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communs EENÏHHLE-SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées N
Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes: moment d'une
variable aléatoire réelle
discrète à valeurs positives dans la partie I ; moment d'une suite numérique
réelle dans la partie Il ; moment
d'une fonction dans la partie III.
Notations
Si f est une fonction de classe 000 et p un entier naturel, on note f(p,q)ew2 est une famille de nombres reels telle que
i. pour tout ]) E N, la série E lup,ql converge,
1120
+00
11. la serie E lupvql converge,
1720 (FC
+oo
alors, en notant Sp : E up7q et, pour tout n entier naturel, W,, = E up_q,
q=° (p,q)EURfN2
p+q=n
. pour tout q EUR IN, la série Ë up7q converge ; on note SZ; sa somme ;
P>O
. les séries E S' , E S' et g W convergent ;
P (1 "
p>0 1120 n>0
+30 +00 +oo
. E Sp : E S' = E W... c'est--à--dire:
«;
p=0 q=O n=0
+00 +90 +00 +00 +oo
}: up,q : Ë:upsq : E: }: uP-ÿ
p=0 q=0
p+q=n
I Moments d'une variable aléatoire
Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé (Q, A,
IP). On suppose que X (Q) C [R+*.
Si p E N, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire Xp
admet une espérance. On note
alors m,,(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de Xp.
On remarque que mO(X) : 1.
Q 1. Justifier que VkEUR [[l,nfl,0gng1+X".
Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n (n EUR IN*), alors X admet
des moments d'ordre k:
pour tous [EUR EUR [[l,n-- 1].
I.A * Fonction génératrice des moments
On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n
et que la série entière
tn
Ë m,,(X)--, admet un rayon de convergence RX > O.
"20 n.
+00 Ën
Pour tout t EUR ]--RX, RX{, on note MX(t) : E mn (X)--|. La fonction MX
s'appelle la fonction génératrice des
n.
n=0
moments de la variable aléatoire X.
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Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M X permet de déterminer de
manière unique la suite (mn (X))
nEURN'
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t EUR ]--R
X, R X[, la variable aléatoire
etX admet une espérance et que Mx(t) : - (etX).
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t
EUR ]--R,R[, la variable
aléatoire etX admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la
fonction génératrice des moments de X
contient ]--R, R[ et pour tout t EUR ]--R, R[, Mx(t) : *(etx).
On suppose que X et Ysont deux variables aléatoires réelles discrètes
indépendantes à valeurs strictement
positives admettant des moments de tous ordres. On note RX (respectivement RY)
le rayon de convergence
(supposé strictement positif) associé à la fonction M X (respectivement My).
Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Yadmet des moments de tous ordres et
que
V[tl < mîn(RX: RY): Ï"X+Y(Ü : ÏWX(Ü >< MY
LB EUR Eæemples
A est un nombre réel fixé.
I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur (Q, A, [P) suivant la
loi de Poisson de paramètre À.
Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres.
Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs
de m1(Z) et m2(Z )
I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour [ EUR [[1, 71], X ,- est une
variable aléatoire sur (Q, /l , [P) suivant
une loi de Bernoulli de paramètre À/ n. On suppose que X 1: X2, ..., X" sont
mutuellement indépendantes et on
n
pose Sn : î:X,.
i=1
Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Sn.
Q 10. Pour 75 EUR R, calculer lim MS (t).
n-->+oo "
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour n EUR N*, Un est une variable aléatoire sur (Q, A, [R) suivant la
loi uniforme sur [[1, n]]. On pose
1
Y,, = --U,,.
n
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y,,.
Q 13. Pour 75 EUR R, calculer lim MY (t).
n-->+oo "
II Moments d'une suite numérique
Si (an)nEURlN est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la
série E npan converge absolument, on
71.20
+oo
appelle moment d'ordre p de la suite (an) le nombre 2 npan.
n=0
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les
moments d'ordre p (p EUR IN) sont nuls.
II.A -- Étude d'une fonction
On définit la fonction [R par
@(OE)=exp(Æ) si:cl
æ<1
Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes
PP et Qp à coefficients réels
tels que, pour tout a: EUR ]--00, 1[,
*q/2
q=0 (1.
On considère les polynômes de Hilbert
HO(X) : 1
: ?; ÎÎ(X k) : X') ( / |
Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité
VoeEUR]-- 1,1, 0
+oo
Pour 2 EUR 23, on note O(z) : E a,,z" et, sous réserve de convergence,
n=0
©. : Z...a...z"
n=0
Q 25. Justifier que, pour tout p EUR N* et tout 33 EUR ]--1,1{, <Ï),,(æ) :
C par
0(æ) : 0 si a: < ()
9()Î ln2æ+_lnæ _ >0
x -- exp 4W2 1 27r si 33
Q 32. Montrer que lina|0(m)l : 0.
ma
æ>0
Q 33. Justifier que 9 est de classe C°° sur [R+* et démontrer que, pour tout n
EUR D\l*, il existe Pn EUR C{X] tel
que
P 1
V3: EUR ]0,+oe{ 9Û
On pourra effectuer le changement de variable y : --lnæ.
Q 35. Démontrer que 0 est de classe C°° sur [R.
III.B + Étude d'une intégrale
Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale
+oo
Ip = / e*"*P">' sintdt
est absolument convergente et qu'elle vaut zéro.
\ 1 .
Q 37. A l'aide du changement de variable 75 = %, démontrer que
7r
2 2 +00 2
EUR*?" " f1 ln oe _ lnoe
Vp EUR IN Ip : 27r /æP exp (-- 47r2 ) sm (ï) dx
0
Q 38. Conclure.
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