Centrale Maths 2 PSI 2009

- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

- version du 12 mars 2009 10h51

2

2

l'endomorphisme f dans la base B.

On admet que ce résultat est encore vrai si A n'est pas inversible.

I.C - On suppose que A est inversible. On note I la matrice identité d'ordre n.
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA - xA, démontrer
que pour tout x réel ou complexe, on a : det(AB - xI) = det(BA - xI).
I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou 
complexes, avec le même ordre de multiplicité.

I.B - Soit  une valeur propre réelle non nulle de AB, X  R n un vecteur propre 
de
AB associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA.
I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.

I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, det(AB) = 0.
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur
propre de BA.

Page 1/3

En particulier, si B1 = B2 = B, on note MatB ( f ) = MatB1 ,B2 ( f ) la matrice 
de

2

PB1 B2 la matrice de passage de B1 vers B2 .
Si f est un endomorphisme de R n , on note MatB1 ,B2 ( f ) la matrice de 
l'endomorphisme f par rapport à la base B1 au départ et B2 à l'arrivée, 
c'est-à-dire la matrice

dont les colonnes sont les vecteurs f (e1 ) B ,
f (e2 ) B , . . . ,
f (en ) B .

Si B est une base de R n , on note (x1 , . . . , xn )B le vecteur de R n de 
coordonnées
(x1 , . . . , xn ) dans la base B.
Si B1 = (e1 , e2 , . . . , en ) et B2 = (e1 , e2 , . . . , en ) sont deux bases 
de R n , on note

On peut ainsi écrire le produit scalaire < X, Y > de deux vecteurs
p X et Y de R
p
t
sous la forme XY et la norme ||X|| = < X, X > sous la forme tXX.
Pour 1 , . . . , n des réels, on note Diag(1 , . . . , n )  Mn (R) la matrice 
diagonale
avec 1 , . . . , n comme coefficients diagonaux.
On note O(n) l'ensemble des matrices orthogonales de Mn (R).

n

Soit n > 2 un entier et A, B deux matrices appartenant à Mn (R).
On propose de démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres avec le
même ordre de multiplicité.

PSI

Dans le problème, R désigne l'ensemble des nombres réels ; Mn (R) désigne 
l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
L'espace vectoriel
euclidien R n est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace 
vectoriel R n
et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre n.

Filière

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

MATHÉMATIQUES II

Préliminaires

trs trsés

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2009

Filière PSI

-1 0
0 1 .
0 0

III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie 
II.
III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA.
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3
avec 1 > 2 > 3 .

On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base 
canonique de R3 .

1
Dans cette partie, on pose A =  1
0

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n  R + des réels positifs.
Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que :
A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2  1 , . . . , n sont les valeurs singulières 
de A.
II.C.2) Soient A, B  Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que :
A et B ont les mêmes valeurs singulières  (R1 , R2 )  O(n)2 , A = R1 BR2 .

II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, 
on
note  = rg (tAA) = rg (g).
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . 
. . , Xn )
telle que :
· Pour tout entier i  [1, ], tAAXi = i Xi ;
· (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f .
II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille 
orthogonale de
vecteurs non nuls et une base de Im ( f ).
II.B.3) Pour tout entier i  [1, ], calculer ||AXi ||.
II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ).
II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2  O(n) telles 
que
A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 .

Page 2/3

On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc
r+1 = · · · = n = 0.
II.A.5)
a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM,
avec M  Mn (R).
b) Démontrer que 1 , . . . , n  [0, +[.
Pour i  p
{1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis
par i = i .
II.A.6) Soient U, V  O(n).
Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A  Mn (R) est une matrice 
symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A.

II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA.
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout X  R n , AX = 0 = tAAX = 0.
b) On suppose que X  R n est tel que tAAX = 0.
Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0.
c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA).
II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q  O(n) et D  Mn (R)
diagonale telles que
t
AA = PD tP et A tA = QD tQ
On pose D = Diag(1 , . . . , n )
II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls.

Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à 
Mn (R)
et on pose r = rg (A).
On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base
canonique B sont respectivement A et tAA.

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

MATHÉMATIQUES II

Filière PSI

-1 0
0 1 .
0 0

III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie 
II.
III.A.1) Déterminer le rang de A et calculer tAA.
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de A que l'on notera 1 , 2 , 3
avec 1 > 2 > 3 .

On note f l'endomorphisme de R3 canoniquement associé à A et B la base 
canonique de R3 .

1
Dans cette partie, on pose A =  1
0

Partie III - Étude géométrique d'un exemple

II.C II.C.1) Soient 1 , . . . , n  R + des réels positifs.
Démontrer qu'il existe deux matrices Q1 et Q2 dans O(n) telles que :
A = Q1 · Diag(1 , . . . , n ) · Q2  1 , . . . , n sont les valeurs singulières 
de A.
II.C.2) Soient A, B  Mn (R) deux matrices réelles. Démontrer que :
A et B ont les mêmes valeurs singulières  (R1 , R2 )  O(n)2 , A = R1 BR2 .

II.B - On rappelle que A = MatB ( f ) et tAA = MatB (g) et dans cette section, 
on
note  = rg (tAA) = rg (g).
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de R n notée B1 = (X1 , . 
. . , Xn )
telle que :
· Pour tout entier i  [1, ], tAAXi = i Xi ;
· (X+1 , . . . , Xn ) soit une base de Ker f .
II.B.2) Démontrer que la famille (AX1 , . . . , AX ) est une famille 
orthogonale de
vecteurs non nuls et une base de Im ( f ).
II.B.3) Pour tout entier i  [1, ], calculer ||AXi ||.
II.B.4) Démontrer qu'il existe une base orthonormée B2 de R n telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , . . . , n ).
II.B.5) Démontrer qu'il existe deux matrices orthogonales P1 , P2  O(n) telles 
que
A = P1 · Diag(1 , . . . , n ) · P2 .

Page 2/3

On suppose par la suite que 1 , . . . , r sont non nuls et donc
r+1 = · · · = n = 0.
II.A.5)
a) En utilisant tAA = PD tP, démontrer qu'on peut écrire D sous la forme tMM,
avec M  Mn (R).
b) Démontrer que 1 , . . . , n  [0, +[.
Pour i  p
{1, . . . , n}, on appelle « valeurs singulières de A » les n nombres i définis
par i = i .
II.A.6) Soient U, V  O(n).
Démontrer que les valeurs singulières de U AV sont exactement celles de A.
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que A  Mn (R) est une matrice 
symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de A en fonction des valeurs propres de A.

II.A - Diagonalisation de AtA et de tAA.
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout X  R n , AX = 0 = tAAX = 0.
b) On suppose que X  R n est tel que tAAX = 0.
Calculer tX tAAX et en déduire que AX = 0.
c) En déduire que Ker g = Ker f puis que rg(A) = rg (tAA).
II.A.2) Démontrer que tAA et A tA sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe P, Q  O(n) et D  Mn (R)
diagonale telles que
t
AA = PD tP et A tA = QD tQ
On pose D = Diag(1 , . . . , n )
II.A.4) Démontrer que D possède exactement r termes diagonaux non nuls.

Dans cette partie II, on fixe un entier n, n > 2, une matrice A appartenant à 
Mn (R)
et on pose r = rg (A).
On note f et g les deux endomorphismes de R n dont les matrices dans la base
canonique B sont respectivement A et tAA.

Partie II - Valeurs singulières d'une matrice

MATHÉMATIQUES II

Partie IV - Image de la sphère unité

y2
y2
y2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S  12 + 22 + 32 = 1
1
2
3
IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S .

Filière PSI

· · · FIN · · ·

V.E - Soit Y  R n fixé.
On considère le système linéaire AX = Y, où X  R n est l'inconnu. On suppose
que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X 
tels que
la norme de Y - AX soit minimale.
Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs.

V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h).

V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base 
canonique sont respectivement A et P.
Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.

V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une 
matrice
inversible, A+ = A-1 .

V.A - Démontrer que rg(A) = p.

On pose P = AA+ .

On définit le pseudo-inverse A+ de A par

1,
1, ,
+
t
,
,
···
0 · · · 0 · t Q1
A = Q2 · Diag
1
p

forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2  O(n) sont 
deux matrices
orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs.

Soit n un entier, n > 2 et A  Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, 
sous la

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1.
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle.
On la note 1 .
IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur.

Page 3/3

IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3.
IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement 
positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B  telle que :

Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on 
étudie
S l'ensemble S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1}.

III.B.2)
III.B.3)

Démontrer que S = {QDX  , X   R3 , ||X  || = 1}.
Démontrer que dans une base adaptée B  à déterminer,
 2
y2
 y1
+ 22 6 1
2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S 
2
 1
y3 = 0
III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S.

S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x  R3 , ||x|| = 1}.
C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de
norme 1 (sphère unité de R3 ).
III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base
et une équation cartésienne.

III.B - On étudie la partie S de R3 définie par

III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 .
On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ).

III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on
notera B1 = (X1 , X2 , X3 ).
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres 
correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ).

MATHÉMATIQUES II

Partie IV - Image de la sphère unité

y2
y2
y2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S  12 + 22 + 32 = 1
1
2
3
IV.A.3) Préciser la nature géométrique de S .

Filière PSI

· · · FIN · · ·

V.E - Soit Y  R n fixé.
On considère le système linéaire AX = Y, où X  R n est l'inconnu. On suppose
que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs X 
tels que
la norme de Y - AX soit minimale.
Démontrer que X = A+ Y est l'un de ces vecteurs.

V.D - Démontrer que Im ( f ) = Im (h).

V.C - On note f et h les endomorphismes R n dont les matrices dans la base 
canonique sont respectivement A et P.
Démontrer que h est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.

V.B - Simplifier le produit matriciel AA+ et en déduire que, si A est une 
matrice
inversible, A+ = A-1 .

V.A - Démontrer que rg(A) = p.

On pose P = AA+ .

On définit le pseudo-inverse A+ de A par

1,
1, ,
+
t
,
,
···
0 · · · 0 · t Q1
A = Q2 · Diag
1
p

forme A = Q1 · Diag(1 , . . . , p , 0, . . . , 0) · Q2 , où Q1 , Q2  O(n) sont 
deux matrices
orthogonales et 1 , . . . , p des réels strictement positifs.

Soit n un entier, n > 2 et A  Mn (R), qu'on écrit, comme dans la Partie II, 
sous la

Partie V - Pseudo-inverse d'une matrice

IV.B Dans cette section, on suppose que rg (A) = 1.
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de A est non nulle.
On la note 1 .
IV.B.2) Démontrer que S est un segment dont on donnera la longueur.

Page 3/3

IV.A Dans cette section on suppose que rg (A) = 3.
IV.A.1) Démontrer que A admet trois valeurs singulières 1 , 2 , 3 strictement 
positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de R3 notée B  telle que :

Dans cette partie, comme dans la Partie III, A est une matrice de M3 (R) et on 
étudie
S l'ensemble S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1}.

III.B.2)
III.B.3)

Démontrer que S = {QDX  , X   R3 , ||X  || = 1}.
Démontrer que dans une base adaptée B  à déterminer,
 2
y2
 y1
+ 22 6 1
2
y = (y1 , y2 , y3 )B   S 
2
 1
y3 = 0
III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble S.

S = {AX ; X  R3 , ||X|| = 1} = { f (x) ; x  R3 , ||x|| = 1}.
C'est donc l'ensemble décrit par f (x) quand x décrit l'ensemble des vecteurs de
norme 1 (sphère unité de R3 ).
III.B.1) Démontrer que S est une partie d'un plan dont on déterminera une base
et une équation cartésienne.

III.B - On étudie la partie S de R3 définie par

III.A.5) Démontrer que A = PB B2 · Diag(1 , 2 , 3 ) · tPB B1 .
On pose pour la suite P = PB B1 , Q = PB B2 et D = Diag(1 , 2 , 3 ).

III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de tAA que l'on
notera B1 = (X1 , X2 , X3 ).
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres 
correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée B2 = (Y1 , Y2 , Y3 ) telle que
MatB1 ,B2 ( f ) = Diag(1 , 2 , 3 ).

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