Centrale Maths 2 PSI 2018

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communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N

Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes: moment d'une 
variable aléatoire réelle
discrète à valeurs positives dans la partie I ; moment d'une suite numérique 
réelle dans la partie Il ; moment
d'une fonction dans la partie III.

Notations

Si f est une fonction de classe 000 et p un entier naturel, on note f(p,q)ew2 est une famille de nombres reels telle que
i. pour tout ]) E N, la série E lup,ql converge,
1120
+00
11. la serie E lupvql converge,
1720 (FC
+oo
alors, en notant Sp : E up7q et, pour tout n entier naturel, W,, = E up_q,
q=° (p,q)EURfN2
p+q=n
. pour tout q EUR IN, la série Ë up7q converge ; on note SZ; sa somme ;
P>O
. les séries E S' , E S' et g W convergent ;
P (1 "
p>0 1120 n>0

+30 +00 +oo
. E Sp : E S' = E W... c'est--à--dire:
«;
p=0 q=O n=0

+00 +90 +00 +00 +oo

}: up,q : Ë:upsq : E: }: uP-ÿ
p=0 q=0
p+q=n

I Moments d'une variable aléatoire

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Q, A, 
IP). On suppose que X (Q) C [R+*.

Si p E N, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire Xp 
admet une espérance. On note
alors m,,(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de Xp.

On remarque que mO(X) : 1.

Q 1. Justifier que VkEUR [[l,nfl,0gng1+X".

Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n (n EUR IN*), alors X admet 
des moments d'ordre k:
pour tous [EUR EUR [[l,n-- 1].

I.A * Fonction génératrice des moments

On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n 
et que la série entière

tn
Ë m,,(X)--, admet un rayon de convergence RX > O.
"20 n.
+00 Ën
Pour tout t EUR ]--RX, RX{, on note MX(t) : E mn (X)--|. La fonction MX 
s'appelle la fonction génératrice des
n.
n=0

moments de la variable aléatoire X.

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Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M X permet de déterminer de 
manière unique la suite (mn (X))

nEURN'
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t EUR ]--R 
X, R X[, la variable aléatoire
etX admet une espérance et que Mx(t) : - (etX).
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t 
EUR ]--R,R[, la variable

aléatoire etX admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la 
fonction génératrice des moments de X
contient ]--R, R[ et pour tout t EUR ]--R, R[, Mx(t) : *(etx).

On suppose que X et Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes 
indépendantes à valeurs strictement
positives admettant des moments de tous ordres. On note RX (respectivement RY) 
le rayon de convergence
(supposé strictement positif) associé à la fonction M X (respectivement My).

Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Yadmet des moments de tous ordres et 
que
V[tl < mîn(RX: RY): Ï"X+Y(Ü : ÏWX(Ü >< MY

LB EUR Eæemples
A est un nombre réel fixé.

I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur (Q, A, [P) suivant la 
loi de Poisson de paramètre À.
Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres.

Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs 
de m1(Z) et m2(Z )
I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour [ EUR [[1, 71], X ,- est une 
variable aléatoire sur (Q, /l , [P) suivant

une loi de Bernoulli de paramètre À/ n. On suppose que X 1: X2, ..., X" sont 
mutuellement indépendantes et on

n
pose Sn : î:X,.
i=1

Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Sn.
Q 10. Pour 75 EUR R, calculer lim MS (t).
n-->+oo "
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour n EUR N*, Un est une variable aléatoire sur (Q, A, [R) suivant la 
loi uniforme sur [[1, n]]. On pose
1
Y,, = --U,,.
n
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y,,.
Q 13. Pour 75 EUR R, calculer lim MY (t).
n-->+oo "

II Moments d'une suite numérique

Si (an)nEURlN est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la 
série E npan converge absolument, on
71.20

+oo
appelle moment d'ordre p de la suite (an) le nombre 2 npan.
n=0
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les 
moments d'ordre p (p EUR IN) sont nuls.

II.A -- Étude d'une fonction
On définit la fonction 
 [R par

@(OE)=exp(Æ) si:cl
æ<1 Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes PP et Qp à coefficients réels tels que, pour tout a: EUR ]--00, 1[, *q/2
q=0 (1.
On considère les polynômes de Hilbert
HO(X) : 1
: ?; ÎÎ(X k) : X') ( / |

Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité

VoeEUR]-- 1,1, 0
+oo
Pour 2 EUR 23, on note O(z) : E a,,z" et, sous réserve de convergence,
n=0

©. : Z...a...z"
n=0

Q 25. Justifier que, pour tout p EUR N* et tout 33 EUR ]--1,1{, <Ï),,(æ) :  C par

0(æ) : 0 si a: < () 9()Î ln2æ+_lnæ _ >0
x -- exp 4W2 1 27r si 33
Q 32. Montrer que lina|0(m)l : 0.
ma
æ>0

Q 33. Justifier que 9 est de classe C°° sur [R+* et démontrer que, pour tout n 
EUR D\l*, il existe Pn EUR C{X] tel
que

P 1
V3: EUR ]0,+oe{ 9Û
On pourra effectuer le changement de variable y : --lnæ.
Q 35. Démontrer que 0 est de classe C°° sur [R.
III.B + Étude d'une intégrale
Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale
+oo
Ip = / e*"*P">' sintdt
est absolument convergente et qu'elle vaut zéro.
\ 1 .
Q 37. A l'aide du changement de variable 75 = %, démontrer que
7r
2 2 +00 2
EUR*?" " f1 ln oe _ lnoe
Vp EUR IN Ip : 27r /æP exp (-- 47r2 ) sm (ï) dx
0

Q 38. Conclure.

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