e3a Maths A PSI 2009

 

E' 3 5
Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

' Applications simples du cours
Rappels.

Soit I = [a, b] (avec a < b) un intervalle de R et U un ouvert de R2. On considère : V : (:::, y) E U r--+( âÊî' % )un champ de vecteurs et 'y un arc orienté du plan de paramétrage : t . t E I r---->( OE( ) ) , de classe Cl par morceaux sur I, parcouru dans le sens 
des t crmssants.

On rappelle que la circulation de V le long de 7, notée / V se calcule par la 
formule :

ÂV = [{ ( P(m,y)doe + Q(x,y)dy )

On suppose P et Q de classe C1 sur U. L' arc 'y est supposé fermé, sans point 
double et parcouru dans le sens trigonométrique
Il délimite un domaine G d'un seul tenant, inclus dans U.

On rappelle la formule de Green--Riemann .

/V =//G (%Ë- ($ y) --- ÿf_(æ y)) dædy

Dans cette question uniquement, on prend G = { (a:, y) EUR R2, y 2 x2

et 3/2 < a:} et pour 'y l'arc frontière délimitant ce domaine, parcouru dans le sens trigonométrique. 1.1. Représenter le domaine G et 7. 1.2. Calculer directement, en paramétrant l'arc : ] V avec P : (a:,y) i--> 2æy 
-- 332 et Q : (a:,y) i----> a: + y2.
"r

1.3. Retrouver le résultat précédent en utilisant la formule de Green--Riemann.

8
On suppose que les deux fonctions P et Q vérifient : pour tout (a:, y) EUR R2, 
âE--(æ, y) : ô--y(oe, y).

2.1. Que vaut : /V?
"Y

2.2. Donner un exemple de champ de vecteurs V, non identiquement nul, et 
vérifiant la propriété :
@@ ôP

V, EURR2,--,=--,.
($ 31) 85EUR ($ y) ay ($ 9)
1
3.1. Démontrer que les intégrales curvilignes suivantes : A1 : / ædy, A2 : ---- 
/ ydm et A3 : ê [ (oedy -- ydoe)
7 7 7

sont égales.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
æ(t) : cos3 t

31 (t) : sin3 t ) dans un repère

3.2. Représenter graphiquement l'arc orienté 7 d'équations paramétriques : t E 
[--7r, 7r] H (

----a -->
orthonormé (O, 6 , j ) direct.
On précisera les tangentes aux points singuliers.

3.3. Déterminer l'aire délimitée par la courbe 7.

Problème
Préliminaires
2

1. Illustrer graphiquemth la double inégalité : Vt EUR [O, % ] , -- t < sint < t. 7r +oo -- ,, , smt 2. On veut montrer que l 1ntegrale / --t-- dt est convergente. () sint On pose alors, pour tout t > O, cp(t) : --t----.

2.1. Vérifier que cp est prolongeable par continuité sur l'intervalle [O, 1].

2.2. Pour tout a: > 1, on définit çb : :c r--> çb(cc) = / go(t) dt.
1

&: t2

2.3. Prouver que d)(oe) tend vers une limite finie lorsque 3: tend vers +00.

cos " cost
Montrer que l'on a : Va: > 1, $(æ) : cosl -- oe --- / -- dt.
1

_ _ +°° sint
2.4. Dédu1re de ces résultats que l'intégrale / T dt est convergente.
0

+00 -
Partie 1 : Une première façon de calculer I = / SITnt dt
()
Soient les deux fonctions :

e--y
.'L'2 + y2
6--3!
322 + y2

P:(æ,y)t-->P(OE,y)= [msinoe--ycosoe]

[oecosoe +ysinoe]

@ : (tm) ...... Q(OEyy) =

et V le champ de vecteurs : (m'y) ,__) ( P(OE7y) )

Q(fl% y)

Justifier le fait que P et Q sont deux fonctions de classe C'1 sur tout domaine 
U de R2 ne contenant pas l'origine.

Question 2.

Soit 7 un arc fermé sans point double, n'entourant pas l'origine et parcouru 
dans le sens trigonométrique.

Démontrer que : / V = O.
.),

On considère F l'arc de cercle de rayon p > 0 paramétré par : 6 EUR {O, %] 
+----> ( ËÊZ% Î '; gïg ) et on note Ap l'intégrale :

Ap = /F (P(oe,y) dæ + Q(æ,y) dy).

% .
3.1. Montrer que *: Ap = / 67 ps..." cos(pcos 9) d6.
0

3.2. Calculer : lim Ap.
p-->0+

3.3. Montrer que : lim Ap = O.
P--*+00

On pourra, par exemple7 utiliser les préliminaires.

Soient 'r et R deux réels tels que : 0 < r < R. On considère l'arc '7 constitué par : 'yl : le segment [A1,A2] où A1 = (730) et A2 = (R, O), fy2 : le quart de cercle de centre O et de rayon R reliant A2 à A3 = (O, R), 73 : le segment [A3, A4] où A4 = (O', 7"), 74 : le quart de cercle de centre O et de rayon ?" reliant A4 à A1. 4.1. Représenter graphiquement l'arc orienté 7 dans un repère orthonormé (O, ?, ?) direct R sina: 4.2. Montrer que : / V :] dx. 71 ?" $ 4.3. Vérifier que : / V = O. 73 _ _ , , , , _ +°° sinoe 4.4. En utilisant les resultats precedents, determiner la valeur de I = a: dx. 0 +00 sin t Partie 2 : Une deuxième façon de calculer I = / ------£-- dt 0 % cost sin 2nt % sin 2nt On pose, pour tout T:. E N* , un = / ---------(----)-- dt et on -- / ----(------2 dt. 0 smt 0 73 1.1. Vérifier que un et 'Un existent pour toute valeur de l'entier naturel n non nul. 1.2. En calculant un+1 -- u... montrer que un est indépendante de n et donner sa valeur. Soit h une fonction de classe C1 sur un segment [a, fil à valeurs dans R. 5 . On pose, pour tout m E N , H... = / h(t) e'mt dt. 0! Montrer, en utilisant une intégration par parties que : lim H... = O. m--+ OO Ce résultat est connu sous le nom de Lemme de Riemann--Lebesgue. 1 Montrer que la fonction h : t r--> h(t) : Î __

4.1. Calculer : lim ('Un ---- un).

cost

7r
est prolongeable en une fonction de classe C'1 sur [D, --2--} .

sin t

n-->+oo
4.2. En déduire la valeur de I = / s1na: das.
0 33
+00 sint
Partie 3 : Une troisième façon de calculer ] = / --t------- dt
0

Soit U E Rï. On note A = [O, u] X [0,15] et J = // (sin :::) e_""y doedy
A

Donner une primitive de la fonction sc n--> (sin a:) e"°"" où a E R*.

" 1 --- e'y"(cosu + ysinu)

u
En utilisant l'inté ale J , montrer ne : 1 ---- e"""' da: = ] 
------------------ d .
gr (1 /0 $ [ ] 0 1 + y2 y

u ' u S' S
On note alors : K1 = / e""'" s1næ da: et K2 = / w--+--2CÆ e"yu dy.
0 33 0 1 + y
3.1. Prouver que : lim K1 = O.

u-->+oo

3.2. En utilisant une majoration, déterminer : lim Kg.
u--> 00

sin 3:

dcr.

+00
3.3. Retrouver alors la valeur de I = /
0

+00
4.1. Montrer que l'intégrale ]
0

(L'

sin2 a:
da: est convergente.

OE2
sin2 a:

doe.

+oo
4.2. En utilisant le résultat de la question 3.3. calculer la valeur de / 2
0 33

Fin du problème.