e3a Maths A PSI 2011

 

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
9

part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa

composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Dans toute l'épreuve,

. n est un entier naturel supérieur ou égal à 2,

o //{n (R) désigne l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels à n 
lignes et n colonnes,
0 on identifiera la matrice A E J!" (R) et l'endomorphisme f A de R" 
canoniquement associé,

0 In est la matrice identité et On la matrice nulle de J,, (R).

Questions de Cours

1. Donner la définition de deux matrices semblables.

Chacune des affirmations suivantes est--elle vraie ou est--elle fausse ?

On justifiera la réponse par une démonstration ou un contre--exemple en 
dimension adéquate.

2.1 Deux matrices semblables ont le même rang.

2.2 Deux matrices ayant le même rang sont semblables.

2.3 Deux matrices semblables ont le même déterminant.

2.4 Deux matrices ayant le même déterminant sont semblables.

2.5 Si A E J/{n(R) vérifie A2 + 5A ----- 6In : 0... alors R" : ker(A ---- In) @ 
ker(A + 61n).
2.6 Si A E Æn(lR) vérifie A2 + 5A ---- 6In : 0... alors R" : ker(A + I,.) {B 
ker(A ---- 61").
2.7 Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

2.8 Deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont semblables.

Soit A E Æn+1(R).
On appelle a,--j le coefficient de A situé sur la i--ième ligne et sur la 
j-ième colonne.
On suppose que pour tout couple (i,j) EUR {1,...,n + 1}2, on a :

a,,--=O Sij=i

a,-j=i sij=i+1
aij=n--i+2 sij==i--l
a,,-=O sinon

Ainsi, par exemple, pour n = 5 :

010000
502000
A___040300
003040

, 000205
000010

Enfin, dans tout le problème, on note E : R"+1.

On prend dans cette partie n = 2 et on note tA la matrice transposée de la 
matrice A EUR .//{3 (R).

4 0
1. Soit B : tA A. On trouvera B de la forme : B = * 2 *
* * *

1.1 B est--elle diagonalisable ?
1.2 Démontrer, sans les calculer, que les valeurs propres de B sont réelles, 
positives ou nulles.

1.3 Vérifier le résultat de la question précédente par le calcul des valeurs 
propres de B.
2. Soit % l'ensemble des points M (ac, y, z) de R3 défini par :

2æ2+4æz+y2+222=1

2.1 Donner la nature de (EUR et ses éléments de symétrie.

2.2 Déterminer les intersections de "EUR avec chacun des trois plans 
d'équations cc : 0, y = 0 et z = O, notées
respectivement Cl, C2 et C3.

2.3 Sur la feuille jointe à annexer à la copie, donner une représentation 
graphique de chacune de ces inter--
sections et une allure de 'É .

3. Soit 13 E N.
3.1 Déterminer le reste de la division enclidienne de X ? par X 3 ----- 10 X 2 
+ 16X
3.2 Justifier que B3 ---- 10 B2 + 16B : On.

La matrice B est--elle inversible '? Si oui, déterminer son inverse.

3.3 Déterminer les réels a,, et b,) tels que :

VpEURN*, B"=apB2+pr
" 1
3.4 Soit Tp=zÿBk.
k=0 '

Vérifier que : V p E N, T,, est combinaison linéaire de I... B et B2.

Déterminer lim TP.
p--+ + oo

Les résultats établis dans cette partie ne sont pas utiles pour traiter la 
suite du problème.

On prend dans cette partie n = 3.

Soit Æ' : (el, e2, 83, 64) la base canonique de E et f l'endomorpbisme de E 
dont la matrice dans la base @ est A.

On rappelle que : f0 : idE et pour tout k 6 N, f'°+1 : f'° of.

1. Pour tout z' EUR {O, 1,2,3}, on pose u,--+1 : fi(el). Montrer que la famille 
11 : (u1,u2,u3,u4) est une base de
E. '
2. Ecrire la matrice M de f dans la base U .
3. Calculer le polynôme caractéristique de f.
4. Déterminer les valeurs propres de A et une base de chacun des sous--espaces 
propres de A. On choisira pour
chaque vecteur propre, la premiére composante non nulle égale à 1.
1 i 1 1 1 3 0 0 0
5. SoientK=--â-- â --Î :î _â etD= g _(1) (1) g
1 --1 1 ----1 0 0 0 --3
Existe--t-il une matrice P E GL4 (R) telle que K AP : D ? Si oui, en déterminer 
une.
6. Déterminer toutes les fonctions a:, y, z et u de la variable réelle t, de 
classe C1 sur R qui vérifient le système

différentiel :
OE'(t) = y(t)
y'(t) = 3æ(t) + 2 z(t)
z'(t) : 2 y(t) + 3u(t)
u' (t) : z(t)

On rappelle que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on note E,, = 
R,, [X ]

Soit 9 l'application définie par :

VQEEn ,9(Q)=nXQ--(X2--1)Q'

où Q ' désigne le polynôme dérivé du polynôme Q.

1.

2.

|A

Vérifier que g est un endomorphisme de E., et donner sa matrice dans la base 
canonique Æc : (1, X, X 2, ..., X ")
de En.

Soit (E,\) l'équation différentielle :

où A est un réel quelconque.
2.1 Résoudre l'équation différentielle (&) pour a: E] ---- 1,1[.

O our a re 1 1 1 1

n r m r e : = -- --

p "que qu oe2--1 2 :::--1 a:+1

2.2 Discuter suivant les valeurs du paramètre réel À l'existence de solutions 
polynomiales non nulles de ($;)
sur ] --- 1, 1[.

. En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de g.

. La matrice A EUR J/{n+1(R) définie au début du problème est--elle 
diagonalisable '?
. Calculer le déterminant de la matrice A.

On considère l'équation différentielle (? ) : y' ' (cc) --- y(x) : 0 et on note 
:

311 la solution de (f ) qui vérifie y1(0) : 1 et yî (O) = 0
3/2 la solution de (f ) qui vérifie y2(0) = 0 et yê(0) : 1

Soient, pour tout le E {O, ..,n} et tout a: E R, gk(æ) : [y1(æ)]""k x [y2(æ)]k 
et {EUR = (go, ...,gn).
1. Exprimer m et y2 comme combinaisons linéaires des fonctions ch et sh.
2. Prouver que G : Vect (? ) est un espace vectoriel de dimension n + 1 dont 
EUR? est une base.
3. Soit A l'endomorphisme de l'espace C°° (R, R) qui à une fonction h associe 
A(h) : h'.
3.1 Montrer que A induit sur G un endomorphisme que l'on notera 5 .
3.2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

3.3 On note, pour tout m EUR N,