Centrale Maths 2 PSI 2010

- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 11 decembre 2009 14h59

Calculatrices autorisées

MATHÉMATIQUES II

Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de R, de E ou de L ( E).

GL( E) est l'ensemble des automorphismes de E. C'est un groupe pour la 
composition des applications. L'application identité est notée IdE .

On appelle endomorphisme antisymétrique de E tout endomorphisme de E
tel que f  = - f . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de E est
un sous-espace vectoriel de L ( E). On pourra utiliser cette propriété sans 
démonstration.

On appelle similitude de E tout endomorphisme f de E du type g avec   R
et g  O( E), où O( E) est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
On rappelle que O( E) est un groupe pour la composition des applications.
On désigne par Sim( E) l'ensemble des similitudes de E.

·

·

·

·

Filière

PSI

Partie I - Premières propriétés

Soit g un endomorphisme antisymétrique de E, tel que f g = - g f .
Montrer que :  x  E, < f ( x ), g( x ) >= 0.

Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E).

Ainsi 1 6 dn 6 n.

On fixe x  E \ {0}. En considérant  : f 7 f ( x ), application linéaire de V 
dans E,
montrer que dim(V ) 6 n.

I.C.2)

I.C - Encadrement de dn
I.C.1) Montrer que dn > 1.

I.B.4) Que vaut f 2 = f  f si f est un automorphisme orthogonal et 
antisymétrique de E ?

I.B.3)

I.B.2) Montrer que, si S est un sous-espace vectoriel de E stable par f , alors 
S est
stable par f . Montrer que les endomorphismes induits par f sur S et sur S sont
antisymétriques.

Soit f un endomorphisme antisymétrique de E.
I.B.1) Montrer que :  x  E, < x, f ( x ) >= 0.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice 
orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

iii) la matrice de h dans une base orthonormale de E est colinéaire à une 
matrice
orthogonale.

ii) h h est colinéaire à IdE ;

i) h est élément de Sim( E) ;

I.A.2) Soit h  L ( E) un endomorphisme de E. Montrer que les propriétés 
suivantes sont équivalentes :

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de
GL( E) pour la composition des applications.

I.A - Étude de Sim( E)

Page 1/3

Note : on peut démontrer ­ et nous l'admettrons ­ que la notation dn est 
licite, car
cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de E.

E étant un espace euclidien de dimension n, dn est la dimension maximale d'un
sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E) c'est-à-dire d'un 
sous-espace
vectoriel de L ( E) formé de similitudes.

Le but du problème est de calculer l'entier dn défini de la manière suivante :

Objectif du problème

L ( E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E. Si f et g sont dans
L ( E), f g désigne la composée f  g des applications et f  désigne 
l'endomorphisme adjoint de f .

·

Dans tout le texte, n est un entier strictement positif et E est un espace 
euclidien de
dimension n ; on note < x, y > le produit scalaire de deux éléments x et y de E 
; La
norme utilisée est la norme euclidienne associée.

Définitions et notations

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j 
hi = 0.
Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ?

On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de
Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire.

Filière PSI

Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2.

Montrer que  =  =  = 0 et que   {-1, 1}.

Soit un vecteur fixé x  E de norme 1.

a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une 
base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , ,  tel que :
f 3 ( x ) = x +  f 1 ( x ) +  f 2 ( x ) +  f 1 f 2 ( x ).

On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) 
d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux,
antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0

II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4.
II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 
4
inclus dans Sim( E).

II.A.2)

II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il 
existe
d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que 
les f i soient des
automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f 
i = 0.
Soit x  E de norme 1.
a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille 
orthonormale, et

que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 .
b) En déduire que dn-4 > 3

II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair.

Partie II - Étude dans des dimensions paires

Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés :
·
il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans
Sim( E)
il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy·
métriques de E vérifiant :
i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que 
les hi
soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= 
j,
hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace 
vectoriel de
L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E).

Page 2/3

I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la 
question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique.
a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE .
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout 
f , g
de L ( E) ( f | g) = tr ( f  g).

I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que 
pour tout
i  {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme 
combinaison de
f i et id E ).

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques
Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) 
et de
dimension d > 2.
Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V.
I.D.1) Montrer que pour tout i  {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire 
à IdE .

C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des
sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE .

On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 .
En déduire que dn = 1.
I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de 
dimension
d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans 
Sim( E),
de même dimension d, et contenant IdE .

I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g 
appartiennent
à GL( E), montrer qu'il existe   R tel que f + g soit non inversible.

I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace
vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec 
soin,
que d2 = 2.

MATHÉMATIQUES II

c) Montrer que les hi sont antisymétriques et vérifient : i 6= j, hi h j + h j 
hi = 0.
Que faire pour que les hi soient aussi des automorphismes orthogonaux ?

On considère, dans la suite de cette question, une base (h1 , ..., hd-1 ) de
Vect( g1 , ..., gd-1 ) orthogonale pour ce produit scalaire.

Filière PSI

Dans cette question, n = 2p, avec p entier impair. Montrer que dn = 2.

Montrer que  =  =  = 0 et que   {-1, 1}.

Soit un vecteur fixé x  E de norme 1.

a) Justifier que la famille B = x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est une 
base de E puis montrer qu'il existe des nombres réels , , ,  tel que :
f 3 ( x ) = x +  f 1 ( x ) +  f 2 ( x ) +  f 1 f 2 ( x ).

On considère alors, conformément à I.D.4 une famille ( f 1 , f 2 , f 3 ) 
d'éléments de L ( E) telle que les f i soient des automorphismes orthogonaux,
antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0

II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4.
II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension 
4
inclus dans Sim( E).

II.A.2)

II.A.1) Soit p un entier impair tel que dim( E) = n = 2p. On suppose qu'il 
existe
d > 3 et une famille ( f 1 , f 2 , ..., f d-1 ) d'éléments de L ( E) telle que 
les f i soient des
automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f 
i = 0.
Soit x  E de norme 1.
a) Montrer que ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x )) est une famille 
orthonormale, et

que S = Vect x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 1 f 2 ( x ) est stable par f 1 et f 2 .
b) En déduire que dn-4 > 3

II.A - Dans cette section, dim( E) = 2p où p est un entier impair.

Partie II - Étude dans des dimensions paires

Ainsi, si dim( E) > 2, sont équivalentes les deux propriétés :
·
il existe un sous-espace vectoriel de L ( E) de dimension d > 2 inclus dans
Sim( E)
il existe une famille ( f 1 , ..., f d-1 ) d'automorphismes orthogonaux antisy·
métriques de E vérifiant :
i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

I.D.4) Réciproquement, soit (h1 , ..., hd-1 ) une famille de L ( E) telle que 
les hi
soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous i 6= 
j,
hi h j + h j hi = 0. Montrer que Vect(IdE , h1 , ..., hd-1 ) est un sous-espace 
vectoriel de
L ( E), de dimension d, inclus dans Sim( E).

Page 2/3

I.D.3) On fixe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V comme définie à la 
question précédente c'est-à-dire avec pour tout i, gi antisymétrique.
a) Montrer que pour tout i 6= j, gi g j + g j gi est colinéaire à IdE .
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur L ( E) en posant, pour tout 
f , g
de L ( E) ( f | g) = tr ( f  g).

I.D.2) Montrer qu'il existe une base (IdE , g1 , ..., gd-1 ) de V telle que 
pour tout
i  {1, 2, . . . , d - 1}, gi soit antisymétrique (on cherchera gi comme 
combinaison de
f i et id E ).

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques
Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) contenant IdE , inclus dans Sim( E) 
et de
dimension d > 2.
Soit (IdE , f 1 , ..., f d-1 ) une base de V.
I.D.1) Montrer que pour tout i  {1, 2, . . . , d - 1}, f i + f i est colinéaire 
à IdE .

C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des
sous-espaces vectoriels de L ( E), inclus dans Sim( E) et contenant IdE .

On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de f g-1 .
En déduire que dn = 1.
I.C.5) Soit V un sous-espace vectoriel de L ( E) inclus dans Sim( E), de 
dimension
d > 1. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel W de L ( E) inclus dans 
Sim( E),
de même dimension d, et contenant IdE .

I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose n impair. Si f , g 
appartiennent
à GL( E), montrer qu'il existe   R tel que f + g soit non inversible.

I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose n = 2. Expliciter un espace
vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec 
soin,
que d2 = 2.

MATHÉMATIQUES II

On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen-

II.C.6)

En déduire la valeur de d12 .

- x6
- x7
x3
- x5
- x2
x4
x0
x1

· · · FIN · · ·

II.E - Conjecture du résultat général
Conjecturer la valeur de dn dans le cas général.

Que peut-on en déduire ?

est une matrice de similitude.

Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 )  R8 ,

x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5
 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3

 x2 x4
x0 - x1 - x6 x7

 x4 - x2 x1
x0
x7
x6

 x3 x5
x
-
x
x
-
x1
6
7
0

 x5 - x3 - x7 - x6 x1
x
0

 x6 x7 - x3 x5
x2 - x4
x7 - x6 x5
x3 - x4 - x2

II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8

Page 3/3

d) Montrer que la somme de W et V  est directe et que W  V  est stable par
f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction.

Ainsi W = f 4 (V  ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4.

c) Soit e fixé dans V  , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce 
n'est
pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une 
base orthonormale
de V  . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour 
montrer que :
y  V  , f 4 (y)  V.

Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 
.

b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V  , i = 1, 2, 3.
Justifier qu'il existe   {-1, 1} tel que f 3 =  f 1 f 2 .

a) Montrer que V  est stable par f 1 , f 2 , f 3 .

II.C.5)
sion 8.

II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 
1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x ))
est une famille orthonormale.

On fixe un tel x pour la suite.

Montrer qu'il existe x  E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0.

II.C.1)

En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 .
II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et 
non
colinéaire à IdE .
II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ?

II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12
On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 
d'automorphismes
orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 )  R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 
) est une matrice
de similitude. Qu'en conclure ?

c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , 
x2 , x3 ) dans B
de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 .

b) Montrer que f 3 =  f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose 
dans la
suite que f 3 = f 1 f 2 .

MATHÉMATIQUES II

- x7
x6 

- x5 

- x3 

x4 

x2 

- x1 
x0

Filière PSI

On pose V = Vect( F ). C'est donc un sous-espace vectoriel de E de dimen-

II.C.6)

En déduire la valeur de d12 .

- x6
- x7
x3
- x5
- x2
x4
x0
x1

· · · FIN · · ·

II.E - Conjecture du résultat général
Conjecturer la valeur de dn dans le cas général.

Que peut-on en déduire ?

est une matrice de similitude.

Montrer que, quel que soit ( x0 , ..., x7 )  R8 ,

x0 - x1 - x2 - x4 - x3 - x5
 x1 x0 - x4 x2 - x5 x3

 x2 x4
x0 - x1 - x6 x7

 x4 - x2 x1
x0
x7
x6

 x3 x5
x
-
x
x
-
x1
6
7
0

 x5 - x3 - x7 - x6 x1
x
0

 x6 x7 - x3 x5
x2 - x4
x7 - x6 x5
x3 - x4 - x2

II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8

Page 3/3

d) Montrer que la somme de W et V  est directe et que W  V  est stable par
f 1 , f 2 , f 3 , f 4 . Aboutir alors à une contradiction.

Ainsi W = f 4 (V  ) est un sous-espace vectoriel de V de dimension 4.

c) Soit e fixé dans V  , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce 
n'est
pas à refaire), on peut montrer que (e, f 1 (e), f 2 (e), f 1 f 2 (e)) et une 
base orthonormale
de V  . En remarquant que f 3 (e) = f 1 f 2 (e), utiliser cette base pour 
montrer que :
y  V  , f 4 (y)  V.

Quitte à remplacer f 3 par - f 3 , on considère pour la suite que f 3 = f 1 f 2 
.

b) On note f i l'endomorphisme induit par f i sur V  , i = 1, 2, 3.
Justifier qu'il existe   {-1, 1} tel que f 3 =  f 1 f 2 .

a) Montrer que V  est stable par f 1 , f 2 , f 3 .

II.C.5)
sion 8.

II.C.4) Montrer que F = ( x, f 1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x ), f 1 f 2 ( x ), f 
1 f 3 ( x ), f 2 f 3 ( x ), f 1 f 2 f 3 ( x ))
est une famille orthonormale.

On fixe un tel x pour la suite.

Montrer qu'il existe x  E de norme 1 tel que < f 1 f 2 f 3 ( x ), x >= 0.

II.C.1)

En utilisant f 4 , montrer que f 3 ne peut être égal à ± f 1 f 2 .
II.C.2) Montrer que f 1 f 2 f 3 est un automorphisme orthogonal, symétrique et 
non
colinéaire à IdE .
II.C.3) Quel est le spectre de f 1 f 2 f 3 ?

II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12
On suppose qu'il existe dans L ( E), une famille ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) 
d'automorphismes
orthogonaux antisymétriques vérifiant : i 6= j, f i f j + f j f i = 0.

II.B.2) Vérifier que pour tout ( x0 , x1 , x2 , x3 )  R4 , M( x0 , x1 , x2 , x3 
) est une matrice
de similitude. Qu'en conclure ?

c) Si x0 , x1 , x2 , x3 sont des nombres réels, donner la matrice M( x0 , x1 , 
x2 , x3 ) dans B
de l'endomorphisme x0 IdE + x1 f 1 + x2 f 2 + x3 f 3 .

b) Montrer que f 3 =  f 1 f 2 . Quitte à changer f 3 en son opposé, on suppose 
dans la
suite que f 3 = f 1 f 2 .

MATHÉMATIQUES II

- x7
x6 

- x5 

- x3 

x4 

x2 

- x1 
x0

Filière PSI