Centrale Maths 2 PSI 2024

Mathématiques 2 T
ON

Ps! ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Autour de la série harmonique
et de la constante d'Euler

Dans toute ce problème, on désigne par (an), , la suite dont le terme général 
est donné par :

EN
Vne N*,a =5 1 hf)
) nm k£

Le but de ce problème est dans un premier temps de s'assurer de la convergence 
de la suite (an) eyes puis
d'essayer de déterminer différentes expressions de sa limite, à l'aide 
d'intégrales.

I Convergence de la suite (a, )

Q 1. Déterminer un équivalent lorsque n tend vers +00 de la différence a,,,, 
--a,,, puis déterminer la nature
de la série numérique > (an41 -- An).

Q 2. Montrer que la suite (a,,)
problème, puis que :

nan St convergente vers un réel que l'on notera + pour toute la suite du

5 | = nn) +7+o(1).

IT Application au problème du collectionneur de vignettes

Pour augmenter ses ventes, un industriel de l'agro-alimentaire qui 
commercialise des paquets de céréales pour le
petit déjeuner décide d'insérer au fond du paquet une figurine de sportifs 
célèbres. Le modèle de figurine inséré
dans le paquet est choisi de manière équiprobable parmi n modèles de référence.

Pour différencier les n modèles de figurines et les identifier de manière 
unique, on considèrera que chaque modèle
de figurine porte un numéro unique entre 1 et n.

Chaque paquet de céréales contient ainsi une figurine à collectionner, que l'on 
ne découvre qu'à l'ouverture du
paquet. On se demande combien un consommateur, que l'on va appeler ici le " 
collectionneur ", doit ouvrir de
paquets pour posséder au moins un exemplaire de chacune des n figurines.

On décompose ce nombre de paquets N,, en N,, = 7 +7 +..+7, où 7, est le nombre 
de paquets supplémentaires
nécessaires pour obtenir k figurines différentes quand on en a déjà k -- 1 
différentes.

Dans tout ce qui suit, on désignera par Ce lévénénement "le collectionneur 
découvre dans le k° paquet la
figurine numérotée à "

Q 3. Déterminer la loi de N..

Q 4. Soit m EUR N \ {0,1}. Quelle est la probabilité de l'événement C': "le 
collectionneur obtient toujours la
même vignette au cours de ses m premiers achats" ?

En déduire que: Vm Ee N*, P(N, > m) = mL

Q 5. Déterminer alors la loi de N,.

M071/2024-05-07 10:40:05 Page 1/5 (cc) BY-NC-SA
Q 6. Soit # EUR N°. Justifier que 7, suit une loi géométrique, dont on 
précisera le paramètre.

Q 7. En déduire l'espérance de la variable aléatoire N,, et établir que :

E(N,), = n(n(n) +7+o(1)).

n--
Q 8. Justifier l'indépendance des variables aléatoires 7, 7,.., 7.
1 XI 7
Q 9. On rappelle par ailleurs que la série DD -- est convergente et que D» -- 
-- ----. Démontrer que N,
n >l r n=1l rt 6
. n°T*
admet une variance et que: V(N,) < G Q 10. Soit e > 0. Démontrer que P(IN, --E(N, )| > enln(n)) > 0.
Nn--+o
/ N
Q 11. Soit e > 0. Démontrer que P||[--2-- --1>e)l -- OC.
nin(n) n--+00
III Une première expression intégrale de
+00

; e C
On admettra le résultat suivant : pour tous réels a et b strictement positifs, 
l'intégrale | : dt est

n 0
pat LL e Pt b
convergente, et on a | ; dt = In ).
a
+00 ent e (n+1)
12. Dé t : VX O0, --
Q émontrer que => ;
2 e--(n+1) e--(u+2)
Q 13. En déduire que: Vt>0,e ( L -- (« (m+1)t |
n=0

+O0

Q 14. Montrer que l'intégrale | e_ e--
0

IV Une deuxième expression intégrale de

Z ne nn 2]
Q 15. Soit n EUR N°. Etudier la continuité en 0 de la fonction t 1 OE !)
1
_
Q 16. Soit n EUR N°. En remarquant que : Î (--t) lat = -
n
0

Tv
1
exprimer DD L à l'aide d'une intégrale puis à l'aide d'un changement de 
variable affine, établir que :
k=1

u\" u\"
(C2
newa,= | " au / 7 au.
0

M071/2024-05-07 10:40:05 Page 2/5 (cc) BY-NC-SA
Q 17. Soit x EUR [1,+oæ|. Déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand 
n tend vers + de la suite

Tr
dont le terme général est (1 -- 2) .

Q 18. On considère la suite de fonctions (f,,) définie par :

nEeN*
[ [1,+oo[ -- R
t n
VnEN, f,:4 l-- n
te 5 si IStl

L'(x) 1 + /1 1
Va > 0, 7 2 _
F7 " (x) x y --)

Q 31. En déduire que ["(1) = --7, et calculer alors ["(2).

1
Q 32. À l'aide d'un changement de variables, montrer que l'on a y = -- | In (-- 
In(é)) dt.
0

VI Recherche d'une valeur approchée de

Dans toute cette partie, À désigne un réel strictement positif.

A +00
1--e tu --U
Q 33.  Démontrer que: 7 = --In(A) + | qu -- | au.
u
A

U
0

(--1)FAF#1
(k+1)(k+1)

34. Etablir la convergence de la série numérique uis en donner sa somme à l'aide
| 9
d'une intégrale.
+00

+00
| ee" (CS ET
Q 35.  Démontrer que: Vx > 0, du = -- -- ---- du
u x u?

TX

Q 36. Déterminer l'expression d'un polynôme À de degré 2 à coefficients réels 
tel que :

+00 +00

--U R --X 6e
vr>0, /° du= EE / © du

u x u
"A X

Q 37. Soit ne N tel que n > À +1. Justifier alors que :

(--1) AF+1 R(A}je À
(k+1)(k+1)! AS

Vn eN*, (y --

n
k=0

VII Etude d'une série entière aux bornes de son disque ouvert de
convergence

L'objet de cette partie du problème est d'étudier le comportement de la somme f 
de la série entière D» Inm(n)x"

n > l
de la variable réelle x aux bornes de son intervalle ouvert de convergence.

M071/2024-05-07 10:40:05 Page 4/5 (cc) BY-NC-SA
VII. A -- Rayon de convergence et première expression de la somme.

Q 38.  Démontrer que la série entière DD In(n)x", est de rayon de convergence 
égal à 1, puis préciser le
n >1l
domaine de définition de la fonction f.

VII.B - Étude de f en 1.

Q 39. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers 1 par valeur inférieure.

1 1
Q 40. Déterminer le rayon de convergence de la série entière D» É + 9 +... + :) 
x" de la variable réelle
n

n>1
x dont on note alors g sa somme.

NN x"
Q 41. À l'aide des deux séries entières D» x" et DD -- montrer que :
n

n > 0 n > 1
_ In(i--7x)
Vxz EUR ]-1,1|, g(x) = x --]
 . M
Q 42. Montrer qu'il existe M > 0 tel que:  Væx EUR [0,1[, | f(x) -- g(x)l < TZ Q 43. En déduire que f(x) u g(x). æ<1 VII.C - Étude de f en --1. On considère la suite (c,) . dont le terme général est donné par : neN GC, = --1 ji ji VnEN\{01},e,=-mfi-;)-; TL TL Q 44. Montrer que le rayon de convergence de la série entière DD c,x" de la variable réelle x, dont on note n > 1
alors À sa somme, est égal à 1, puis préciser le domaine de définition de À.

Q 45. Montrer que la série numérique ) C, converge vers la constante --.
n >l1l

Q 46. La fonction À est-elle continue en 1 ?

Q 47. Montrer que:

VEN". S(-1)fc, Dm 2°P (pl)° | h 5 =

2
k=1 2p ((2p)!) k=1
eus Le (11
Q 48. On rappelle que la série D» -------- est convergente et que D» = = In(2).
kZ1 k k=1 k

Montrer que f(x) -- li (5).

On pourra au préalable déterminer une relation entre f et h sur un intervalle 
de R que l'on précisera.

eceoelrINeee

M071/2024-05-07 10:40:05 Page 5/5 (cc) BY-NC-SA