Centrale Maths 2 PSI 2021

Mathématiques 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Autour des fonctions hypergéométriques
Objectif

L'objectif du problème est l'étude de suites, séries et fonctions dites 
hypergéométriques et d'en donner quelques
exemples en analyse et en probabilités.

La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La 
partie IT, indépendante de la partie I,
définit la fonction l', permettant d'étendre la factorielle à des valeurs non 
entières. La partie III, qui s'appuie sur
certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de 
fonctions hypergéométriques. Les parties
IV et V, indépendantes l'une de l'autre, donnent des exemples de fonctions 
hypergéométriques, respectivement
dans le cadre d'une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste.

Notations

l
nl!
| si p < n et égal à 0 sinon. Soit (n,p) EUR N?. On note 7 | le coefficient binomial p parmi n, égal à P pl(n --p)! On note D =R\{---n|n EN} l'ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls. nm Si f est une fonction de classe C", les deux notations f(" et a sont utilisées pour la dérivée n-ième de f. z I Suites et séries hypergéométriques Soit (u,)nhen une suite à valeurs réelles. On dit que la suite (u,),en est hypergéométrique lorsqu'il existe deux polynômes non nuls P et Q de R[X] tels que VrEeN, P(nju, = Q(n)un. (L.1) On dit alors que P et Q sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique (u,,),ew- On dit également qu'une série entière Sur" est une série hypergéométrique lorsque la suite (u,),en est hypergéométrique. Q 1. Montrer qu'une suite géométrique est hypergéométrique. n Q 2. Soit p EUR N. Montrer que la suite de terme général u,, = | | est hypergéométrique. P Q 3. Démontrer que l'ensemble des suites vérifiant la relation (1.1), avec P(X) = X(X -- 1)(X -- 2) et Q(X) = X(X -- 2), est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension. Q 4. Soit (u,)nen une suite hypergéométrique de polynômes associés P et Q. On suppose qu'il existe un entier naturel n, tel que P(n,) = 0 et, Vn > no, Q(n) Æ 0. Justifier que la 
suite (u,,),en est nulle à partir d'un
certain rang.

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II Extension de la factorielle

On pose, pour tout x EUR R**,

+00
T'(x) = | tr let dt.
0
Q 5. Justifier qu'on définit ainsi une fonction sur R**.
Q 6. Montrer que la fonction L est continue et strictement positive sur RT*.
Q 7. Montrer que, pour tout x EUR R**,
P(x +1) = xl(x). (IL.1)

Q 8. Déterminer la valeur de l'(n), pour n EUR N*.

On admet qu'on peut prolonger la fonction [sur D par une fonction continue, 
toujours notée [", qui vérifie la
relation (IL.1) pour tout x EUR D.

III Fonctions hypergéométriques

TIT. À --- Symbole de Pochhammer

On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel a et tout entier 
naturel n par

1 sin = 0,
[al _ n--1
" a(a+1)-(a+n--1) = J[(a+x) sinon.
k=0
Q 9. Si a est un entier négatif ou nul, justifier que la suite ([a],,) est 
nulle à partir d'un certain rang.

neEN
Q 10. SoitaeR. Vérifier que, pour tout entier naturel n, [a),,,, = ala +1].
Q 11. Soit n EUR N. Donner une expression de [a],

-- à l'aide de factorielles lorsque a EUR N° :

-- à l'aide de deux valeurs de la fonction [", lorsque a EUR D.

ITI.B -- Fonction hypergéométrique de Gauss

Étant donné trois nombres réels a, b et c, on appelle fonction hypergéométrique 
de Gauss associée au triplet
(a, b,c), la fonction, définie sur un sous-ensemble de R, par

Fr) = 3 nl 2

ur [c,, nl

a|,, |b
Q 12.  Justifier que, si c EUR D), alors [al bl est bien défini pour tout 
entier naturel n.

(Cl

On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes.

a|,, \b|,, x"
al lbln -- est hypergéométrique et préciser des polynômes associés.

lc, on!

Q 14.  Réciproquement, démontrer que l'ensemble des séries hypergéométriques 
associées aux polynômes
obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une 
base et dont on précisera la
dimension.

Q 13. Montrer que la série entière >

[a], [b], 2°

lc, on!

Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière Ù

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Q 16.  Justifier que F,,,. est de classe © l sur |---1,1|. Calculer sa dérivée 
et l'exprimer à l'aide d'une fonction
hypergéométrique de Gauss.

Q 17.  Justifier que F,,. est de classe C® sur |---1,1{ et exprimer sa dérivée 
n-ième à l'aide d'une fonction
hypergéométrique de Gauss.

Q 18.  Exprimer la fonction x + F 11,5 (--x*) à l'aide de fonctions usuelles.

Q 19.  Exprimer la fonction

m(i+x) .
me si æ E |---1,1| \ {0}
I si & = Ù

à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.

On admet, en cas d'existence de toutes les quantités présentes dans 
l'expression suivante, que

F(c)l(c-- a --b)
T(c--a)T(e--b)

F6. (1) --

Q 20. Soient NEN, ce D,aeRrR tels que c -- a EUR D. Justifier l'existence de 
FN) et démontrer que
N
See (le 2 lee
pra k } Iclz [Cla

Q 21. Soit (u,v) EUR N° tels que N < min(u,v). En prenant a = --u et c = v -- N +1, montrer l'identité de Vandermonde : u + v : ÿ u V N | Z\k)\N-k) On admet pour la suite que l'identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels u, v, N. Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l'identité de Vandermonde. ITI.C -- Fonction hypergéométrique confluente Soient deux nombre réels a et c tels que c EUR D. Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle my" (x) +(c--x)y'(x) -- ay(x) = 0. (IIL.1) On exprimera ces solutions à l'aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble. On note M, . la solution de l'équation (III.1) vérifiant M, (0) = 1. Cette fonction est appelée fonction hyper- géométrique confluente associée au couple (a, c). IV Les polynômes de Laguerre Soit n EUR N. On pose, pour tout nombre réel x, P,(x) =e "x" et L,, (x) = --®0 (x). Q 24. Déterminer L,, L,, L, et La. Dans toute la suite, n est un entier naturel non nul. Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction L,, est polynomiale de degré n. Déterminer Tv les coefficients c,, , tels que L,,(x) -- > Cat".
k=0

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Q 26. Pour tout nombre réel x, exprimer pt) (x) et PT (x) en fonction de L, (x) 
et L' (x).

n dti D
Q 27. Utiliser l'égalité M (x) -- re que l'on justifiera, pour démontrer 
l'égalité
AL
x x
L -- | 1 -- L L'
n+1(r) | --) ETS n()
valable pour tout nombre réel x.
9 dr
Q 28. Utiliser l'égalité ®" (x) = = EL (x) pour démontrer l'égalité
AL
L' jt) = L (a) -- L,(®

valable pour tout nombre réel x.
Q 29. En déduire que L,, est solution de l'équation différentielle
xl (x) +(1--x)L' (x) +nL,(x) = 0. (IV.1)

Q 30. Montrer que Z,, est une fonction hypergéométrique confluente.

V Loi hypergéométrique

On considère un espace probabilisé (Q,.4,P).

Soient deux entiers naturels À et n tels que n < À et p un nombre réel compris entre 0 et 1. On suppose pA EN et on note q = Î -- p. Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Q,.4,P). On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres n, p et À lorsque f X(Q) C 0, nl], pA gÀ P(X = k) -- pour tout k EUR [0, n||. On note alors X  Æ(n,p, À). V.A --- Premiers résultats Q 31. Vérifier qu'on a bien défini une loi de probabilité. Q 32. Soit X une variable aléatoire telle que X = Æ(n,p, A). Calculer l'espérance de X. N N --1 On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls k et N,k fr) -- x L ) Q 33. Montrer que la suite (P(X = k)),en est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de À à l'aide d'une fonction hypergéométrique. V.B - Modélisation On considère deux urnes contenant chacune À boules dont pA sont blanches et gÀ sont noires. On tire simul- tanément, de manière équiprobable, n boules dans la première urne. On note Y le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, n boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note Z le nombre de boules blanches obtenues. Q 34. Quelle est la loi de la variable 7°? Donner l'espérance et la variance de Z. Q 35.  Démontrer que Y S Æ(n,p, À). M047/2021-01-05 15:18:59 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA V.C - Calcul de la variance On se propose d'utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l'espérance et pour calculer la variance d'une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique Æ(n, p, À). Pour cela, on numérote de 1 à pA chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel à EUR [1,pAÏ], on pose Y. -- { 1 si la boule numérotée 2 a été tirée, t O0 sinon. Q 36.  Exprimer Y à l'aide des Y; et retrouver la valeur de l'espérance de Y. La comparer à celle de Z: Q 37. Pour 1 < à < j < pA, démontrer que la variable aléatoire Y;Y; suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre. Q 38. En déduire la valeur de la variance de Y. La comparer à celle de Z. V.D -- Résultats asymptotiques Soit X une variable aléatoire suivant la loi Æ(n,p, A). On fixe n et p. Soit k EUR ]0, nl]. Q 39. Montrer que lim P(X = k) -- h pri pi. A--+00 k Q 40.  Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l'espérance et la variance de ÿY. ee eFINeee M047/2021-01-05 15:18:59 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA