e3a Maths A PSI 2012

 

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - EST P -- ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une

part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans

l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

QUESTIONS D'APPLICATIONS DU COURS

Parmi les affirmations suivantes indiquez sans justification (sauf à la 
question 2.d.) celles que vous jugez vraies et celles que

vous jugez fausses

Soient a et b deux réels. On note <Ê'a,b l'espace vectoriel des suites réelles qui vérifient la relation : Vn E N, un+z = aun+1 + b un. a. Pour tous réels a et b, é"... contient au moins une suite géométrique non nulle. b. Pour que é"... contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il suffit que a = --3 et b = 4. c. Pour que £a,b contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, il faut que a = --3 et b = 4. d. é"a,b contient deux suites géométriques indépendantes lorsque a = 2 et b = --1. e. La condition a2 + 4b ; 0 est une condition nécessaire pour qu'il existe dans é"a,b deux suites géométriques indépendantes. a. L'application f : U G é"... l-----> (u......) E R2 est une application 
linéaire toujours surjective mais injective seulement si
2
a + 4b < 0. b. La condition a # 0 est une condition suffisante pour que g : U EUR EUR... n--> (u... 11.2) E R2 soit un isomorphisme.

c. La dimension de 623, est égale à. deux seulement si a2 + 4b ; 0.

d. Donner en le justifiant soigneusement une base de l'espace vectoriel â'a'b 
dans le cas où a = --1 et b = --1.
Question 3.
nn
On considère la série entière ê an a;" où an = --'-- et on note R son rayon de 
convergence.
n.
7121
an+1

a. On a lim
n-->+oo a,n

= 1 et on en déduit que R = 1.

. a 1 , . , . .. . .
b. On a lim "+ > 1 et on en dedu1t que la serre ent1ere diverge pour toute 
valeur du reel ac.
n-->+oo an
1
c. On a R < --. 2 Question 4. . ... , . ... n \ sin(n) On cons1dere la serre ent1ere 2 an x ou an = et on note fr son rayon de convergence. n n>1
* 1
a.Ona:VnEURN,|an|<£etdonc,rgl. b.Ona:r21. c. Le rayon de convergence de la série entière Ê sin(n) svn--1 vaut 1 et donc, 7" = 1. 7121 1 d.Ona:r2î +00 1 1 sin(n) " _ x -- cos(l) e. Pour toutæEUR]--ê,ë[, Z a; --arctan _ . n=1 n sin(1) +oo . 1 1 srn(n) . f.PourtoutæEUR)--ê,--2--[, 2 n æ"=--ln|1--xe'l. n=1 , 1 1 +°° sin(n) ,, 1 _ 2 g. PourtoutrEUR _ê'ä , Â n r =êln(1--2a, cos(1)+x ). PROBLÈME Dans tout le problème, E désigne l'espace vectoriel des suites réelles. On pourra noter une suite U E E sous la forme : u = (no, u1,u2, . . . ,un, . . .) ou sous la forme u = (un). Une suite u de E est dite périodique de période ;D E N* lorsqu'elle vérifie : Vn G N, un+p = un. PARTIE A Soit l'ensemble 5% = {u E E] Vn G N, un+z + u,, = 0}. TF 1. Soient les deux suites À et u définies par : Vn E N, )... = cos ("2) et ,u,, = sin (11%) 1.1 Vérifier que A et n sont des éléments de .5"g. 1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques. 2. Montrer que 5% est un sous-espace vectoriel de E. 3. Donner une base de 5% et préciser sa dimension. 4. Soit U EUR 5% non nulle. 4.1 La suite 11 est-elle convergente? 4.2 La série En... de terme général 11... est--elle convergente? +oo 4.3 Soit f la fonction de la variable réelle oe donnée par f (a:) = z u,, x" n=0 Donner l'ensemble de définition de f et une expression de f (a:) a l'aide des fonctions usuelles et des termes ...) et ul. PARTIE B Soit .5" = {U E E | Ela E R, Vn G N, un+z + un = 2a}, c'est--à--dire l'ensemble des suites réelles n pour lesquelles il existe une constante réelle et telle que pour tout entier naturel n, un+z + un : 2a 1. 1.1 On prend : Vn G N, U.,, = (--1)". Vérifier que n $ .5". 1.2 On prend : Vn G N, U" = (--1)E(n/2) où E(t) désigne la partie entière du réel t. Vérifier que u EUR .5" et préciser la valeur du réel et correspondant. 1.3 On prend un = 5. Vérifier que 'a E .5" et préciser la valeur du réel a correspondant. 2. Vérifier que les suites constantes appartiennent a .5" . 3. Déterminer les suites géométriques appartenant à .5" . 4. Montrer que .5" est un sous-espace vectoriel de E. 5. A--t--on ÿCÿo ? ÿ0Cÿ? 6. Soit 
 fi(") : uo ; u2.

Montrer que ça est une forme linéaire sur .5" .

Quel est son noyau?
7. Soit 11 EUR E définie par : Vn EUR N, v,, = 1;

Montrer que .5" = Yo @ Vect(v) où Vect(v) est la droite vectorielle engendrée 
par la suite 1}.
8. Soit 11. EUR .5" . Déterminer alors pour tout entier naturel 71, une 
expression de un en fonction de 'n.
9. Montrer que tout élément u de .9" est une suite périodique de période 4.

10. Prouver que l'application 9 : u EUR Y |_) 0(u) = (ue, ..., @) EUR R3 est un 
isomorphisme d'espaces vectoriels.

On note C = (I, J, K) la base de .5" obtenue comme image réciproque de la base 
canonique de R3 par 9 :
9(I) = (1,0,0), 9(J) = (0,1,0) et 9(K) : (O, O, 1)

11. Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites I, J et K.
12. Soient k EUR N* et T}, :u EUR E »--+ Tk(u) = w définie par : Vn EUR N, w., 
= w....
12.1 Vérifier que T;, est un endomorphisme de E.
12.2 Le sous--espace .? est--il stable par T2 ?
12.3 Le sous--espace .? est-il stable par T 3 ?
12.4 Ecrire la matrice, dans la base C obtenue à la Question 10., de 
l'endomorphisme 7'3 induit par T3 sur .5" .
12.5 L'endomorphisme 73 de .? est-il diagonalisable ?

12.6 Reconnaître alors la nature géométrique de 73.

13. Soient u EUR .5" et h la fonction de la variable réelle :c donnée par Mr) = 
2 un a:".

n=0
Exprimer h(oe) à l'aide des fonctions usuelles pour 55 EUR] -- 1, 1[.

Etudier les prolongements possibles en --1 et 1.

PARTIE C
Soient p EUR N, 1) 2 2 fixé et l'espace vectoriel .5"p : {u EUR E ] 3a EUR R, 
Vn EUR N, un+p + u,, = 2a}

1. Montrer que tout élément de Y,, est périodique de période 219.

0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
2. SoitF= ' ' ' ' ' e.x//p+1(R).
() 0 '- 1 0
--1 0 0 2
0 0 0 1

2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice F.
2.2 Déterminer les valeurs propres de F.
2.3 F est-elle inversible?

2.4 F est--elle diagonalisable dans .//{p+1((C) ? dans /lp+1(R) ?

uo+up
2 7

3. Prouver que l'application 5 définie par : Vu EUR 5%, ô(u) : (ug,u1, . . . 
,up_1,a) EUR ]RP+1 où a :

est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Quelle est la dimension de 5"? ?

On note C,, l'image réciproque de la base canonique de Rp+1 par 6.
4. Soit 1,b l'application définie par :
î,b :u EUR 5",, »----> 1[1(u) = t telle que Vn E N, tn : un+1

4.1 Vérifier que 1/1 est un endomorphisme de 5%.

4.2 Sans nouveaux calculs, préciser w2P : 1/1 01,b0... ozÿ, composée 2p fois de 
l'application d}.
4.3 Ecrire la matrice de 1,11 dans la base Cp de 5%.

4.4 w est-elle diagonalisable ?

4.5 Prouver que 1/1 est bijective et déterminer son inverse 1/1"1.

Fin de l'épreuve