Centrale Maths 2 PSI 2012

PSI
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 2

Notations
On note R le corps des nombres réels. Si n est un entier positif,ðon munit 
l'espace vectoriel Rn du produit
scalaire canonique, noté éX, Y ê pour X, Y  Rn . On note ëXë = éX, Xê la norme 
associée.
On note Mn (R) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. 
On assimile Rn à l'espace des
vecteurs colonnes d'ordre n et Mn (R) à son algèbre d'endomorphismes. Ainsi éX, 
Y ê = tXY . On note In la
matrice unité de Mn (R).
n
Ø
Si A = (aij )16i,j6n  Mn (R), on note Tr(A) la somme de ses éléments diagonaux 
: Tr(A) =
aii . On rappelle
i=1

que Tr(A) est égale à la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec 
leurs ordres de multiplicité.
Si A  Mn (R), le polynôme caractéristique de A est PA (X) = det(A - XIn ).
)
*
Si A  Mn (R), on définit R(A) = t XAX - X  Rn , ëXë = 1 qui est une partie de R.
Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes.

I Généralités
Soit A = (aij )16i,j6n  Mn (R).
I.A ­
Démontrer que les valeurs propres réelles de A sont dans R(A).
I.B ­
I.B.2)

I.B.1)

Démontrer que les éléments aii (1 6 i 6 n) de la diagonale de A sont dans R(A).

En considérant la matrice
A=

3

0
-1

1
0

4

montrer que les éléments aij avec i Ó= j ne sont pas nécessairement dans R(A).
I.C ­
On considère deux nombres réels a  R(A) et b  R(A), avec a < b. Soient X1 et X2 deux vecteurs de norme 1 tels que t X1 AX1 = a, t X2 AX2 = b. I.C.1) Démontrer que X1 et X2 sont linéairement indépendants. I.C.2) On pose X = X1 + (1 - )X2 pour 0 6  6 1. t X AX est définie et continue sur l'intervalle [0, 1]. Démontrer que la fonction  :  Ô ëX ë2 I.C.3) En déduire que le segment [a, b] est inclus dans R(A). I.D ­ Démontrer que si Tr(A) = 0 alors 0  R(A). I.E ­ Soit Q une matrice orthogonale réelle. Démontrer que R(A) = R(t QAQ). I.F ­ On considère les conditions suivantes : (C1) Tr(A)  R(A) (C2) Il existe une matrice orthogonale réelle Q telle que la diagonale de la matrice t QAQ soit de la forme (Tr(A), 0, . . . , 0) I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1). I.F.2) On suppose que x  R(A). Démontrer qu'il existe une matrice Q1 orthogonale telle que 4 3 x L t Q1 AQ1 = C B où B est une matrice de format (n - 1, n - 1) (B  Mn-1 (R)), C un vecteur colonne à n - 1 éléments (C  Mn-1,1 (R)) et L un vecteur ligne à n - 1 éléments (L  M1,n-1 (R)). I.F.3) Démontrer que si la matrice A est symétrique il en est de même pour la matrice B ci-dessus. 2 avril 2012 17:27 Page 1/3 I.F.4) Démontrer que Tr(A) = Tr(t Q1 AQ1 ). I.F.5) En déduire que si A est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2) On pourra raisonner par récurrence sur n. II Matrices symétriques de format (2, 2) Dans toute cette partie A et B désignent des matrices symétriques réelles de M2 (R). On note 1 6 2 (resp. µ1 6 µ2 ) les valeurs propres de A (resp. B). De plus on dira qu'une matrice symétrique S est positive, ce que l'on notera S > 0, si et seulement si toutes ses
valeurs propres sont > 0.
II.A ­ Démontrer que R(A) = [1 , 2 ].
II.B ­

On considère l'ensemble   R2 défini par l'équation éAX, Xê = 1.

II.B.1) Caractériser les conditions sur les i pour lesquelles cet ensemble est :
a)
b)
c)
d)

vide ;
la réunion de deux droites ;
une ellipse ;
une hyperbole.

II.B.2) Réprésenter sur une même figure les ensembles  obtenus pour A diagonale 
avec 1  {-4, -1, 0, 1/4, 1}
et 2 = 1.
II.C ­ Démontrer que Tr(AB) 6 1 µ1 + 2 µ2 .
On pourra utiliser une matrice P orthogonale telle que t P BP soit une matrice 
diagonale, pour obtenir
t
P AP = A = (aij ) avec Tr(A) = 1 + 2 = a11 + a22 .
II.D ­

On pose
A=

3

a b
b d

4

et on suppose A > 0.
II.D.1) Démontrer que det(A) > 0.
II.D.2) Démontrer que t XAX > 0 pour tout vecteur X.
II.D.3) Démontrer que a > 0 et d > 0.
II.D.4) Soit S  M2 (R) symétrique. Démontrer que :
S>0
II.E ­

si et seulement si

(Tr(S) > 0 et det(S) > 0)

On pose
A=

3

a1
b1

b1
d1

4

B=

3

a2
b2

b2
d2

4

On suppose dans cette section que A > 0 et B > 0.

II.E.1) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs (b1 , det A) 
et (b2 , det B), démontrer que
ð

b1 b2 6 a1 a2 d1 d2 - det A det B
II.E.2) En calculant det(A + B) - det A - det B, en déduire que
ð
det(A + B) > det(A) + det(B) + 2 det(A) det(B)

II.F ­

On suppose dans cette sous-partie A > 0 et B > 0, det A det B Ó= 0 et b1 b2 Ó= 
0.

II.F.1) Démontrer que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E.2 si 
et seulement si les vecteurs

(a1 , d1 ) et (a2 , d2 ) sont liés, ainsi que les vecteurs (b1 , det A) et (b2 
, det B).
II.F.2) Démontrer alors que l'on a l'égalité dans la formule de la question 
II.E.2 si et seulement si les
matrices A et B sont proportionnelles (A = B pour un   R,  > 0).
II.G ­ On considère la relation suivante sur l'ensemble des matrices 
symétriques réelles de format (2,2) : on
dit que S 6 S  si et seulement si la matrice symétrique S  - S vérifie S  - S > 
0.
Démontrer que la relation 6 ci-dessus est bien une relation d'ordre sur les 
matrices symétriques réelles de format
(2,2).

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II.H ­

On considère une suite (An )n>0
An =

3

an
bn

bn
dn

4

de matrices symétriques de M2 (R). On suppose que la suite (An )n>0 est 
croissante et majorée pour la relation
d'ordre définie à la question précédente.
II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur X, la suite (t XAn X)n>0 est croissante 
majorée.
II.H.2) Démontrer que les suites (an )n>0 et (dn )n>0 sont croissantes majorées.
II.H.3) En considérant le vecteur X = (1, 1), démontrer que la suite de 
matrices (An )n>0 est convergente
dans M2 (R), c'est-à-dire que les suites (an )n>0 , (bn )n>0 et (dn )n>0 sont 
convergentes dans R.

III Matrices symétriques définies positives
Dans cette partie toutes les matrices sont de format (n, n), où n est un entier 
supérieur ou égal à 2. On dit
qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes 
ses valeurs propres sont strictement
positives.
III.A ­ Soit A une matrice symétrique définie positive.
Démontrer qu'il existe une matrice inversible Y telle que A = t Y Y .
III.B ­ Soient A une matrice symétrique définie positive et B une matrice 
symétrique.
Démontrer qu'il existe une matrice inversible T telle que :
t

T AT = In

et

t

T BT = D

où In désigne la matrice identité et D une matrice diagonale.
III.C ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives.
III.C.1) Démontrer que : det(In + B) > 1 + det B.
III.C.2) En déduire que : det(A + B) > det A + det B.
III.D ­ Soient x un nombre réel strictement positif,  un nombre réel tel que 0 
<  < 1. Démontrer que : x 6 x + 1 - . III.E ­ Soient A et B deux matrices symétriques définies positives,  et  deux nombres réels > 0 tels que
 +  = 1 ; démontrer que :
det(A + B) > (det A) (det B)
III.F ­ Pour 1 6 i 6 k, soient Ai des matrices symétriques définies positives 
et i des nombres strictement
positifs tels que 1 + · · · + k = 1. Démontrer que
det(1 A1 + · · · + k Ak ) > (det A1 )1 . . . (det Ak )k
On pourra raisonner par récurrence sur k.
· · · FIN · · ·

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