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Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE
Epreuve de Mathématiques A PSI
durée 3 heures
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il
est
amené à prendre.
L'usage de Iacalculatrice n'est pas autorisé
Soit (L) l'équation différentielle : y "(x) ---- y(x) == h(x), définie sur
[0,1], où b et y sont des
fonctions définies sur [O, 1] à valeurs dans R, b continue et y de classe C2 et
(L0) l'équation
différentielle homogène associée : y ' ' (x) ---- y(x) == 0.
Partie 1 : Expression des solutions de (L).
1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (Lo) ? En donner une
base.
2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ?
x
3. Vérifier que la fonction h : x EUR [0,1] .... h(x) = ! sh (x ---- t) b(t) dt
est une solution de
O
l'équation différentielle (L).
(Rappel : pour tout z réel, sh(z) : ÊÎ--Ë-'Ë--ÏÏ-- et ch(z) : ËÎ--%Ê:î ).
4. En déduire que les solutions de (L) s'écrivent sous la forme :
V x E [0,1], y(x) : Ach(x) + Bsh(x) + h(x)
où A et B sont des constantes réelles.
5. Soient a et [? deux nombres réels.
s (O) = a sh (1 )
Prouver l'existence d'une unique solution s de (L) vérifiant : et
s ( l ) == fl sh ( 1 )
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On admettra que la fonction 3 est la fonction :
1
s : xe [0,1] e--+ s(x) : ash(l ---x) +flsh(x)--J H(x,t) b(t) dt
0
où H est la fonction de deux variables définie par :
H:[du2 @ R
1 .
sh(l--x) sh(t) 31 tx
1
et que la fonction x » ] H(x, t) b(t) dt est de classe C2 sur [O, 1]2.
0
Partie 2 : Développement en série de Fourier de la fonction H.
On fixe x dans [O, 1] et soit (p la fonction impaire, 2 ---- périodique,
définie sur [O, 1] par :
sh]l --- x) .
sh(l) sh(t) s10 < t < x, sh (x) sh ( 1 ) V t 65 [0,1], ([ f(t) sin (ant) dt).
O
3. Donner la définition d'un endomorphisme auto-adjoint (ou symétrique) de E.
Prouver que 'P est un endomorphisme auto--adjoint de E.
4. Vérifierque : VfEUR E, ('P(l) If) > O
5. Soit u & Etelle que : ('P (u) l u) = O
1
5.1. Vérifier que : V n 6 N, [ u(x) sin (nnx) dx = O.
0
5.2. Soit F la fonction définie sur R, impaire et 2 --- périodique, telle que :
u(x) si x & ]O,l[
2 six==Ooule
F:xe[O,l]r--+F(x)={
Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de u.
1
En déduire que : ! u2(x) dx = O.
0
5.3. Prouver alors que :
Pour toute fonction v différente de la fonction nulle de E, ('P (v) | v) > 0.
5.4. Quel résultat peut--on en conclure pour les valeurs propres de '1' '?
6. Pour m & N*, soit la fonction fm définie par :
V x EUR [0,1], fm(x) : sin (mm).
1
6.1. Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Calculer : [ sin (7r px) sin
(7cqx) dx.
0
6.2. Déterminer, pour m G N*, lP(fm).
7. Soit 2. une valeur propre de '1' et f À un vecteur propre associé.
7.1. Prouver que f). est de classe C2 sur [0,1].
Mo --- (1 --- -------O)y(x>0 =
7.2. Vérifier que f ). est solution du problème : y(O) :
J'... =0
7.3. Prouver qu'il est impossible que ). = 1.
7.4. Prouver qu'il est impossible que 1 ----- %-- > 0.
7.5. Lorsque 1 ---- --1-- < 0, montrer qu'il existe m e N* tel que : ). = ---------------L----------. Â m2 7r2 + 1 7.6. Déterminer alors les éléments propres de 'P. Page 3 / 4 Tournez la page S.V.P Partie 4 : Calcul de la norme de l'endnmorphisme 'P. 1. Déterminer, pour m E N*, Il fm II. On pose alors, pour tout m EUR N*, m = ----£'--'1--. Nik" 2. Vérifier que : +oo 2.1. erE,'PU)= Wh..., 1 m 7t2 +1 m: +oo 2.2. ... E, ...2 = 2 (h... lf)2- m=l 3. En déduire que : er E, ||'P(I)ll2 < " "2 2. ' (n2+1) 4. Prouver que 'P est un endomorphisme continu de (E, || ll ). 5. Enfin, calculer : sup ll'P(f) Il. l|fll=1 Fin du problème. Page4/4
