Centrale Maths 2 PSI 2015

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EUNEDUHSEENTHHLE-SUPËLEE 4heures Calculatrices autorisées N

Le problème de Dirichlet est un problème aux limites bien connu en théorie du 
potentiel, en particulier lorsqu'on
est en présence d'une symétrie de révolution.

Dans le plan [R2, étant donnée une succession continue de valeurs sur un 
contour fermé (en particulier sur le
cercle trigonométrique), il s'agit de déterminer une fonction (par exemple un 
potentiel en physique) harmonique
a l'intérieur du domaine délimité par ce contour et coïncidant avec les valeurs 
données sur le contour. Dans le
cas particulier où l'on a des valeurs polynomiales sur le contour fermé, on 
obtient comme solution un polynôme
harmonique.

Les applications physiques liées à ce type de problème aux limites sont 
nombreuses, par exemple en géophysique,
en physique quantique et en cristallographie.

Rappels et notations

-- L'espace vectoriel [R2 est muni de sa structure euclidienne canonique et de 
la norme associée || - ||2 définie par
V 0, la notation D((æ, y), 7") (respectivement D((oe, 
y), r)) désigne le disque ouvert de centre
(oe, y) et de rayon 7" (respectivement le disque fermé de centre (a:, y) et de 
rayon 7°). En particulier la notation
D(O, 1) (respectivement Ë(O, 1) et C(0,1)) désigne le disque ouvert de centre O 
de rayon 1 (respectivement
le disque fermé de centre O de rayon 1 et le cercle de centre O et de rayon 1).

On note 9 un ouvert de [R2.

. . (2 --> [R 8 f .
-- SI est une fonction de classe 01 de Q dans [R, : , 8 ou -- res ect1vement 8 
ou
f f (x.y) |--> f(OE.y) 1f ( p 2f
8f

895
ET) est la dérivée partielle du premier ordre par rapport a la première 
variable (respectivement par rapport
y

a la seconde variable) dans la base canonique.

82 82
Si f est de classe C2, 811f ou 8--æê (respectivement 822 f ou ô--yê) est la 
dérivée partielle d'ordre 2 de f par
rapport a la première variable (respectivement par rapport a la seconde 
variable) dans la base canonique.

-- Si u : (Z --> [R est une application de classe C2 sur l'ouvert Q, on 
rappelle que le laplacien de u est l'application
() --> [R

33,3!) '--> 811u(oe,y) + 822u(oe,y)

-- Soit Q un ouvert de [RZ. Une application @ : (2 --> [R est dite harmonique 
(sur Q) si 1) est de classe C2 sur Q
et si Av(oe,y) = 0 pour tout (93,31) EUR Q.

-- On appelle fonction polynomiale des deux variables a: et y sur [R2 (ou plus 
simplement polynôme de deux
variables, ou encore polynôme quand il n'y a pas de confusion possible) toute 
application de la forme

Au définie par Au : (

[R2 --> [R
P (9373!) '--> Z CYkz--7ckyl
k,leN
k+l< J, où 1 et J sont des intervalles ouverts non vides de [R contenant respectivement 93 et y. L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve. b ) En déduire que P est le polynôme nul. On pourra se ramener à étudier des fonctions polynomiales d'une variable. I.A.2) Ce résultat subsiste--t-il si l'ensemble Q admet une infinité d'éléments mais n'est pas supposé ouvert ? I.B -- I.B.1) Soit m EUR IN. Justifier que l'espace vectoriel S"... est de dimension finie et déterminer sa dimension. I.B.2) Déterminer un polynôme harmonique de degré 1, puis de degré 2. I.B.3) a ) Montrer que l'ensemble des polynômes harmoniques est un sous--espace vectoriel de IP. 17 ) Pour tout m > 2, on note A... la restriction de A à ?.... Montrer que 
dim(ker A...) 2 2771 + 1.
c ) Que peut--on déduire pour la dimension de l'espace vectoriel des polynômes 
harmoniques ?

I .C -- Déterminer, dans chacun des cas suivants, un polynôme harmonique H qui 
vérifie H (93, y) = f (93,31)
pour tout (a:,y) EUR C(O, 1) :

I-C-1) f(oe,y) = 3611 ;
I.C.2) f(oe, y) = 934 -- y4.

II Quelques exemples d'applications harmoniques

Soit Q un sous-ensemble ouvert inclus dans [R2. On définit, pour tout À E [R* 
et tout couple (oe0,y0) G [R2 :
Qæo,y0,À : {À(oe7y) + (OE07y0) [ (337?!) EUR Q}

II.A -- On prend pour Q (uniquement dans cette question) l'intérieur du 
triangle équilatéral de sommets
(1,0), (--1/2, \/Ë/2) et (--1/2,--\/ä/2). Faire un dessin sur lequel 
apparaissent Q et Q27171/2.

II.B -- Soient À E [R* et (oe0,y0) G [R2 fixés.

II.B.1) Soit f : Q --> [R une application harmonique de classe C2 telle que 81 
f et 82 f sont de classe C2 sur Q.
Montrer que les applications 811" et 82 f sont également harmoniques sur Q.

II.B.2) Par quelle(s) transformation(s) géométrique(s) l'ensemble Q ,\ est--il 
l'image de Q ? Justifier que

OE07y07

2
Qæoyy07)' est un ouvert de [R .

II.B.3) Soit g : meÿo:
Montrer que l'application (oe,y) |--> g(À(oe,y) + (ac... y0)) est harmonique 
sur Q.

). --> [R une application harmonique.

II.C --
II.C.1) Montrer que les applications

[R2 \ {(0,0)} --> [R

932+y2

sont harmoniques.
1 -- ((a: + cos t)2 + (y + sint)2)

est harmoni ue
952 + 3/2 q

11.02) En déduire que, pour tout t E [R, l'application (x, y) +-->
sur [R2 \ {(0,0)}.

II.D -- Un eæemple fondamental

Pour (a:,y) EUR D(O, 1) fixé, on définit le nombre complexe z = a: + t'y et on 
pose pour t réel (quand l'expression
a un sens) :

1--|Z|2 _ 1--(OE2+y2)
_ |z--e"|2 _ (ac--cost)2 +(y--sint)2

2015-0149 10:47:30 Page 2/4 [_

II.D.1) Montrer que, pour tout t E [R, l'application

est harmonique.
On pourra utiliser la question II.B.3.
II.D.2) Dans la suite de cette partie, le couple (a:,y) est fixé dans D(O,1).
Montrer que t i--> N(oe, y, t) est définie et continue sur [D, 27r].
II.D.3) Soit t E [O, 27r] fixé. Déterminer deux nombres complexes & et fl , 
indépendants de t et de 2, tels que

& fl

t = --1 __ .

N(oe,y, ) + 1 -- ze*" + 1 -- ie"
1 271'

II. D. 4) En déduire que --/ N( oe(, y,t) =1.
27r 01
On pourra écrire-- 1 _.t sous la forme de la somme d une série de fonctions.

-- ze"

III Problème de Dirichlet sur le disque unité de IR2

Soit f : C(O, 1) --> [R une application continue. On appelle Df l'ensemble des 
applications définies et continues
sur D(O, 1), harmoniques sur D(O, 1) et qui coïncident avec l'application f sur 
C (O, 1).

Le problème de Dirichlet sur le disque unité de [R2 associé à f, consiste à 
rechercher les éléments de l'ensemble
Df.

On définit en outre, en reprenant les notations de la partie Il, l'application

1

27'r
2--7T/0 N(oe, y, t)f(cos t, sm t) dt

N N y)=

sur D(O, 1) et l'application

_ N (oe,y) si (oe,y)EURD(0, 1)
...,... ' {f(oe,y> si (ny) e cam

sur D(O, 1).

III.A -- Étude de l'application Nf
III.A.1)

a ) Montrer que N f admet une dérivée partielle 811 N f d'ordre 2 par rapport a 
a:.

De même on peut montrer que Nf admet des dérivées partielles d'ordre 2 par 
rapport a toutes ses variables
continues sur D(O,1). Ce résultat est admis pour la suite.

Exprimer, pour tout (a:,y) EUR D(O,1), pour tout (i,j) EUR {1, 2}2, ô,--j 
Nf(oe,y) en fonction de ô,--j N(oe,y, t).
I) ) En déduire que il est harmonique sur D(O, 1).

III.A.2) Dans cette question, on fixe to EUR [0,27r], (ac, y) EUR D(O,1) et 8 > 
0. De plus, on note, pour tout réel
5 > 0 :

= {t E [0,27r] | "(cos t, sint) -- (cos t0,sint0)ll2 < 6} a ) Montrer que [g est un intervalle ou bien la réunion de deux intervalles disjoints. L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve. !) ) Montrer, en utilisant l'application f, l'existence d'un réel 6 > 0 tel que

/ N(oe, y, t)(f(cost, sint) -- f(cost0,sinto)) dt < % telô c) Soit 6 > 0 quelconque. Montrer que, si t E [O, 27r] \ [EUR et || (oe,y) (cos 
t...sin t0)||2< 6/2, alors 1 -- (932 + 3/2) 62 2015-0149 10:47:30 Page 3 / 4 [_ d) Déduire de la question précédente que, pour 5 > 0 fixé, il existe 77 > 0 tel 
que, si ||(oe, y) -- (cos to, sin t0)||2 < 77, alors Ml") / N(oe,y,t)(f(cos t, sint) -- f(cos t...sin t0)) dt < te[0,2«]\Iâ III.A.3) Prouver que u est une application continue en tout point de C(0, 1). Qu'en conclut-on pour l'applica- tion u ? III.B -- Dans cette sous--partie, on suppose que f est l'application nulle sur C(O, 1) et que u est un élément de Df. Pour tout n EUR IN, on définit l'application D(0, 1) --> [R

" ' (9641) H u

n

III.B.1) Supposons que un admette un maximum local en (",
(

a) En s'intéressant au comportement de la fonction a: l--> un a:, montrer que, 
dans ce cas, 811un(î,ÿ) < 0. De même, on peut montrer que 822un(53, 37) < 0. Ainsi Aun(î, ") < 0. Ce résultat est admis pour la suite. 1) ) En déduire que un n'admet pas de maximum local sur D( , 1). III.B.2) En déduire que, pour tout (a:,y) EUR D(O, 1), u,,(oe,y) < 1/n. III.B.3) Montrer que u est identiquement nulle sur D(0,1). III.C -- Prouver que, pour toute application continue f : C(O, 1) --> [R, 
l'ensemble Df admet exactement un
élément.

IV Retour sur les polynômes harmoniques

I V.A -- Dans cette question, m est un entier supérieur ou égal à 2. On 
considère un polynôme P EUR ?... et on
note PC la restriction de P au cercle C(0,1).

IV.A.1) Montrer que l'application

&"..._ --> &"
@m--2: 2

Q»-->AQ

est linéaire et injective et que Im d)..._2 C .'P..._2.
IV.A.2) En déduire qu'il existe un polynôme T G [Pm_2 tel que P+ (1--9c2 --y2)T 
soit un polynôme harmonique.

où Q(oe, y) = (1 -- OE2 _ y2)Q(oe, y)

IV.A.3) Montrer que l'unique élément de l'ensemble DPC est la restriction à 
D(O, 1) d'un polynôme de degré

inférieur ou égal à m.

IV.A.4) Expliciter l'ensemble D Pc quand le polynôme P est défini par P(oe,y) : 
933.

IV.B --

IV.B.1) Soit P E .'P. Montrer que P se décompose de manière unique sous la 
forme :

Ha 31) = H(oe, y) + (1 -- 932 -- y2)Q(oe, 31)

où H est un polynôme harmonique et Q EUR 5".

IV.B.2) Soit m E N. On note .'7--[... le sous--espace vectoriel des polynômes 
harmoniques de degré inférieur ou
égal à m. Déterminer la dimension de .'7--[....

IV.B.3) Déterminer explicitement une base de IH3.

I V.C -- Dans cette dernière sous--partie, on se place sur [R" pour un entier 
naturel n > 3 et on reprend les
notations précédentes, en adaptant les outils au contexte de [R" ; en 
particulier on considère maintenant les
applications polynomiales à n variables. On admet que le problème de Dirichlet 
sur la boule unité de [R",

associé à une fonction continue et définie sur la sphère unité (notée S,,(0,1)) 
f : S,,(O, 1) --> [R, admet encore
une unique solution.

Soit m EUR IN*.
IV.C.1) Montrer que l'ensemble

{(i17i27 "'azn) EUR Nn | Z'1 +i2 + +Zn : TTL}

n+m--1

m ) . En déduire la dimension de !Pm.

a pour cardinal (
IV.C.2) Déterminer la dimension de ZH... en fonction de m et de n.

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2015-0149 10:47:30 Page 4/4 [_