Centrale Maths 2 PSI 2019

Mathématiques 2 OO
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Ps! ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les 
matrices et les endomorphismes
nilpotents et aborde l'étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la 
partie II.

Notations et rappels
Dans tout le sujet, n désigne un entier naturel non nul et E un C-espace 
vectoriel de dimension n.
Si M E M,(C), on note M\ la transposée de la matrice M.

Si M est une matrice de M, (C), on définit la suite des puissances de M par M° 
= 1, et, pour tout entier
naturel &, M°A = MM.

De même, si u est un endomorphisme de Æ, on définit la suite des puissances de 
u par u° = Id, et, pour tout

entier naturel &, u*1 = u our.

Une matrice M est dite nilpotente s'il existe un entier naturel k > 1 tel que M 
-- 0. Dans ce cas, le plus petit
entier naturel # > 1 tel que MF -- 0 s'appelle l'indice de nilpotence de M.

Soit B une base de E, un endomorphisme de E est nilpotent d'indice p si sa 
matrice dans 8 est nilpotente
d'indice p.

0 -- 0
1

On pose J, = (0) et, pour a >2, J, = | 0 e M, (C).
0 0 1 0

SiAeM,(C) et Be M,,(C), on note diag(A, B), la matrice diagonale par blocs

diag(A, B) = (5 n) E Mn (O).

Plus généralement, si A, EUR M, (C), 4, EUR M,,(C), ..., 4, EUR M, (C), on note

A 0 + 0
diag(A, 4, A3) = | 0 42 em C
iag(A:, A, À) = : .... 0 EUR mtnytetng ( ).
0 ... O0 À,
I Premiers résultats
Q 1. Que peut-on dire d'un endomorphisme nilpotent d'indice 1 ?
I. A -- Réduction d'une matrice de M,(C) nilpotente d'indice 2

On suppose que n = 2. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p > 2.
Q 2. Montrer qu'il existe un vecteur x de E tel que uw? !(x) £ 0.

Q 3. Vérifier que la famille CO) est libre. En déduire que p = 2.

Q 4. Montrer que Ker u = Im u.
Q 5. Construire une base de Æ dans laquelle la matrice de u est égale à J..

Q 6. En déduire que les matrices nilpotentes de M,(C) sont exactement les 
matrices de trace nulle et de
déterminant nul.

2019-04-02 10:07:14 Page 1/4 CHELLES
I.B --- Réduction d'une matrice de M,(C) nilpotente d'indice 2
On suppose que n > 3. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice 2 et de 
rang r.
Q 7. Montrer que Imu EUR Keru et que 2r < n. Q 8. On suppose que Imu -- Keru. Montrer qu'il existe des vecteurs e,, EURe,, ..., e., de ÆE tels que (e,,u(e;),e,u(e2), ...,e,.u(e,)) est une base de E. Q 9. Donner la matrice de w dans cette base. Q 10. On suppose Imu Æ Keru. Montrer qu'il existe des vecteurs e,, EUR, ..., e. de E et des vecteurs Uj, Vo, ..., Un, appartenant à Ker u tels que (e,,u(ei),e2, u(e2),...,e,,u(e,),U,,.....,0,_2,) est une base de Æ. Q 11. Quelle est la matrice de w dans cette base ? IC - Valeurs propres, polynôme caractéristique, polynômes annulateurs d'une matrice nilpo- tente Dans cette sous-partie, À désigne une matrice de M,(C). Q 12. Montrer que, si À est nilpotente, alors 0 est l'unique valeur propre de À. Q 13. Quelles sont les matrices de M,(C) à la fois nilpotentes et diagonalisables ? Q 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal à X7. Q 15. Montrer la réciproque de la question 12. Q 16. Montrer qu'une matrice triangulaire de M,(C) à diagonale nulle est nilpotente et qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. Q 17.  Démontrer que, si À est une matrice nilpotente d'indice p, alors tout polynôme de C[X]) multiple de XP est un polynôme annulateur de À. On suppose que P est un polynôme annulateur de À nilpotente. Q 18.  Démontrer que 0 est racine de P. Q 19. On note m la multiplicité de 0 dans P, ce qui permet d'écrire P = X"Q où Q est un polynôme de CIX! tel que Q(0) Æ 0. Démontrer que Q(A) est inversible puis que P est un multiple de X? dans C[X|. I.D --- Racines carrées de matrices nilpotentes Pour une matrice V EUR M,(C) donnée, on dit qu'une matrice R EUR M,,(C) est une racine carrée de V si R? = V. On se propose d'étudier l'existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines matrices nilpotentes. 1 3 --7 I.D.1) On note A= | 2 6 --14 | et u l'endomorphisme de C* canoniquement associé à À. 1 3 --7 Q 20. Calculer la trace et le rang de À. En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique de À. Montrer que À est nilpotente et donner son indice de nilpotence. Q 21.  Démontrer que À est semblable à la matrice diag(J,, J,). Donner la valeur d'une matrice P inversible telle que À = Pdiag(J,,J,) PT. On cherche à déterminer l'ensemble des matrices R EUR M,(C) telles que R° = À. On note p l'endomorphisme canoniquement associé à À. Q 22.  Démontrer que Im «u et Ker u sont stables par p et que p est nilpotent. Q 23. En déduire l'ensemble des racines carrées de À. On pourra considérer R° = P-tRP. I.D.2) On se propose dans cette question d'étudier l'équation matricielle R? = J.. Q 24. Soit À une solution de cette équation. Donner les valeurs de R* et RS, puis l'ensemble des solutions de l'équation. 2019-04-02 10:07:14 Page 2/4 (Cc)EATET: I.D.3) Plus généralement, soit V EUR M,(C) une matrice nilpotente d'indice p. On se propose d'étudier l'équation R? = V. Q 25. Montrer que, si 2p -- 1 > n, alors il n'existe aucune solution.

Q 26. Pour toute valeur de l'entier n > 3, exhiber une matrice V EUR M,(C), 
nilpotente d'indice p > 2 et
admettant au moins une racine carrée.

II Deuxième partie

On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties TA et 
TB.
IT. À --- Réduction des matrices nilpotentes
On suppose n > 2. Soit u un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p > 2.

Q 27.  Démontrer que Im est stable par u et que l'endomorphisme induit par uw 
sur Im est nilpotent.
Préciser son indice de nilpotence.

Q 28. Pour tout vecteur x non nul de E, on note C,(x) l'espace vectoriel 
engendré par les (u*(x)) BEN

démontrer que C!,(x) est stable par u et qu'il existe un plus petit entier s(x) 
> 1 tel que u°®)(x) = 0.

Q 29.  Démontrer que (x, u(x), ...., us) T1 (x)) est une base de C,.(x) et 
donner la matrice, dans cette base, de
l'endomorphisme induit par u sur C, (x).

t
Q 30.  Démontrer par récurrence sur p qu'il existe des vecteurs x,, ..., x, de 
E tels que E -- OE C, (x;).
i=1

On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit par uw 
sur Im(u).

t
Q 31. Donner la matrice de u dans une base adaptée à la décomposition E -- OE 
C(x;).
i=1

II.B -- Partitions d'entiers
On appelle partition de l'entier n toute suite finie (a,,.....,a,) EUR (N*)" 
telle que
A 2 24 et QG ++ a = Nn.
On note F, l'ensemble des partitions de l'entier n. Aïnsi, L, = {(1)}, lo = 
{(2),(1,1)}, 2 = {(3),(2,1),(1,1,1)}.
Soit uw un endomorphisme de Æ nilpotent d'indice p et de rang r.

Q 32. Montrer qu'il existe une partition o = (a,,..,a,) de n et une base B de E 
dans laquelle la matrice
de u est égale à la matrice N,, = diag(J, ,.....,J,.).

1 dx

Q 33. Soit à un entier naturel non nul. Calculer le rang de J] pour tout entier 
naturel 7. En déduire que J,
est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.

Q 34. En déduire la valeur de @..

Q 35. Pour je N,on note A; ={ie{[1,k] | a; > j}. Démontrer que rg(N?) -- > _(a, 
-- j).

iEA,

Q 36.  Démontrer que, pour tout j EUR N°, l'entier d; = rg(u/ 1) -- rg(u/) est 
égal au nombre de blocs J,, dont
la taille a, est supérieure ou égale à 7.

Q 37. Donner la valeur de l'entier k, nombre de blocs J

A intervenant dans W,.
t

Q 38. Pour tout entier j compris entre 1 et n, exprimer le nombre de blocs Je 
de taille exactement égale
à 7.

Q 39. On suppose qu'il existe une partition o' de l'entier n et une base 8° de 
Æ telles que la matrice de u
dans 8" soit égale à N,.. Montrer que o = a".

Q 40. Quel est le cardinal maximal d'un ensemble de matrices nilpotentes, 
toutes de même taille n, telles
qu'il n'y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables ?

2019-04-02 10:07:14 Page 3/4 (Cc)EATET:
IT.C -- Applications

O --1 2 --2 --I]
0 O0 0 0 0
Q 41. Soient À la matrice | O 1 0 0 0 et u l'endomorphisme canoniquement 
associé à À.
O I 0 0 0
O 1 --1 1 0

Déterminer la partition © de l'entier 5 associée à uw et donner la matrice N,.

Q 42. À l'aide du résultat de la question 31, démontrer que si M EUR M A(C) est 
nilpotente, alors M, 2M et
M sont semblables.

Q 43. À l'aide du résultat de la question 15, démontrer que si M et 2M sont 
semblables, alors M est nilpotente.
IT. D --- Un algorithme de calcul du nombre de partitions de n

Pour j EUR N, on note Y,, ; l'ensemble des partitions dont le premier terme a; 
est inférieur ou égal à j et y, ; le

cardinal de Y,,; ; on pose 59 = 1:

Q 44. Calculer y, 1.

On se propose de montrer que, si 2 < j < n, alors Un,j = Yn,j=1 À Yn=jmin(in--ÿ) Q 45.  Démontrer que cette égalité est vraie pour 7 = n. Q 46. Pour j < n, vérifier que y, ; = Yn.;_1 + Un Conclure. Q 47. Calculer les Un.j POUrT 1