e3a Maths A PSI 2010

Thème de l'épreuve Calcul de l'intégrale 0+∞ sin(ax)ex-1 dx
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants, séries de Fourier, séries de fonctions, développements limités, calculs d'intégrales

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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e 3 a 1OPSI1O
Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Dans tout le sujet, E désigne l'espace des fonctions de classe C°° de R à 
valeurs dans R : E : C°°(R,R).

Applications directes du cours

Soit f E E.
1. Démontrer que si f est paire alors ]" est impaire.
2. Démontrer une propriété analogue lorsque f est impaire.

3. Soit H l'application de E dans E qui à. toute application u E E associe 
l'application 'U E E définie par :
Va: E R, v(a:) : u(----:c)

3.1 Vérifier que H est une symétrie vectorielle de E .

3.2 Retrouver, à l'aide de H , que tout élément de B se décompose de façon 
unique comme somme d'une fonction paire et
d?une fonction impaire.

4. Les réciproques des résultats obtenus dans les questions 1 et 2 sont-elles 
vraies?

5. Déduire des questions précédentes toutes les fonctions de E qui vérifient :

Va: E R, f"(:c) + f(----oe) = 1 + sin(2æ)

Préliminaires.

On rappelle E : C°°(R, IR) .
Soit À E R et go l'application qui à y E E associe cp(y) : y" + Ày.
1. Vérifier que 

0. Déterminer un entier q tel que 2 2 ---- ,6 < 8. n=1 T). +00 1 1.6 Calculer : î: --7;2--. n=1 1.7 La fonction f est--elle de classe C2 sur R'? 2. Soit 0. E R*. . . +oe " cos (nx) Pour tout 56 E R, on définit la fonction h. : cc +------+ h (a:) : Z (----1) 2 2 n___1 n + a. 2.1 Prouver que il est définie et continue sur R tout entier. +oo 2.2 Déterminer les fonctions on : R ----+ R qui vérifient : V x E R, h (a:) = f (a:) + Z Un (a:). n=l +oo 2.3 Vérifier que la fonction a: +----> z Un (cr) est une fonction de classe C'2 sur IR. n=l 2.4 Prouver que la est de classe 02 sur ] ---- 7r, 7r[. 3. Montrer que la est solution sur l-- 7r, 7r{ dïme équation différentielle du type y" + Ày : lc où A et le sont des constantes réelles. 4. Calculer h'(0) et h2(7r) (dérivée à gauche de h en 7r). ; l 1 5. En déduire que : V .r EUR ]- 7r, 7r[, fi (m) : ...;ÛC ]li(Îaæ7)r) -- 2 (1°. ,8 " 6. Justifier que l'égalité précédente est encore valable sur le segment [--7r, 7r]. +00 1 7. C l a culer la valeur de 2 n2 + a? n=1 +00 1 8. En déduire la valeur de 2 n--2. On prend dans cette partie : a E Rj_. sin (au:) + 00 1. Prouver que l'intégrale : / dac converge. 0 e--'" ---- 1 + 00 2. Soient k E N* et Jk = / @ "'" sin (ax) doe. 0 2.1 Pour quelles valeurs de k: E N* l'intégrale Jk existe--t--elle ? 2.2 Pour ces valeurs, calculer Jk. 3. Pour tout 71 E N*, exprimer sous forme d'une intégrale +oo R...:/ s___--m(a'æ Îdoe--a Za 0 k=0 4. Prouver que : lim Rn : O. n----++oo 5. En déduire le résultat : Va>0, _1_ [+00 sin(aæ) da:= 7rch(a7r @ 0 @ Fin de l'épreuve +(k+1)2