Centrale Maths 2 PSI 2005

 

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Rappels,'notaüons et objectifs du problème

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et
/Ïn( EUR) l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre n. De plus :

. /Æ,, désigne l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n ;
0 si A E%,,( C) , on note Ai, j le terme de A situé sur la ligne i et la 
colonne j ;

0 pour (a, B) E IR2 , M(a, B) est la matrice E; 'B] ;

CX. ,

c si (av ...,ap) ' et (51, ...,BP) sont . dans IE" , on désigne par

diag (M(av BI), M(a2, BZ), M(ap, B,,» la matrice de %2p définie par blocs

carrés d'0rdre 2 dont les seuls blocs éventuellement non nuls sont les blocs
diagonaux M(av BI), M(a2,132), ..., M(Gp, Bp) ;

0 I n--- est la matrice unité diag(l, ...,1)' élément de %,, ;

0 On rappelle les trois types d'opérations élémentaires sur les lignes d'une
matrice et leur codage : \

échange des lignes i et j

multiplication de la ligne i par a == 0

ajout de la ligne j , multipliée par le scalaire )» , à la ligne i (i ; j ) Li 
<-- Li + LL]. On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice. Si A EÆ',, et si E est la matrice obtenue à partir de In par utilisation d'une opé- ration élémentaire, alors EA (resp. AE ) est la matrice obtenue à partir de A en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de A (on ne demande pas de démontrer ce résultat). On confond respectivement : ' matrice et endomorphisme de IR" (resp. EUR" ) canoniquement associé, 0 vecteur de IR" (resp. C" ) et matrice colonne de ses coordonnées, 0 matrice de taille 1 et scalaire la constituant. On rappelle qu'une symétrie s de IR" est un automorphisme de IR" vérifiant 32 '= s 03 : Idmn ;il existe alors deux sous--espaces supplémentaires E1 et E2 tel que 3 soit la symétrie par rapport à E1 parallèlement à E2 , définie par : s| : ME] et s|Ë2 : --IdE2. En Préciser la s étrie s , c'est déterminer les sous--es aces E et E associés. 1 2 On note (P A) la propriété : (P A) _ A ne possède pas de valeur pr0pre réelle Le but de ce problème 'est d'étudier des matrices de %n vérifiant la propriété (P A). Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particu-- liers dans les parties I et II et (incas plus général dans la partie III. Résultats préliminaires 1) On se propose de démontrer le résultat suivant : « deux matrices de %,," semblables dans %,,'( C) sont semblables dans %,. ». Soit donc A et B deux matrices de "%,, semblables dans %,,(C) et P un élé-- ment de GLn(C) tel que A : PBP"'. a) Montrer qu'il existe R, J EUR%n tels que P = R + iJ avec i2 = -- . b) Montrer que, pour tout't EUR EUR , A(R + tJ) : (R + tJ)B . 0) Montrer qu'il existe to EUR IR tel que det(R + tOJ ) == 0 . d) En déduire que A et B sont semblables dans % ,, . 2) a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle. b) En déduire que s'il existe une matrice A de %,, vérifiant (P A) , alors n est pair. Dans toute la suite du problème, on suppose n pair et on note n = 2 p avec p & ]N \{O}. Partie I - LA - Dans cette section I.A.1, on se place dans IR2 et on désigne par (el, 92) la base canonique, avec e1 : (1,0) et e2 : (0,1). I.A.1) On cdnsidère la matrice M (O, 1) = {O "I] et on désigne par u l'endo- morphisme associé. 1 0 a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de 31 , symétrie par rapport àla droite IRe1 parallèlement àla droite IRe2 . b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l'application u os1 . , En déduire qu'il exiSte une symétrie 32 , qu'on précisera, telle que u = 32 o 31 . I.A.2) On considère la matrice A = E " :l. a) Montrer que A est semblable à M(O, l) et donner une matrice P de /Æ2 à coefficients entiers et de déterminant 1 telle que M(O, ]) : P'1AP. b) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu' on précisera. Soit on et B des nombres réels tels que {SZ--az : 1 et B : [È 43} . c) Montrer que B est semblable a M(O, 1) et donner une matrice Q de %2 telle que M(O, 1)= Q"BQ. Indication : on pourra calculer Be1 : B [à] . d) Montrer que B est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser. LA 3) On considère 1la matrice M(a, B)= [" '5] où a et B sont des nombres réels tel que a2 + [32 B " Montrer que M (a, B) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser. I.A.4) On considère à présent la matrice M (a, B): {a --[3] où a et B sont des (1 nombres réels tels que a2 + {32 == 0. Montrer que M (a, B) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie. cd a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de A pour que (P A) soit réalisée. b) En supposant que A vérifie (P A) , et en étudiant la diagonalisation dans %2( EUR) de A , montrer qu'il existe une unique matrice, semblable à A , du type M(a, B) avec a réel et |?» réel strictement positif. Expliciter a et B en fonction de a , b , c et d . c) Que peut--on dire de det(A) si A vérifie (P A) et est dans /Æ3 ? d) Montrer que A est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie. I.A.5) Soit A = {a "] appartenant à %2. LA. 6) On suppose que IR2 est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i. e. (e,, e2) est orthonormée directe). Que sont 2alors les endomorphis-- mes de matrice M(a, B) (avec a et B réels tels que (1 22+6 #0) dans la base canonique? LB - Soit B une matrice de %,, vérifiant B2 : Ip. Soit A la matrice de %,, définie par blocs sous la forme A = F; "îä . I.B.1) Montrer que B est diagonalisable dans %,, et qu'il existe une matrice Q de %,, inversible, des entiers naturels q et r tels que Q"IBQ soit sous la forme d'une matrice par blocs {% î:] _ r On convient que cette matrice vaut I p lorsque r = 0 et q = p et qu'elle vaut --Ip lorsque q = 0 et r = p . I.B.2) Déterminer une matrice par blocs P de %,, inversible et constituée de multiples de I p telle que : P"1 AP : [; "fl . I.B.3) En déduire que A est semblable dans %,, àla matrice 0 --Iq 0 0 [, [IQ o} 0 o --1, 13.4) Montrer alors que A est semblable dans %,, à une matrice du type diag(M(0, l), M(O, 1),.. .,,M(O l)). I.B.5) Exemple . on considère dans /%4 la matrice 46--10--15 A: --2--4 510_ 2 3 --4 --6 -1--22 4 a) Déterminer une matrice inversible M de %.; telle que M'AM = diag(M(0, 1), M(O, 1)). b) En utilisant la technique vue à la question LA 1, montrer que A est la matrice, dans la base canonique de IR4 de la composée de deux symétries qu' on précisera. Partie II - II.A - Dans cette question, A désigne une matrice de %,, telle que A2 = --I n . II.A.I) Montrer que (P A) est réalisée. II.A.2) Si E est obtenue à partir de I n par utilisation d'une opération élémen-- taire, comment déduit-on EAE"1 de A ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme : a)Li <--> L j ,
b)L,-- *-- aL, avec a & IR* , _
c)L,+--Li+ij avec kEIR. . \>

II.A.3)

a) En utilisant II.A.1, montrer qu'il existe iz 2 tel que Ai,1 :: 0 .

b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe P EJÆ,,
inversible telle que si A' : PAP"1 alors A'i,1 : 0 si i:2 et A'2,1 : 1.

c) Montrer alors que A'i,2 : 0 si i:1 et A'1,2 : --1. «
II.A.4) Montrer qu'il existe Q E%,, inversible telle que QA'Q"1 soit de la

forme par blocs [M(g' 1) ;] avec B E/%,, _2 .

II.A.5) Montrer que A est semblable à une matrice du type
diag(M(0, 1), M(O, 1), M(0, ....

II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver
une matrice M inversible de %4 telle que MAM"1 : diag(M(O, 1), M(O, 1)) où A
est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les 
opérations
élémentaires utilisées.

II.B - Dans cette question A est une matrice
de %,, vérifiant (A --- aIn)2 + BzIn : 0 avec (a,B) & IR x IR* .

II.B.l) Montrer que A vérifie (P A).

II.B.2) , Montrer que A est semblable àla matrice d'ordre n
diag(M(a, B), M(a, (3), ..., M(% B))-
Que peut-on dire de det(A) ?

II.C - Soit u l'endomorphisme de IRn _ 1[X ] défini par : pour tout polynôme P 
de
IRn_ 1[X], u(P) vérifie :

Vx & IR* , u(P)(x) : x""1P( :l ) .

x

II.C.1)_ Déterminer pour quelles valeurs de i et j dans {O, ..., n -1} , le plan
vect (X ',XJ ) est stable par u.

II.C.2) En déduire que la matrice A de %,, telle que An +1_,-,,-- : (--l)i"1 si

ls i s n , les autres coefficients de A étant nuls, est semblable à
diag(M(0, 1), M(O, 1), M(O, l)).

Partie III -

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de %,, vérifiant (P A) .
On se propose de montrer l'équivalence entre les trois propositions suivantes :
i) A est semblable à une matrice du type '

diag(M(ab B,), M(a2, p,), M(ap, B,,)) avec (ak,Bk) e 13 x 1Rî pour 1 5 k 5 p.
ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé
par A. '

iii) Tout sous--espace vectoriel de IR" de dimension 2 stable par A possède
un sous--espace vectoriel supplémentaire stable par A.

III.A - Dans cette section III.A, on montre que (i) => (ii).

III.A.1) Montrer que si (01,3) EUR IR x IR* , le polynôme (X -- a)2 + [32 ne 
possède que
des racines simples complexes non réelles.

III.A.2) En déduire que (i) =>(ii).

III.B - Dans cette section III.B,on montre que (ii) => (iii).

On suppose donc que A vérifie (ii). Soit E un sous-espace vectoriel de IR" de
dimension 2 et stable par A. Soit ( f 1, f 2) une base E que l'on complète en 
une
base (f,,fz,..., fn ) de IR".

III.B.1) Montrer que dans la base ( f 1, f 2, f n) de IR" , l'endomorphisme 
cano-
niquement associé à A a une matrice s'écrivant par blocs :

'B avec A'E/Ë2.
0 -C

III.B.2) Vérifier que A' ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire
que A' est semblable à une matrice du type M (a, B) avec (01,5) EUR IR x IR* .

III.B.3) Montrer que E est inclus dans Ker((A -- aIn)2 + 621,1) .

III.B.4) Montrer que Ker((A -- (un)2 + 621 n) possède un sous-espace vectoriel
supplémentaire stable par A dans IR" .
III. B. 5) En utilisant une technique analogue a celle vue dans les parties II. 
A. 3

et II. A. 4, montrer que E possède un supplémentaire stable par A dans
Ker((A-- 011 "Z) + B 2I n), puis conclure que iii) est réalisé.

III.C - En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) = (i).

III.D - Exemple :
Soit
--1 ----2 4 0
A = 1 --3 0 4

'--205--2°
0--213

En admettant que A annule (X 2 + 1)(X2 -- 4X + 5) , déterminer une matrice 
inver--
sible M de % 4 et des réels a , B , a' et 6' tels que

A=M|:M(a'fi) 0 :lM_l.
0 M(G',B') '

coo(FlN ...