e3a Maths A PSI 2007

QT7O

e 23
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Questions de cours.

1. Donner la définition du rang d'une matrice.
2. Citer sans démonstration le théorème du rang.

3. Quand dit-on que deux matrices sont semblables ? Ont--elles alors même rang 
? (On ne demande

pas de justifier votre réponse)
4. Qu'appeIIe--t--on polynôme annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice '?

Problème.
Dans tout le problème, n est un entier naturel non nul et M H ((C) désigne 
l'espace vectoriel normé
des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.
GL n(
m

k
PourMEURMn(C), soita(M)lamatricez a(M)= lim S... avec Sm = E , --Aî,

m++oe
k=O

On rappelle que pour calculer cette limite, il suffit de calculer la limite de 
chacun des termes de la
matrice S ....

On admettra et on utilisera sans le démontrer que cette matrice existe toujours 
et que si A et B sont
deux matrices de M " ((C) qui commutent, alors a (A + B) = a (A) a (B).

Partie 1 : Quelques calculs préliminaires.

2 -3 3
1.SoitA= _3 3 _4 EURM3(C).
--3 4 --5

Déterminer les éléments propres de la matrice A.

2. Vérifierque : ker (A +13)2 EB ker (A--213) = C3.

--1 l 0
3. En déduire que la matrice A est semblable à la matrice : O --1 O
O O 2

Partie 2 : Quelques propriétés de la matrice J(0).

1. Déterminer le rang de J(O).

2.1. Déterminer J(O) k pour k EUR N, k < n-- 1, puis pour toutk EUR N, k > n.

2.2. Vérifier que toutes les puissances de J(O) sont des matrices nilpotentes.

3. Déterminer a(J(O)) puis U = a(J(O)) --In.

4. Montrer que toute combinaison linéaire de deux matrices nilpotentes qui 
commutent est encore
une matrice nilpotente.

5. Montrer que U est une matrice nilpotente de rang n -- 1.

Partie 3 : Quelques résultats sur les noyaux itérés d'un endomorphisme.

Soit u un endomorphisme de E.

1. Prouver que \7' (i,j) EUR NZ, ker (u') c ker (M").
2. Pour toutm EUR N, on note tm = dim (keru '").

Prouver que : r = inf {m EUR N, tm = tm+1} existe.

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3. Montrer que :

(i ) V m < r ker (u "") est strictement inclus dans ker (u m+l ), ker (ii) ker(u ) (u ...) (iii) Vm>r, ker (um) =ker (um+l).

Partie 4 : Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n -- 1.

Soit Vune matrice de Mn ((C), de rang n -- l et vérifiant : V " = On.

On note v l'endomorphisme de E associé à V.

1. Soient p et q deux entiers naturels et w la restriction de v 51 à Im( v 1" ).

1.1. Déterminer Im (w).

1.2. Prouver que : ker (w) c ker (v Cl).

1.3. Vérifier alors que l'on a:
dim( ker (vp+q)) < dim( ker (vp) ) +dim( ker (vq) ). 1.4. En déduire: V i EUR {l,...,n}, dim ( ker (v ') ) EUR I'. 1.5. Démontrer qu'en fait : V i EUR {l,...,n}, dim ( ker (v ') ) = i. 2. Prouver alors que v "_1 = 9. 3. En déduire qu'il existe un vecteur e de E tel que : B] (e, v(e), v 2(e), , v "_1(e)) soit une base de E. 4. Ecrire la matrice de v dans cette base. Interpréter le résultat obtenu à l'aide des matrices J(À). 5. Déterminer alors tous les endomorphismes nilpotents de rang n -- 1 et montrer que les matrices de deux tels endomorphismes sont semblables. Partie 5 : Résolution de l'équation J(y) = a(X) d'inconnue X EUR M,, (C). 1. Montrer que : V M EUR MMC), V P EUR GLn((C), P--1a(M)P = a(P"1MP). 2. Résoudre dans (C les équations : eZ=i, eZ=--l, eZ=--3--4i. 3. Plus généralement, soit M EUR @. Déterminer, lorsque cela est possible, tous les nombres complexes 2 = x + i y EUR @ tels que : ZZ"- Page 3/4 S 4. On prend alors y = O et on note 3 un des nombres complexes tel que : e = ,u. 4.1. Déterminer : (1 (sin ). 4.2. On écrit alors J(s) sous la forme :J(s) = sin +J(O). Exprimer & (J(s)) à l'aide de a (J(O)) et de ,u. 4.3. Vérifier que la matrice : ul: a (J(O)) -- ln ] est nilpotente de rang n -- 1. 4.4. En déduire qu'il existe une matrice inversible Q EUR GL "((C) telle que : Q --1 a> Q = J.

5. Donner alors dans M n ((C) une solution à l'équation proposée : (1 (X) = 
J(u).

6. En déduire dans M " ((C) une solution à l'équation : a (X) = ' J(,u).
7. Applications
i

7.1. On considère la matrice T = ( 0 _
z

1 _2
EUR M2(C), z = --1.

Déterminer une matrice X 1 telle que : & (X 1 ) = T.

7.2. On va chercher une matrice X 2 EUR M 3 (EUR) telle que : (1 (X 2) = A où A 
désigne la matrice de
M 3 ((C) définie àla partie 1.

--l 1
7.2.1. Déterminer une matrice 81 EUR M2 ((C) telle que : a(Bl ) = ( ).

O --1
B] 0
7.2.2. SoitH = () EUR M3 (C). Calculer a(H).
O O ln2

7.2.3. Déterminer alors une matrice X 2 EUR M 3 (C) telle que : 05 (X 2) = A.

Fin de l'épreuve.

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