Centrale Maths 1 PSI 2024

Mathématiques 1

4 heures

Notations

famille, c'est à dire :

vect(P,,n EUR N) = {g : R :RANEN,

PSI

Calculatrice autorisée

2024

On note R[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans R.

Tout au long du sujet, un polynôme de R[X] sera identifié à sa fonction 
polynomiale.

+00

Une fonction de R dans R continue est dite intégrable sur R si et seulement si 
| |f(x)| dx converge.

-- OO

Pour une famille de polynômes (P,),ew, on appelle vect(P,,n EUR N) l'espace 
vectoriel engendré par cette

N
(ao: ren) EUR RNTL, g -- D_axPr}
k=0

Le sujet illustre des applications du calcul de l'intégrale de Gauss dans 
différents domaines.

La partie I est consacrée au calcul de cette intégrale.

La partie IT est consacrée à la résolution d'une équation différentielle du 
second ordre à l'aide des séries entières.
Elle utilise le résultat final de la partie I. Elle est totalement 
indépendantes des deux parties suivantes.

La partie III est consacrée à l'étude d'un endomorphisme autoadjoint de R[XT et 
d'une suite de polynômes
orthogonaux associés à cet endomorphisme. Elle est indépendante de la partie II.

La partie IV est consacrée à montrer des propriétés sur la famille de polynômes 
construite à la partie IT. Le
but est d'établir que c'est une famille totale d'un espace préhilbertien. Ce 
résultat est en fait un résultat général
dans la théorie des espaces de Hilbert.

I Partie I : Intégrale de Wallis et Intégrale de Gauss

LA -

Q 1.
Q 2.

Q 3.

Q 4.

I.B -

Q 5.

Q 6.

M070/2024-05-02 10:45:34

mr
2

On définit VneN, W,, = Jose dt.

0

Étudier la monotonie de la suite (W,,).

Montrer que Vn EN, (n+2)W,,,9 = (n+1)W,.

Montrer que Vn EN, (n +1)W,W,.,1 = J

2°
En dédui W, T
n déduire que RAR ES
+00 +00
On note I -- | e® dx et J = Î e® dx
0 --00

Justifier l'existence de J.

2 nm
Montrer que lim | (: -- =) dx = I.
n--+00 n
0

Page 1/4

@Jernc-sa |
Q 7. En utilisant le changement de variable + = /nsin u, après avoir justifié 
qu'il est licite, montrer que
pour tout n > l:

Q 8. En déduire la valeur de 7 puis de J.

II Partie II: Autour d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle définie sur R[X] par
Ty" +Yy +xy = 0 (IL.1)
II. A -
Q 9. Déterminer les solutions développables en série entière de IL.1 sur R[X|.

Q 10.  Démontrer qu'il existe une unique solution développable en série 
entière, notée S, telle que S(0) = 1.

1 TT
II.B - On définit, VxeR, G{x) = -- Jos sin(t)) dt.
T

0

Q 11. Montrer que G est définie sur KR et de classe C? sur KR.
Q 12. Montrer que G est solution de IL.1 sur KR.

Q 13. Montrer que G = S.

III Partie III: Étude d'un endomorphisme sur un espace
préhilbertien

TITI. A -- Les polynômes d'Hermite.

On note w l'application de R dans R, de classe C'©, définie pour tout x EUR R 
par w(x) = e *, Pour tout n EUR N,
on note A, l'application de R dans R définie pour tout x EUR R par H,,(x) = 
(--1)"e" wl)(x), où ul" désigne la
dérivée n-ième de w.

En particulier : H,(x) = 1.
Q 14. Calculer, pour tout x ER, H,(x), H,(x), H,(x).
Q 15. Montrer, pour tout ne Net tout x EUR KR:
H,1(x) = 2xH, (x) -- H (x).
Q 16. En déduire que, pour tout n EUR N, Æ,, est un polynôme de degré n dont 
vous déterminerez la parité.
Q 17. Déterminer, pour tout n EUR N, le coefficient dominant de À},
IITI.B -- Un produit scalaire.

+00
On note E l'ensemble des applications f de R dans K continues et telles que | 
f?(x)e dx converge.

OC

Q 18. Montrer que E est un R espace vectoriel contenant R[X|.

Q 19. On note {.,.) l'application de E° dans R qui à tout (f,g) EUR E°

+00
associe %J f(x)g(x)e* dx.

Montrer que (.,.) est un produit scalaire sur E.

M070/2024-05-02 10:45:34 Page 2/4 (cc) BY-NC-SA
On notera ||.[| la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
ITI.C -- Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite
Q 20. Montrer, pour tout n EUR N* et tout P EUR RIX]:
(P.Hy) = (P,H,;),
Q 21. En déduire, pour tout n EUR N* et tout PER, .[X]:(P|H,)=0.
Q 22. Montrer que, pour tout n EUR N, la famille (H,,,..., H,,) est une base 
orthogonale de R,,|X|.
Soit n EUR N.
Q 23. Montrer: |H,|° = (H(,H;).
Q 24. En déduire la valeur de |A, |.

III.D - Étude d'un endomorphisme autoadjoint

On note u, v, w les applications définies de R[X] dans R[X), pour tout P EUR 
RIX|, par :

/

u(P)=-P +2XP +P, v(P)=2XP-P, w(P)=P.
Q 25. Montrer que u est un endomorphisme de R[X1] et que Vn EUR N, R,,[X] est 
stable par u.
Par la suite, on notera u,, l'endomorphisme induit par u sur KR, [X|.
On admet que v et w sont aussi des endomorphismes de R[X\, et on note Id 
l'application identique de R|X.
Q 26. Etablir: vow--u-- Id et wou--=u+lId.
Q 27. En déduire: uov--vou-- 2.
Q 28. Montrer que, pour tout À EUR R et tout P EUR RIX], si u(P) = XP, alors 
u(v(P)) = (À +2)vu(P).
Q 29. Montrer que Vk EUR N, FH, est un vecteur propre de uw et déterminer la 
valeur propre associée.
Q 30. Soit n EUR N. Justifier que u,, est diagonalisable sur KR.
Q 31. Établir, pour tout (P,Q) e R[X}? :

(P,Q') = (u(P).Q)-- (PQ).

Soit n EUR N.
Q 32. Montrer que uw, est un endomorphisme autoadjoint de R,,|X|.

Q 33.  Justifier, d'une deuxième manière, que u,, est diagonalisable sur R dans 
une base orthonormée de
R, [X] formée de vecteurs propres de u,,.

Q 34. Donner une base orthonormale de R,,[X] constituée de vecteurs propres de 
u,,.

IV Partie IV : Une famille totale

Dans cette partie, nous conservons les notations de la partie IIT. L'espace £ 
muni de son produit scalaire et la
famille (H,,),en précédemment construite. Nous allons montrer que (vect(H,,,n 
EUR N))_ = {0}. On dit dans ce
cas là que la famille (H,,),:n est totale dans l'espace préhilbertien E ou 
encore que c'est une base hilbertienne
de E.

Q 35.  SoitéekR. Pour é EUR É, montrer que x f(x ete %" est intégrable sur R.
8

On pourra écrire f(x)e rer = f(x)e-"/2e-ivée-r"/2,

M070/2024-05-02 10:45:34 Page 3/4 (cc) BY-NC-SA
On définit ainsi

+00
MER (NE = | nest at
-- 00
F est une application linéaire sur ÆE, appelée la transformation de Fourier de 
f sur l'espace
préhilbertien Æ. Nous admettrons pour la suite que F est injective sur Æ.

Q 36. Montrer que, pour tout entier naturel p, la fonction x + x? exp(--x*) est 
intégrable sur R.

+00
On note M, -- | x? exp(--x*) dx. Déterminer la valeur de 17

O0

Q 37. Soit f EUR E. Justifier que

Ver NO = [De EE a

Q 38. Montrer que #(f) est développable en série entière sur R.

Dans la suite de la partie, on suppose que f EUR (vect(H,,,n EUR N))-. Le but 
est de montrer que f
est la fonction nulle.

+00
Q 39. Montrer que Vn EUR N. | a" f(x)e dx = 0.

Q 40. En déduire que (ff) est la fonction nulle.

Q 41.  Conclure.

eeoeFrINeee

M070/2024-05-02 10:45:34 Page 4/4 (cc) BY-NC-SA