- np.dot(a, b) calcule le produit matriciel des tableaux a et b (sous réserve 
de compatibilité des dimensions).

-- x * a renvoie un tableau de même forme que le tableau a correspondant au 
produit de chaque terme de a
par le nombre x.

-- a * b renvoie un tableau correspondant au produit terme à terme des deux 
tableaux a et b. Si a et b n'ont
pas le même nombre de dimensions, le plus « petit » est virtuellement étendu 
afin de correspondre à la
forme du plus « grand ». Par exemple si a est une matrice et b un vecteur, b 
doit avoir le même nombre
de composantes que a a de lignes, il est alors virtuellement transformé en 
matrice avec le même nombre de
colonnes que a, chaque colonne valant b.

Q 33. Écrire en langage Python une fonction puiss2k qui prend en argument une 
matrice carrée M et un

entier naturel £ et renvoie la matrice M?2° en effectuant k produits 
matriciels. On pourra exploiter le fait que
2°" _ M2 M2.

Q 34. Expliquer ce que fait la fonction Python maxSp définie par :

def maxSp(Q:np.ndarray, k:int, t:float) -> float:
Q.shapel1l]

np.exp(t * np.array(range(n)))

2Q%XE

puiss2k(A, k)

np.dot(A, B)

return C.trace() / B.trace()

Q D > HP
|

NOR © ND H

ITI.D -- Une majoration théorique et son interprétation

On définit, pour tout x ER, À(x) = sup (tx -- À(t)).
t>0

TT

On admet que cette borne supérieure existe et que la convergence de la suite de 
fonctions ( H
n

Lee 2)

vers la fonction { H In(y(t)) démontrée à la question 32 est uniforme sur R*. 
On admet également dans toute

la suite l'existence de m-- lim --Æ($S,) ainsi que les propriétés suivantes de 
À* :
n--+00

X'(x) =0 pour tout x < m, X(x) > O0 pour tout & > m.

Dans toute la suite, EUR désigne un réel strictement positif.

Q 35. Montrer qu'il existe un rang n, EUR N* tel que, pour tout t EUR RY et 
pour tout n EUR N*,
n>no -- In(E(et®r)) < n(A(t) +6) Q 36. À l'aide de l'inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire et et t > 0,

n, montrer que poura > 1,n 2"

P(S, > nam) < entamAn(A()+E) Q 37. En déduire que pour ñn 2 no. P(S, > nam) < er" (am)-e) 2020-02-20 14:50:25 Page 5/6 CO) 8Y-Nc-sA Q 38. précédente. On pourra établir un lien intuitif avec la loi des grands nombres. III.E -- précédents. On dispose de deux suites finies de réels 0 = #, < t2 < Donner un sens concret à m en rapport avec le processus industriel étudié et interpréter l'inégalité Cette sous-partie constitue une application numérique et peut être traitée en admettant les résultats < æy (L > 2).

La formule de la question 32 appliquée en t,; avec n suffisamment grand permet 
d'estimer À(t;) par une valeur

approchée À(é,).

Q 39.

Justifier que pour tout à EUR {1,...,L},

NOAE qnax (45%; -- \(4,))

constitue une valeur approchée raisonnable de X*(x,).

Le tableau 1 donne ces valeurs pour L = 20.

Q 40.

T; 4,50 4,55 4,60 4,65 4,70
\*(x,) 4,1 x 1071214,1 x 10-12! 4,1 x 10712] 4,1 x 10/2) 4,1 x 10722
T; 4,75 4,80 4,85 4,90 4,95
\*(x,) 5,1 x 10-41! 5,5 x 10% | 1.1 x 102 | 1.6 x 102 | 2,1 x 107?
T; 5,00 5,05 5.10 5,15 5.20
\*(x,) 2,6 x 102 | 3,1 x 102 | 3,6 x 107? | 4,1 x 1072 | 4,6 x 10?
T; 5,25 5,30 5,35 5,40 5,45
\*(x,) 5,1 x 1072 | 5,6 x 1072 | 6,1 x 1072 | 6,6 x 1072 | 7,1 x 1072
Tableau 1

h > 0 tel qu'il existe un rang n9 EUR N° vérifiant pour tout n > no,

P(S, > 1,1 x nm)