Centrale Maths 2 PSI 2011

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EDNEDlIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Représentation connaissant les distances mutuelles

Notations

Dans tout le problème, n et p désignent des entiers naturels > 1.

1

1) eMn71("äâ).

On définit les deux matrices suivantes de Mn(ä)

\

On note la matrice colonne Z = k

1
.]:th et P=In----J
n

On considère l7espace vectoriel Rp muni du produit scalaire canonique que l7on 
notera < ',. > et l7espace de
matrices Mn (R) muni du produit scalaire ( l ) défini par

V(M, N) e (Mn(R))2, (M l N) = tr (ÊMN)

On note ll ' H la norme euclidienne associée au produit scalaire < ',. > et H ' 
lan(R) la norme euclidienne sur
Mn(R) associée au produit scalaire ( l ).

Sn (Q) désigne le sous--espace de Mn(R) des matrices symétriques réelles et 5:{ 
(R) le sous--ensemble de Sn (R)
des matrices à valeurs propres positives ou nulles.

On (Q) désigne Pensemble des matrices orthogonales de MAR).

I Centrage de matrices

I.A * Soit 7r Pend0m0rphisme de R" dont la représentation dans la base 
canonique est la matrice P.

Montrer que W est un projecteur orthogonal et en préciser les éléments 
caractéristiques.
I.B * On considère Vendomorphisme @ de Mn (R) défini par :

VM & M..(R), ®(M) = PMP

I.B.l) Montrer que (I) est un projecteur orthogonal dans l7espace euclidien (Mn 
(R), ( \ ).)
I.B.2) Montrer que Im = {M EUR Mn(R) \ MZ = 0 et tMZ = 0}.
I.C * Soit M = (m") EUR SAR). On pose

TL
E m1i
i=1

S(M) = MZ =

||
%
,à
$

II
A
N
52
$
v

n
g mni
i=1

Montrer que

O'(M)

2 .]

®(M) = M = l (S(M)ÊZ + ZÊS(M)) +

TL TL

II Produit scalaire à partir des distances mutuelles (relation de
Torgerson)

n
Soient U1,U2, ' ' ' , U... n éléments de Rp vérifiant z Ui = O.
7,=1

Géométriquement, U1, U2, ' ' ' , Un désignent des points dïsobarycentre 
lbrigine.

On définit la matrice des distances mutuelles au carré, élément de Sn (R), de 
la façon suivante :

20 avril 2011 16:23 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

M= ii "== tU,-Uj
en fonction de
1 1
aij = DE (S(M), + S(M),) + ÆU(M)

et de mij (relation de Torgerson).

Ainsi la matrice des distances mutuelles au carré permet de retrouuer la 
matrice des produits scalaires tUU EUR MAR).

III Condition pour qu'une matrice soit une matrice de distances

mutuelles au carré
Soit M = (mij)(i,j)EURfll,nfl2 EUR SAR) telle que pour tout couple (i,j) EUR 
\\l,n\\2, mij } 0 et rr"... = O.
III.A * On suppose dans cette question qu'il existe U1,U2,' .. ,Un éléments de 
Rp tels que pour tout
. . 2
(%])Élllan127mij = \\Ui * Uj\\ .
III.A.I) Montrer que les valeurs propres de (M ) sont toutes réelles et 
négatives ou nulles.

III.A.2) On suppose de plus (quitte a effectuer une translation) que les (U,) 
sont centrés, c'est--à--dire

que 2 U,- = O.
i=1

Montrer que rg(U) = rg(U1 \ U2 \ ... \ Un) = rg (®(M)) et que p } rg (®(M)).

III .B * Réciproquement, on suppose que les valeurs propres de (M ) sont 
toutes négatives ou nulles et on

pose OE(M) = --â(M) et r = rg(OE(M)).
III.B.I) Montrer qu'il existe une matrice U E M..., (R) telle que tUU = OE(M).
III.B.2) On note U1, U2, ' ' ' , Un les colonnes de la matrice U.

iEUR\\1,n\]

On cherche a montrer que pour tout (i,j) EUR \\l,n\\2, mij = \\UZ -- Uj\\2.
"

a) Montrer que les (U,) sont centrés, c'est--à--dire que 2 U,- = O.
i=1

b) Montrer que la matrice N = (rw) définie par :

. . 2
V(%J) EUR \\17nl\27nij = \\U, * Uj\\

Vérifie OE(N) = OE(M).
c) Montrer que M = N et conclure.

IV Etude d'un exemple dans l'espace R3
Dans cette partie, on considère quatre points distincts A, B, C et D dans 
l'espace euclidien canonique R3
telsqueAB=BC=CD=DA=1.0nposeAC=a>0etBD=b>0.

On se propose de trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour 
que ces quatre points existent,
dans un premier temps par un raisonnement géométrique puis en utilisant les 
résultats des parties précédentes.

IV.A * Étude géométrique
On suppose que les quatre points A, B, C et D existent.

IV.A.I) On suppose que les quatre points A, B, C et D sont coplanaires. Quelle 
relation vérifient alors a
et b?

IV.A.2) On suppose que les quatre points distincts A, B, C et D ne sont pas 
coplanaires. On note 1 le
milieu de \AC\ et .] le milieu de \BD\.

a) Montrer que (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AC) et (BD).

b) En projetant les points B et D sur le plan contenant (AC) et perpendiculaire 
à (I J), montrer que
2 2

a + b < 4. On étudie maintenant la réciproque. IV.A.3) Montrer que si des réels strictement positifs @ et b vérifient la relation a2 + b2 $ 4, alors il existe bien quatre points distincts A, B, C et D dans l'espace euclidien canonique R3 vérifiant AB = BC = CD = DA = 1, AC = a et BD = b. 20 avril 2011 16:23 Page 2/4 @°_ IV.B * Étude algébrique On se propose de retrouver les résultats précédents en utilisant les parties II et III. Pour simplifier l'écriture des relations, on notera U1, U2, U3 et U4 les quatre points A, B, C et D de l'espace R3 vérifiant U1U2 = U2U3 = U3U4 = U4U1 = 1, U1U3 = a et U2U4 = b. IV.B.1) On reprend les notations des parties précédentes avec ici n = 4. o M=(U,--U.2) ESR. npose \\ JH @.j>611.412 4< ) Écrire la matrice M puis calculer S(M) et O'(M). IV.B.2) Montrer que les vecteurs 1 0 f1 1 0 1 1 1 f1 ' 0 ' f1 ' 1 0 f1 1 1 forment une base de vecteurs propres de la matrice OE(M ) et déterminer les valeurs propres de la matrice OE(M ) IV.B.3) Déterminer le rang de OE(M) selon les valeurs prises par a et b. IV.B.4) Quelle égalité Vérifie les réels @ et b lorsque les points U1, U2, U3 et U4 sont coplanaires? IV.B.5) Retrouver que les réels strictement positifs @ et b vérifient a2 + [22 $ 4. IV.B.6) Réciproquement, si a2+b2 $ 4, donner une famille de points U1, U2, U3 et U4 vérifiant les contraintes de distances mutuelles. V Cas où il n'existe pas de points représentant une matrice de distances mutuelles On considère dans cette partie une matrice M = (mlj) E Sn (R) telle que pour tout (i,j) EUR [l1,nfl2, mij } 0 et On suppose que OE(M ) possède au moins une valeur propre strictement négative. Dans la suite, on étudie trois transformations permettant de modifier « légèrement » la matrice M pour obtenir une nouvelle matrice de distances mutuelles au carré. V.A * Par les moindres carrés V.A.1) On cherche a prouver qu'il existe une unique matrice symétrique T0 à valeurs propres positives ou nulles qui minimise H'IJ(M) -- Tlan(R) lorsque T décrit $;," (R). a) Montrer que VQ EUR On(R)7VA EUR MnOE)» ll'QAQll/wn(iæ) = llAlan(R) b) Justifier l'existence d'une matrice QD EUR On (Q) telle que la matrice tQO\IJ(M)QO soit diagonale. 0) Montrer qu'une condition nécessaire pour que H'IJ(M) -- Tolan(R) minimise H'IJ(M) -- Tlan(R) lorsque T décrit $;," (R) est que la matrice 'QOTOQO soit diagonale. d) Prouver l'existence et l'unicité de la matrice TO cherchée. V.A.2) On suppose dans cette question que T0 est non nulle. On veut montrer qu'il existe un entier p EUR [l1, n -- 1] minimal que l'on précisera tel que l'on puisse déterminer des vecteurs U1, U2, ' ' ' , Un éléments de 77, N . . . . _ . _ .* , 2 ; . . RP sat1sfa1sant la condition 1Ê:1 Ui _ 0 et pour lesquels la matrice M _ (HU, U] M ) (,7j)EUR,17n,2 verifie la relation \IJ(M) = TO. On reprend les notations de la partie II et on note U = (Ul \ U2 \ ' ' ' l Un). a) Montrer que l'entier p Vérifie p } rg(T0) et que rg(T0) EUR [l1, n -- 1]. b) Construire une matrice U E M..., (R) telle que tUU = TD pour r = rg(To). Indication. En supposant que 'QngQg soit de la forme (A 0 > avec A E M.(R), 
diagonale à valeurs
non nulles, on cherchera U sous la forme U = ((Al) (O)) >< @@ E M,... (R) avec A1 EUR M.(R), diagonale. " 0) Montrer que 2 U,- = 0 (on pourra étudier le vecteur UZ). i=1 d) En déduire que OE(M) = T0 avec M=  0 telle que OE(MC) soit à valeurs propres positives ou nulles.
2
V.C.l) Montrer que, pour tout X E R", tX'IJ(Z\ÂC)X = ÊXOE(M)X + ËCÊXOE(D)X + 
%tXPX.

V.C.2) Montrer que si Àmin et umin désignent les valeurs propres minimales 
respectives de OE(M ) et OE(D),
alors

VX EUR "H, ÊXOEJ(M)X ; A...JXX et ÊXOEJ(D)X ; ......fiXX

(L7hyperplan 7--l a été défini a la question V.B.l.)

V.C.3) En déduire que pour c = È= +2/imin + )/4/'L12nin + 2Àmin > O, OE(MC) est 
à valeurs propres positives
ou nulles et que pour tout c > Èet pour tout vecteur non nul X E H, 
tX'Il(l\ÂC)X > O.
V.C.4) Nous allons chercher la constante c* > 0 minimale (si elle existe) 
vérifiant

. OE(Mç*) est à valeurs propres positives ou nulles,
. pour tout c > c* et pour tout vecteur non nul X E H, tX'IJ(Z\ÂC)X > 0.
On sait que c* est majoré par 5.

On considère A = {X E 7--l \ HXH = l et 4(ÊX\IJ(D)X)2 + 2tXOEJ(M)X } O} et on 
définit l7application

A + R
O' : {X => +2tXOEJ(D)X +\/4(ÊX\1J(D)X)2 -- 2U(\1J(M)X

Montrer qu7il existe X* EUR A tel que oz(X*) = sup a(X) et oz(X*) > O.
XGA

On notera oz* = oz(X*).
V.C.5) Montrer que
. tX*OE(M...)X* = O,
. OE(M...) est à valeurs propres positives ou nulles,

. pour tout c > oz* et pour tout vecteur non nul X E H, tX'll(lläc)X > 0.
En conclure que c* = oz*.

V.C.6) Calcul de c*

a) Montrer que OE(Mç*)Xl< = O. 2 On pose Y* = --*OEJ(M)X*. 0 Y* X* que c* est valeur propre de cette matrice. 2OEJ(M))) et . . 0 ) est vecteur propre de la matrice de taille 2n (& +4OE(D b) Montrer que le vecteur colonne < . \ , . 0 2OE(M ) X 1 V.C.7) On cons1dere 'y une valeur propre reelle de la matrice (& 4OE(D)) et